函数周期性证明的解题策略，本文主要内容关键词为：周期性论文,函数论文,策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数的周期性是一类特殊函数的重要性质.中学教材对函数周期性的证明及应用涉及不多，但近几年的高考却逐步加大了这方面的考查力度.
1 扣紧定义，探求思路方法
周期函数的定义是证明函数具有周期性的重要依据，也是最基本的方法.利用定义，可证明如下两个常见的命题：
命题1 设α是非零常数，对于函数y=f（x）定义域内的一切x，总有下列条件之一成立，则函数y=f（x）是周期函数，且2α是它的一个周期：
①f（x+α）=f（x-α）；
②f（x+α）=-f（x）；
③f（x+α）=-[1/f（x）].
命题2 设α，b是非零常数，α≠b，若函数y=f（x）（x∈R）满足下列两条件之一，则函数y=f（x）是周期函数：
①它的图象关于两条直线x=α及x=b对称；
②它的图象关于直线x=α及点（b，c）（α≠b）对称.
利用周期函数的定义，容易给出命题1的证明，下面来证明命题2.
证明 ①在x轴上，坐标为x的点关于直线x=α的对称点A是2α-x，而A关于直线x=b的对称点是2b-（2α-x）=2b-2α+x，根据f（x）的图象关于x=α及x=b对称有：f（x）=f（2α-x），f（2α-x）=f（2b-2α+x），从而f（x）=f（2b-2α+x）.
又x是任意实数，上式说明y=f（x）是以2b-2α为周期的周期函数.
②同①有f（2α-x）=f（x），
再由f（x）的图象关于点（b，c）对称得
f（2α-x）+f（2b-2α+x）=2c，
即f（x）=2c-f（2b-2α+x）.
（1）
∵x是任意实数，∴以2b-2α+x代上式中的x有
f（2b-2α+x）=2c-f（4b-4α+x）.（2）
综合（1）、（2）有f（x）=f（4b-4α+x），
从而y=f（x）是以4b-4α为周期的周期函数.
2 通过类比，寻找基本周期
事实上，利用定义证明函数的周期性可分两步：首先确定一个周期T（T≠0），其次验证特征式f（x+T）=f（x）对f（x）定义域内的一切x总成立.其中前者是解决问题的关键，也是学生颇感困难的一步.而如果我们将所证问题的题设条件与上述两个命题作一个类比，则问题往往会迎刃而解.
例1 （1996年全国高考题）设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时f（x）=x，则f（7.5）等于（
）.
（A）0.5
（B）-0.5
（C）1.5
（D）-1.5
分析 许多同学采用迭代法解答此题.实际上，将题设条件与命题1②类比，易知f（x）是以4为周期的周期函数，则本题有如下的解法：
f（7.5）=f（7.5-8）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5，选B.
例2 （2001年理科高考22题第②题）
设f（x）是R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，证明f（x）是周期函数.
分析 本题证明的难点是f（x）的周期一时难以确定.但如果注意到偶函数的图象关于x=0对称，结合条件f（x）的图象关于x=1对称，并将其与命题2①作类比，不难发现f（x）的周期是2（1-0）=2，再用定义立得证明过程.
证明 由条件有f（x）=f（2-x），又f（x）是偶函数，
∴f（x+2）=f[2-（-x）]=f（-x）=f（x），∴f（x）是以2为周期的周期函数.
有趣的是，注意到奇函数图象关于原点对称，类比命题2②，则上题有如下变题：
变题1 设f（x）是R上的奇丞数，其图象关于直线x=1对称，证明f（x）是周期函数.
3 运用特例，推测问题结论
有些命题，结论并不明朗.这时运用一些特殊函数去发现周期性则成为解题关键.
例3 （例2变题2）已知函数f（x）满足：（1）是偶函数；（2）图象关于直线x=α（α＞0）对称；（3）在闭区间[0，α]上单调递减.
问：f（x）是否为周期函数？若是，求出最小正周期；若不是，说明理由.
分析 由于问题结论的开放性，学生首先感到困难的是没有明确的解题目标.但是，如果我们利用特殊化，注意到cosx是偶函数，其图象关于直线x=π对称且在[0，π]上单调递减，而cosx是周期函数，最小正周期是2π，于是我们推测f（x）是周期函数，最小正周期是2α.f（x）是周期函数的证明并不难，且2α是其一个周期，下面仅给出2α是最小正周期的证明.
若f（x）的最小正周期是b，且0＜b＜2α，则f（b+x）=f（x）=f（2α+x），取x=-b有f（0）=f（-b）=f（2α-b）.
（*）
当0＜b＜α时，由f（x）在闭区间[0，α]上单调递减有
f（0）＞f（b）=f（-b），这与（*）矛盾.
当α≤b＜2α时，则0＜2α-b≤α，同样由f（x）在闭区间[0，α]上单调递减有f（2α-b）＜f（0），亦与（*）矛盾.
所以2α是最小正周期.
例4
设f（x）的定义域关于原点对称，且满足：
练习
1 定义在R上的函数f（x）恒有f（x）=f（x-1）+f（x+1），求证f（x）是周期函数.
2 已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x）.（1）f（x）是否为周期函数？（2）若f（1）=2，求f（2001）的值.
3 已知f（x）是定义在R上的函数，恒有f（1+x）=f（1-x），f（9+x）=f（9-x），且x=0是方程f（x）=0的根.求在区间[-2000，2000]上方程根的个数.
4 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（4-x），当x∈[0，2]时，f（x）=-x[2]+1，则当x∈[1998，2000]时，求f（x）的解析式.
标签：函数周期性论文;