不用联结词和量词的一阶逻辑系统，本文主要内容关键词为：量词论文,逻辑论文,系统论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在文〔2〕中，我们建立了不用联结词的经典命题逻辑系统。 本文将继续这一工作，充分发挥括号的作用，建立不用联结词和量词的一阶逻辑系统。
一、一阶语言
一阶逻辑所用的形式语言叫作一阶语言。下面先列出它们共有的初始符号，然后在定义中给出它们互相间可能相异的初始符号。
一阶语言共有的初始符号有以下几类：（1）恒真命题符和命题符：T；P[,0]，P[,1]，P[,2]，…，P[,n]，…；n为非负整数。T指恒真命题，命题符的全体记为｛P[,0]，P[,1]，P[,2]，…，P[,n]，…｝记为V[,p]。
（2）变元符：v[,0]，v[,1]，v[,2]，…，v[,n]，…；n为非负整数。它们的全体记为V[,i]。
（3）逗号和括号：，（）。
通常以p，q，r等字母表示任意命题符，以x，y，z等表示任意变元等。
定义1.1 一个一阶语言由下列三类初始符号确定：
（1）有穷或可数无穷多个个体符，它们的全体记为S[,c]；
（2）有穷或可数无穷多个函数符，它们的全体记为S[,f]； 各个函数符有一个正整数表示其变目数，n元函数符就是变目数为n的函数符；
（3）有穷或可数无穷多个关系符，它们的全体记为S[,r]；各个关系符有一个正整数表示其变目数，n元关系符就是变目数为n的关系符。
令S＝S[,c]∪S[,f]∪S[,r]。给定S，也就确定了一个一阶语言，这个语言记为
（S）。我们用正体小写字母a、b、c（或加上标或下标）表示任意个体符， 正体小写字母f、g、h（或加上、下标）表示任意函数符，正体大写字母P、 Q、R（或加上、下标）表示任意关系符。个体符、函数符、 关系符统称为非逻辑符，其余各类符号统称为逻辑符。
符是由初始符号组成的有穷序列，也就是有穷多个初始符号依次并列而得的结果。由一阶语言（S）中初始符号所形成的符的全体，记作Expr（S）。我们用黑正体小写字母u、v（或加上、下标）表示任意符。任何两个符u和v依次并列而得的结果仍是一个符，这个符记为uv。我们以正体大写字母X、Y、Z等表示任意的符集，即， 由任意多个符组成的集合。
初始符号是有意义的，但由它们形成的符并不全都对我们有意义。我们只对一部分符感兴趣，这部分符形成Expr（S）的若干子集。 这些符集分别记作Term（S），Atom（S）和Form（S）， 它们的精确定义如下。
定义1.2.符集Term（S）是所有满足下列条件的符集x的交：
（2）如果f是一个n元函数符并且u[,1]，u[,2]，…，u[,n]都属于X，那么符f[u1]，u[,2]，…，u[,n]）∈X。
作为项和公式的定义的直接结论，我们有下面的很有用的归纳原理。
定理1.1.（项结构上的归纳原理） 令P是关于符的一个性质。 如果下列两条件成立：
（1）个体符和变元符都具有性质P；
（2）如果f是一个n元函数符并且项t[,1]，…，t[,n]都具有性质P，则f[t[,1]…，t[,n]]具性质P； 那么任何项都具有性质P。
证明：令X为具有性质P的符的全体。易证，X满足定义1.2.中的条件。因此，Term（S）
X。所以，任何项都具有性质P。证毕。
定理1.2.（公式结构上的归纳原理）令P是关于符的一个性质。 如果下列三条件成立：
（1）T和命题符都具有性质P；
（2）如果公式A和B都具性质P，那么公式（AB）也具性质P；
（3）如果x是一个变元符并且公式A和B都具性质P，则公式（AxB）也具性质P；那么任何公式都具性质P。
定理1.2.的证明类同于定理1.1.的，从略。应用归纳原理来证明（S）中所有的项或所有的公式都有某性质，这是归纳证明，分别称为施归纳于项上和施归纳于公式上。
任何项有且只有下列三种形式之一：个体符，变元符，或f[t1]，…，t[,n]，其中的f是n元函数符。任何公式有且只有下列三种形式之一：原子公式，（AB），或（AxB）。 变元符在公式中的出现有自由和约束两种不同的情形，请看下面的定义。
定义1.5.变元符在公式中的自由出现，递归定义如下：
（1）变元符在原子公式中的出现都是自由出现；
（2）（AB）中的自由出现就是A中或B中的自由出现；
（3）（AxB）中的自由出现就是A中或B中不同于x的自由出现。
不是自由出现的变元符的出现被称为约束出现。不含自由出现的公式被称为语句或闭公式（简称句或闭式）。（S）中的语句的全体记作Sent（S），也是一个可数无穷集。用较复杂的项替换公式中的自由出现，结果仍是公式。下面讨论的代入是将公式中同一变元符的所有自由出现都换成同一个项的出现的运算。
（2）σ的支柱是指集合｛x∈V[,i]：xσ≠x｝；这里，xσ表示x在σ下的象。如果σ的支柱是有穷集，则称σ为具有穷支柱的。
代入是V[,i]上的映射，这种映射可以延拓到Term（S）上。 令σ是一个代入，σ的延拓如下：
（1）对各个个体符c，cσ＝c；
（2）对各个n元函数符f和项t[,1]，…，t[,n]，f[t1]，…t[,n]σ＝f[t1]σ，…，t[,n]σ）；这里，项t[,1]，…t[,n]在σ下的象分别记成t[,1]σ，…，t[,n]σ。
项经代入后的结果仍是项。如果两个代入对同一项中的变元符取象都相同，那么该项在这两个代入下的象也相同。令σ和τ是两个代入。σ和τ的复合στ是指它们的复合映射，即，对各个变元符x，x[στ]＝[xσ]τ。施归纳于项上，不难证明这个等式即使当x为任一个项时也是成立的。我们经常使用的是具有穷支柱的代入，因此引进一些专门记号来表示它们。令代入σ具有穷支柱｛x[,1]，…x[,n]｝，并令对各个j有x[,j]σ＝t[,j]，（j＝1，2，…，n）。 那么，我们将σ记成｛x[,1]/t[,1]，…，x[,n]/t[,n]｝。不难证明：
如果σ＝｛x[,1]/t[,1]，…，x[,n]/t[,n]｝并且τ＝｛y[,1]/u[,1]，…，y[,m]/u[,m]｝，
那么στ＝｛x[,1]/t[,1]，τ…x[,n]/t[,n]τ，z[,1]/z[,1]τ，…z[,k]/z[,k]τ｝；
这里，｛z[,1]，…z[,k]｝｛y[,1]，…，y[,m]－｛x[,1]，…，x[,n]｝（我们假定退化成x/x的情形已经排除在代入记号外）。
代入还可延拓到公式的全体Form（S）上。 由于变元符在公式中可既有自由出现又有约束出现，故延拓时要当心，不要影响约束出现。令σ是一个代入，它的延拓定义如下：
（1）对原子公式有，Tσ＝T，pσ＝p，
[R（t[,1]，…，t[,n]）]σ＝R（t[,1]σ，…，t[,n]σ）；
（2）（AB）＝（AσBσ）；
（3）（A[,x]B）＝（Aσ[,x]xBσ[,x]）；这里，σ[,x]是除了不改变x外都跟σ相同的代入。 它的精确描述如下：对任一个变元符y，当y≠x时yσ[,x]为yσ，而当y＝x时yσ[,x]为x。 如果两代入对同一公式中的自由出现取象都相同，那么它们应用于此公式所产生的结果也相同。因此，一公式A 要成为一个语句当且仅当对任一代入σ都有Aσ＝A。
代入的复合对于项的结果是较易于求出的，因为对于项t 和代入σ及τ，我们有t[στ]＝[tσ]τ。但是，对于公式而言，问题就不那么简单了。例如，令σ＝｛x/y｝和τ＝｛y/c｝，那么στ＝｛x/c，y/c｝。取公式A为（TyR[x,y]），则有Aσ＝（TyR[y,y]）；所以，（Aσ）τ＝（TyR[y,y]）。但是，A（στ）＝（TyR[c,y]）。 显然，A（στ）跟（Aσ）τ是不同的。因此，要想得到A（στ）＝（Aσ）τ就必须对代入有所限制。
定义1.7.代入σ对公式A可行的递归定义如下：
（1）如果A是原子公式，那么σ对A可行；
（2）如果σ对公式B和C都可行，那么σ对公式（BC）也可行；
（3）σ对公式（BxC）可行，当且仅当：σ[,x]对公式（BC）可行，并且当y在（BxC）中有自由出现时yσ中不含x。
定理1.3.如果σ对公式A可行并且τ对公式Aσ可行，那么A （στ）＝（Aσ）τ。
证明：施归纳于公式上。从略。（可以参看文献〔3〕）
二、一阶语义
为了给公式以意义，我们可以分两步来进行。首先给出一阶语言的一个模型（或叫一阶结构），然后给出此模型中的一个指派。模型由一个个体域和一个解释组成，个体域就是我们想要用公式谈论的全部个体对象，解释将说明个体符、函数符、关系符和命题符将指称什么。给定模型还不足以给出公式的全部意义，还必须有指派来帮助我们给出变元符的所指。变元符的所指是个体。模型和指派的精确定义如下。
三、模型存在定理
我们将建立一阶逻辑的一个基本定理——模型存在定理。为此，我们必须先引进一些定义和引理。
责任编辑注：文（2）见本专题1995年第9期12页。