中美高中数学中指数函数、对数函数之教材比较，本文主要内容关键词为：指数函数论文,中美论文,对数论文,函数论文,学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
函数是整个数学体系中一个基本而又重要的概念，而指数函数与对数函数是高中阶段函数学习内容的重要组成部分。各国由于教育情况不同，对于该部分在教材上的处理也不同。那么美国在教材上对于该部分知识的处理与我国有些什么区别呢？笔者选用了由美国Holt，Rinehart and Winston公司出版的Algebra 2教材与上海教育出版社出版的教材（试用本）（以下简称“上教版”），将两本教材中对于指数函数和对数函数部分在学习内容简要、数学知识的呈现、概念产生形成过程、学习素材等方面做一比较。
二、比较结果
1.学习内容编排
在美国教材中，指数函数和对数函数是作为代数整本教材的第七章共同呈现的，而上教版教材中指数函数的知识在高一上册，对数函数的知识在高一下册，可能由于考虑到知识的系统性编排，虽然涉及两本教材，但是编者还是将指数函数与对数函数连同幂函数一起放置在了同一章节即第四章。表1是美国教材第七章和上教版第四章涉及指数函数与对数函数的具体编排。
将表1进行梳理发现7-1的内容接近于4.2的内容，在此笔者以7-1～4.2来表示，类似地，我们还可以得到7-2～4.5；7-3～4.6；7-4～4.4；7-5～4.7、4.8，而7-6、7-7、7-8章节在上教版章节列表中并无相应的章节与之对应。其实自然对数的内容在上教版中4.4“对数的概念及其运算”中是有所提及的，只是没有美国教材那么重视自然对数的教学，将其单独列为一章节。值得特别注意的是7-4、7-7、7-8章节在上教版中既没有相应的章节与之对应，在其具体内容呈现过程中也没有体现。上教版章节中有的而美国教材章节中并无体现的唯一章节4.3是属于选修内容，对学生的知识掌握要求并不高。因此可以总结为美国教材所呈现出来的学习内容要略丰富于上教版。
表1 两种教材的具体编排
2.数学知识的呈现
尽管两本教材涉及的核心知识类似，但给人的感受完全不同，很大程度上是由于两本教材向读者呈现数学知识时的过程不同。美国教材给学生提供的基本学习过程是：who/why式提问→具体的问题情境→新知识→例题、检验→思考与讨论→练习；上教版的基本学习过程是：具体的问题情境→新知识→例题→练习。
将以上两种知识呈现过程进行比较后发现，美国教材比上教版主要多了who/why式提问以及思考与讨论两个环节。其中who/why式提问是指每章节初都会出现的“Who uses this?或Why learn this?”如7-1章节开始教材编写者用了如下的设计，“谁会用到这个？收藏家们能用指数函数模型算出稀有乐器的价值（见例2）”这样的设计使得学生在学习新知识前就很清楚地知道谁会用到以下的新知识和学习新知识的原因，诱发学生的学习动机和明确学习目的，并结合生活中常见的现象加以解释，拉近了数学与学生之间的距离。再看思考与讨论这一环节的具体内容，美国教材很重视培养学生师生、生生之间的讨论交流，以及培养学生用自己的语言去整理总结所学的新知识，如在7-4章节该环节的最后一题为“总结：复制并完成表格（表格略），要求用自己的语言写出指数函数与对数函数的相关性质”。这也较好地体现了美国标准中注重学生交流的要求。通过比较，不得不承认，美国教材中数学知识的呈现过程更有利于学生的数学学习。
3.概念的产生、形成过程
如果数学教学主要是数学概念的教学，那么数学学习就主要是数学概念的学习了。设计处理概念的产生、形成过程的得当与否，将会大大地影响学生对于数学概念、数学本质的理解。通过仔细阅读比较，笔者发现两本教材在概念的产生、形成过程的处理上有很大的差别。本文以指数函数、反函数的概念产生、形成过程为例来进行说明。
从以上举出的两个例子中，我们可以明显地感受到两本教材在概念产生、形成过程上的差异。从指数函数的概念产生、形成过程的比较中，我们可以看到美国教材在提出问题情境后并非急着引导学生寻找问题的答案，而是先寻找一种可以解决该问题的模型，而后再套用模型解决该问题。如果学生长期在这样的问题解决方式下学习，学会用数学建模的思想来解决问题，可能比使用上教版的学生更会解决该类问题，而非是仅能解决该问题情境中的问题。在反函数的比较中，我们可以看到两本教材对于反函数概念的定义是截然不同的。上教版教材采用的是对应说函数概念，对学生的知识基础要求较高，要求学生以集合知识为背景学习反函数。但是在美国教材中一点对应说的影子都没有，即使没有学过集合知识的学生也能很轻松地理解反函数。所谓种瓜得瓜，种豆得豆，使用上教版教材的学生能很明确地说出反函数的定义，但是对原函数与反函数的图象关系的掌握还有所欠缺，而使用美国教材的学生则相反。还有值得一提的是，上教版教材在概念的产生、形成过程中似乎总是规规矩矩地按照先解决问题情境后的问题后再引出概念定义，千篇一律，不利于学生创新精神的培养，而美国教材在此方面不拘一格，给人的感觉要随意一些，轻松一些。对于该项目的研究结果，笔者不能果断地评价出哪本教材对于概念的产生、形成过程的设计更好，可以说是各有侧重，但若能将两者的优点完美地结合，那就最好不过了。
4.学习素材
《普通高中数学课程标准（实验）》关于素材的选取方面指出，“高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识，因此，教材中应选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，显示世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学的概念、结论，体现数学的思想、方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在自己的身边，数学的应用无处不在”[1]。那么上教版在这方面做得如何呢？以下我们将学习素材分为与生活实际有关以及与生活实际无关两个因素，将两本教材(7-1～4.2；7-2～4.5；7-3～4.6；7-4～4.4；7-5～4.7、4.8)就此方面做一比较，来看看上教版的学习素材选取方面做得如何。
从上表，我们可以很直观地看到美国教材与上教版教材总习题数之比为4.07，但是，两本教材“与生活实际有关”个数之比却高达9.4，比例很不一致。显然，若操练相同题量的数学习题，采用美国教材的学生比接受上教版的学生有更多的机会接触“与生活实际有关”的素材。为了能更具体地揭示中美教材中学习素材的选取情况，笔者做了进一步的调查，得到了如下数据：
从表3中发现，美国教材中“与生活实际有关”的素材安排要比上教版的均衡得多。美国教材比率最大值与最小值相差29.31%，而上教版则相差60%，并且美国教材每一章节中均设有一些与生活实际有关的素材，而上教版中6个章节中有4个章节无“与生活实际有关”的素材，显得美国教材对“与生活实际有关”的素材处理设计上要稳定得多。再仔细查看两本教材“与生活实际有关”的素材所涉及的领域比较，发现“与其他学科相联系”是美国教材将数学生活化、应用化的最大特点。生物、物理、化学、历史、地理、音乐等学科中的现象被美国教材编写者广泛地作为数学问题出现在教材中，如化学学科：pOH是表示溶液中
离子浓度的一种方法，pOH可以通过以下式子换算求得，
，其中代表的是每升溶液中氢氧根离子的摩尔数。在一个样本中的水含有的氢氧根离子的浓度为0.000000004mol/L，问该水的pOH值是多少？但在上教版中，涉及与其他学科相联系的问题甚少，这是值得我们注意和借鉴的地方。
三、启示
通过美国Algebra2教材与上教版（试用本）教材关于指数函数、对数函数部分在学习内容简要、数学知识的呈现、概念产生形成过程、学习素材等方面的比较，我们可以发现美国教材中的许多闪光点值得我们借鉴。
(1)帮助学生养成正确的成就动机。在教育心理学领域，最重要的动机之一就是成就动机(McClelland & Atkinson,1948)。一些学生的成就动机是指向学习目标的，而有的则是指向表现目标[2]。指向表现目标的学生更多追求的是分数或者是来自于他人的肯定，一旦这种追求得不到满足，他们就容易打退堂鼓，丧失信心，这样的目标不利于学生的学习。而具有学习目标的学生更多追求的是学习而不是分数，即使一时遇到困难，他们也会倾向于继续努力，使用更多的元认知策略和自我调节的学习策略，提高自己的学业成绩。教材及教师应引导学生指向学习目标，而非表现目标。而引导学生指向学习目标的重要途径之一就是让学生感受到学习内容的价值，让学生将学习数学知识视为内在需要，帮助学生养成正确的成就动机。美国教材中的Who/Why式提问在学生学习新知识前就用具体事例说明新知识的使用场合和原因，让学生明确学习数学的意义，很好地诱发了学生正确的成就动机，这样的做法值得我们效仿。
(2)体现数学建模的思想。《普通高中数学课程标准（实验）》中指出，“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中……”[1]。而教材作为实现课程目标、实施教学的重要媒介，如何在教材中将数学建模贯穿整个高中数学课程、渗透在每个模块或专题中就成为新的课题。在这一点上，美国教材在引入指数概念时的做法就值得我们学习，我们在正常的课堂教学中应该在部分环节上适时地“切入”应用和建模的内容，让学生有更多的机会接触、掌握数学建模的思想。
(3)处理好自发性概念和科学概念的关系。Vygotsky认为概念可以区分为自发性概念和科学概念。“自发”就是指没有人刻意教的，有时学生自己还解释不清楚的。科学概念则是指定义明确的、精细的、有一定逻辑意义和体系属性的概念[2]。从两本教材对反函数的概念形成过程的处理设计中不难发现，上教版中对反函数的定义就属于科学概念，很具体、很精细，而美国教材则偏向于学生的自发概念的形成。虽然自发性概念相对于科学概念来说是低水平的，有它的弱点，但是我们不能持否定的态度，它同样对学生概念的形成有积极的促进作用。在教学过程中，若能对照科学概念，切实帮助学生从自发性概念中去粗取精，去伪存真，概念掌握的效果就会更好。
(4)挖掘“与其他学科相联系”的知识点，优化学习素材。好的学习素材可以使教学效果事半功倍，而“与其他学科相联系”正是挖掘好素材的重要途径之一。借助学生熟悉的自然科学中的现象，用学生已掌握的数学知识从数学角度去解释说明其现象发生的规律、原因，不仅能让学生找到科学与科学之间的联系，达到融会贯通，提高综合能力，同时也能让学生体会到数学源于生活而又能运用于生活，增进学生对数学的理解，以及让学生体会到将数学学以致用的乐趣，树立应用数学的信心。