中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究，本文主要内容关键词为：抽象论文,中学生论文,障碍论文,思维论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、抽象概括的逻辑过程在数学活动层面的阶段假设
“抽象”一词，来源于拉丁语“abstracio”，意思为排除、抽取.一般地，人在思维中把客观事物的某一方面特性与其他特性分别开来单独考虑，就是抽象.抽象是与具体相对应的概念，具体是事物多种规定性的总和，因而抽象亦可理解为由具体事物的多种性质中舍弃了若干性质而固定了另一些性质的思维活动.
所谓概括，是指在思想上把抽象出来的各种对象或现象之间的共同属性、本质特征结合起来的过程.科学的、正确的概括就是把存在于事物和关系中的共同内容提取出来.抽象和概括是互相联系、密不可分的，抽象是概括的基础，没有抽象就不可能认识任何事物的本质属性，就无法概括.概括也是抽象过程中的所必需的一个环节，对共同点的概括才可得到对象的本质属性.
在数学学习中，抽象和概括被认为是数学活动中的主要逻辑方法，学生数学学习水平的高低与学生抽象概括能力的高低有直接的关系[1]，研究数学学习过程中学生进行抽象概括时所产生的思维障碍显得格外重要.从研究数学活动过程的抽象概括的思维障碍层面来看，对抽象概括不能仅停留于笼统的认识，需要结合学生进行数学活动时的思维特征，把在现实中通常以综合方式出现的抽象概括过程进行科学地分解，分析出它所包含的基本要素，研究这些要素之间的相互关系，认识其相对稳定的结构特征，了解这些基本要素的功能，进而为正确认识数学学习中进行抽象概括时可能产生的思维障碍提供依据[2].基于此，研究者在文献研究和经验概括的基础上，建立起学生在数学活动中，进行抽象概括的过程之一般模式的假设体系，直接为研究数学学习过程中抽象概括的思维障碍提供分类基础，以期有效地揭示数学教学中培养学生抽象概括能力的科学规律.
揭示数学活动中抽象概括过程的一般模式，先建立以下假设：
假设1 数学活动中的抽象概括过程由若干相对独立的阶段构成.
说明：数学活动中任一具体的抽象概括的过程都不是杂乱无章地进行的，仔细去分析数学活动的抽象概括过程可知，无论怎样简缩和跳跃，皆需要经过抽离、筛选、扩张和确认等4个阶段，这其中的某些阶段在实践中或许可以简缩或甚至于不被主体觉察，但却是逻辑地存在于数学活动的抽象概括的过程之中.研究它们的存在和功能正是深入探讨数学学习中抽象概括活动规律的重要内容.
假设2 无论是什么类别的数学对象的学习，其抽象概括过程的阶段和智力活动成分是相同的，都是指向数学事物的“本质属性”和“共同特征”.
说明：尽管学术界对知识的分类体系不同[3]（例如安德森把知识分为事实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识，而其他人对知识的分类与安德森不尽相同），但是主体在数学活动中，其抽象概括的指向都是数学事物的“本质属性”和“共同特征”.
以下分析主体在数学活动过程中进行抽象概括的4个阶段.
（1）抽象概括的抽离阶段
当主体开始对数学对象进行研究时，首先要做的是根据数学活动的需要，通过对比、区分之后，舍弃数学对象的某些属性或特征而确定其中的一些属性或特征，并通过文字或符号语言将这些属性或特征表达出来（具体过程中通常表现为个体的内部言语）.这种将属性或特征从对象中抽取出来的过程，就称为抽象概括的抽离阶段.例如，将“长度”这一属性从“物体”这一对象中分离抽取出来.又如，对于数列2，4，6，8，10，12.考察其本质属性时，往往可能是先被抽出只有局部特征的一系列属性（这时被抽取的属性未必是该数学对象特有的或是本质的属性），对这些属性的表达通常以“判断”的形式出现.例如：①首末两个数的个位数是2；②每个数都是偶数，且大于2；③每一个数都比前一个数大2；④第一个数是2，从第二个数开始，每一个数与前一个数之差是2；⑤第二个数与第五个数的和与头尾两个数之和相等.
这一阶段，抽象概括的对象可能是未被规范的语言准确表述的、在具体事物中的某些数学属性和特征.抽取的方式是力图用形式化的数学语言将被认定的数学属性和特征表述出来.这一阶段显然受数学活动需要的支配，也受前此知识背景的制约.但这一阶段所抽离出来的未必都是事物的数学方面的本质属性和共同特征.
（2）抽象概括的筛选阶段
主体根据数学活动的需要，对在第一阶段中用数学语言表述的属性和特征进行逻辑加工，分别从包含（由判断A可以推出判断B，则说A包含B）、并列（各个判断中涉及的对象没有交叉部分）、矛盾（两个判断相互矛盾）、相容（各判断中涉及的对象有交叉部分）、等价（判断之间可以相互推出）等各种逻辑方式去考察所面临的属性和特征，从中筛选出合理的部分.例如对于以上数列属性的考察，通过筛选，可知④包含了其他几条，而其他几条都是并列的.这一阶段，要求主体具有相对完善的逻辑结构，掌握相应的知识，对用形式化表述的数学内容中的相关术语和关系有正确的理解和认识.
（3）抽象概括的假设、扩张阶段
第二阶段所筛选出来的属性和特征通常仍带有具体的被抽象概括的具体事物的痕迹，例如对以上数列的属性中所筛选出的④，仍含有具体数列中的“2”这一该数列的特殊属性.第三阶段的功能是要解决如何将特殊化为一般.主体面临经前两阶段加工的数学属性或特征时，按照抽象概括的需要，思维的方向是从特殊扩张到一般，这种扩张的主要逻辑途径是归纳与类比.例如对于以上数列的属性，将特殊对象中的“2”这一限制除去，扩张成一般的等差数列的本质属性.但由于这种扩张只是从某些具体事物出发的扩张，是否带有一般意义仍需进一步考察，因而这种扩张带有假设的成分.对于能力强者，所作的抽象概括可能一气呵成，思维呈现出跳跃.
（4）抽象概括的确认阶段
对于在第三阶段假设成立的数学对象的本质属性或共同特征，仍需要进行检验或证明，才能确认其是否符合数学学科的真理性标准.这时通常可能出现两种情况：第一种是通过检验或证明，否定了原来的假设，此时，如果主体不放弃，则只能再次重复以上的4个阶段，修正原来的过程中的误漏，直至成功.第二种是通过检验或证明，确认了原来的假设.这里又分两种情况，其一是抽象概括的结论是完备的，即不含特例于结论之外；其二是抽象概括的结论是不完备的，即存在个别特例于结论之外，必须作补充定义或补充说明，进行“特例确认”.例如，在概括出“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这一法则后，还必须补充定义
=1（a＞0）的情况.
二、数学学习过程中抽象概括的思维障碍分类体系
1.数学学习过程抽象概括思维障碍的操作性定义
为了使所研究的抽象概括过程具有明显的数学学习特征，使研究中所指的“抽象概括”的思维障碍具有明确的内涵.在此给出数学学习过程中抽象概括的思维障碍的操作性定义：学生学习数学过程中抽象概括的思维障碍是指学生学习数学时，对用实物、模型、语句、符号或图像所表示的具体学习对象的数学本质属性和共同特征进行抽离、筛选、假设和确认时，来自于非学科知识缺漏的认知障碍.
之所以要除去由于数学知识的缺漏而引起的障碍，是为了保证所研究的障碍的产生仅与学生的抽象概括水平直接相关.只有研究符合这一操作性定义的抽象概括的思维障碍，才能更有效地揭示学生学习数学时抽象概括的思维规律.
2.数学学习过程中抽象概括的思维障碍的分类
在文献研究和经验概括的基础上，结合对学生的实际检测的分析，建立起如下的抽象概括的思维障碍分类（共4类11种）体系[4].
（1）抽离阶段的障碍
①抽取数学属性的意识不强（抽离的意识）；
②抽取数学属性的思维方向不明确（抽离的方向）：抽取的只是个别属性或非本质特征，而不是共同属性或本质特征；或只对给出对象的局部进行抽取，而没有作整体考虑；
③对所抽取的属性的形式化的表达不准确或者不严谨而产生歧义（抽离的表达）.
（2）筛选阶段的障碍
①面临表述研究对象的数学属性的语句（含符号语句）时，进行逻辑加工的意识不强（筛选的意识）；
②在筛选研究对象的数学属性时，对必须遵循从特殊到一般，从具体到抽象去筛选和提取才能得到本质属性的思维方向不明确（筛选的逻辑方向）；
③对表示等价关系和非等价关系（包含、并列、矛盾、相容）的判断语句的识别与运用有困难（筛选的逻辑基础及对应的语言表达）.
（3）假设阶段的障碍
①对用语句或式子表达的数学属性进行归纳和类比时，要力求使之具有一般性的意识不强（扩张的意识）；
②在将具体的数学结论推广时，不懂得如何用字母或文字去表示具体结论的一般形式（扩张的表达形式）.
（4）确认阶段的障碍
①面临已给出的或经筛选阶段认定的一般结论时，自觉去进行检验或证明，以确认其正确性的意识不强（确认的意识）；
②对如何证明结论与如何否定结论的逻辑标准不明确（确认的逻辑）：通过构造反例去检验结论是否正确的逻辑功能不明确；对由归纳或类比所得的结论尚需进行严格证明其正确性的逻辑需要不明确；
③按抽象的语句或符号去表达具体的数学对象时有困难（确认的形式具体化）；不善于按假设的一般结论和抽象数学形式去构造出特殊或具体的数学形式（确认时经常需要通过构造正例或反例去检验假设的结论）.
三、中学生数学学习过程中抽象概括的思维障碍检测体系的构建思路
不失一般性，研究者对初中学生在数学学习中抽象概括的思维障碍进行了抽样检测，借此去探讨中学生在数学活动中抽象概括的思维障碍的现象和程度.
以下是检测的方法、过程和所得的结论.
首先，假设同一年龄阶段、相同知识背景的学生在进行数学学习时所可能产生的抽象概括的思维障碍在整体上是一致的，在取样合理的条件下，通过样本研究可以对整体的特征做出正确的判断.
其次，为了研究中学生学习过程中抽象概括的思维障碍，按照前面对这些障碍的分类，设计出模拟数学学习过程的具有代表性的，需要进行抽象概括才能解决的材料系列，作为对学生进行检测的题目.如前所述，这些题目都尽量注意到知识背景的合理性，以保证被试不会因为知识缺陷而对要解决的问题产生障碍，使这些题目对中学生数学学习中抽象概括的思维障碍的诊断具有足够的信度.
例如，在抽象概括的第四阶段——确认阶段，主体常需要对得到的阶段性结论用具体的数学形式去验证（具体见以下案例）.
案例：当主体通过不完全归纳得到“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这个结论之后，为了检验该结论是否正确，做法之一就是可以用具体的数学形式去表达之，看看如此之后会产生矛盾否.于是，主体就可能列出各种具体式子去检验.一旦具体的表达式中出现类似于
的情况时，主体才会引起对“负整数指数幂”的考虑，从而才可能对“同底数幂相除，底数不变，指数相减”这个结论得到完整的认识.
因此，用具体的数学形式去检验待证的阶段性结论过程，是主体在进行抽象概括活动中不可或缺的.
为了解学生在“确认阶段”的过程中按某种抽象的要求去构造出具体的数学对象时可能产生障碍的情况，可设计如下题目去进行检测.
例题（该问题要检测的是学生能否按抽象的语句去构造具体的数学形式，在这里是由给出的语句去构造具体的数列）：现有两个语句
A.一列数，其中的每一个数都是大于2的偶数；
B.一列数，其中的首末两个数的个位数是2.
（1）写出一列数，使之只符合这两个语句中的一个语句的要求而不符合另一个语句的要求；
（2）写出一列数，使之同时符合这两个语句的要求.
被试在回答这个问题时，对其中的数学知识应该是完全掌握的（测试之前要确认被试已经理解何谓“一列数”），这样设计的检测题目才能达到检测的目的.
四、初中学生数学学习过程中抽象概括的思维障碍的诊断检测分析及结论
研究者用按以上的设计原则设计的检测题在广州市的6所普通中学进行测试，分别在初二、初三（主要在初三）共取样约600人次.结果表明，学生学习数学过程中抽象概括的障碍相当严重，教师在教学中应当对此有足够的估计，许多在教师眼里是显然的东西，学生却有困难.
以抽象概括中的抽离意识为例，让初三的学生103人去完成以下的题目，时间为4分钟.
题目：请求出下面方格中的16个数的和.
事实上，只要学生具备先按这些数的特征去选择算法的意识（抽离数学特征的意识），则不难确定优化计算的方案，并且就能高效地完成后续工作.因而这个的题目功能可视作对抽离意识的检测.
测试结果如下：大体上有3类解法：
第一种，能从整体上处理，把1+2+3+4+5+6+7+8凑成4个9之和，而把9，19，29，39凑整十后计算的有14人，占13.5%（其中有1人算错答案，占这种做法的人数的7.1%，占总人数的0.97%）；
第二种，能从整体上处理1+2+3+…+8的和，但只会直接计算9、19、29、39的两倍后相加的有53人，占51.5%（其中有9人算错答案，占这种算法人数的17.0%，占总人数的8.7%）；
第三种，不能从整体上处理，只会逐行按顺序计算的有36人，占35.5%（其中有17人算错答案，占这种算法人数的47.2%，占总人数的16.5%）.
可见，三分之一以上的被试没有抽离的意识，而一旦具备了抽离的意识，则都能较轻易地确定优越的算法并且据此计算出正确结果.
由此得到的结论是：抽离意识强的被试的计算错误率远小于抽离意识弱的.
再以抽象概括中的抽离阶段中的抽离方向为例：
题目：有3位同学分别去研究1，3，5，7，9，11，13这一列数，他们都希望自己对这一列数的特点掌握得更多，从下面他们各自得出的结论来看，你认为谁找到的特点最多？请说出理由.
甲：（1）都由奇数组成；（2）两数之间相差2；（3）其中有一个数是9；（4）有5个质数；（5）最小的数是1.
乙：（1）由最小是1，最大是13的7个互不相等的正奇数组成；（2）其中有一个数是9.
丙：由最小是1，最大是13的7个互不相等的正奇数组成.
对于以上的问题，被试往往认识不到对事物本质属性的描述才可能穷尽对该事物特点的描述，而把抽离数学属性的方向指向局部或非本质属性.他们认为找到最多特点的应是甲或乙，这样看的被试占初三被试人数的75.5%，占初二被试人数的85.5%.
又以筛选阶段的筛选意识为例，对于以下问题：
题目：写出符合以下4点要求的数列（排成一列的若干个数就是一个数列，例如：4，2，8，5，1，0，2就是一个数列）：
A.其中有两个偶数；
B.其中最小的数是2，其余的5个数都是2的倍数；
C.其中有两个数是互为相反数；
D.其中有一个数与另一个数的乘积是10.
如果被试能有对于信息的筛选意识，就能轻易地只写出一个数列便能同时满足以上4点要求.但不少被试却不具有这种筛选意识，死板地按每点要求去写出不同的数列，检测的结果是，初三被试学生这样做的占89.3%.
再以筛选阶段的逻辑障碍为例，学生的困难更为普遍，对于以下问题（此问题实际上也涉及“确认的形式化”，即能够按逻辑需要去构造出具体的数列）：
题目：几张红色卡片上写着相同的一列数，几张蓝色卡片上写着相同的另外一列数，有几位同学各拿一张卡片（可能拿的是红卡片，也可能拿的是蓝卡片），他们分别说出了卡片中的那一列数的一些特点：
甲：我卡片中的数有正数，也有负数；
乙：我卡片中的数里有一个数是0；
丙：我卡片中的数里有一个数是2；
丁：我卡片中的数都是正奇数；
戊：我卡片中的数都大于3；
己：我卡片中的数里有两个奇数是互为相反数；
庚：我卡片中的数都大于-4.
根据他们说的，能确定持某种颜色卡片的同学是（ ），此时持另一种颜色卡片的同学是（ ），不能确定持哪一种颜色卡片的同学是（ ）.
检测结果表明，不能正确写出结果的即使是初三被试学生占94.5%.
事实上，由丁说的可知，甲、乙、丙和己所持的卡片是同一种颜色，丁和戊所持的卡片颜色是与甲等人不同的另外一种颜色；而庚所持的卡片不能确定是哪一种颜色.
而对于以下通常应视为简单的问题，不能做出判断的，占初二被试学生的81.8%，占初三被试学生的49.9%.
题目：“某图形A是一个四边形”和“某图形B是一个对角线互相垂直的四边形”这两个语句中可知：
图形A就是图形B，这个判断对吗？（ ）
图形B就是图形A，这个判断对吗？（ ）
至于对确认某一结论的逻辑标准的认识，学生同样存在严重的障碍.在并不复杂的背景下，他们便已分辨不清：“特例”究竟是对肯定一个结论具有确定性还是对否定一个结论具有确定性.例如，对于以下题目，有85.1%的初三被试学生认为答案应选“两人都不对”.
你认为（在以下选项上打√）：
小明的结论是对的（ ）；
小方的结论是对的（ ）；
两人的结论都不对（ ）.
限于篇幅，测试的题目和被试的情况不再一一罗列.
按前面对障碍的分类（4类11种）去设计了测试题目，并在广州市的6所普通中学的初三学生中抽取493人次的测试，测试结果如表1（表中数据是错误百分率）：
由以上的检测与分析可见，对于中学生在数学学习中需要进行抽象概括时所表现出的错漏或困顿，教师不应笼统视为“水平低”或“基础差”.应当具体地分析学生产生障碍的类型和程度，以渗透的方式逐步地提高学生对事物的数学属性的抽离、筛选、假设和确认的能力，针对数学学习中对事物的数学属性和特征进行抽象概括的需要，分阶段、分类型地培养学生的抽象概括的意识，帮助学生把握抽象概括的方向，教会学生掌握用数学学科的规范对数学现象进行准确的表达，帮助学生在头脑中建立起相对完备的逻辑体系，进而排除来自认知过程中不仅涉及知识缺陷，而且涉及认知模式、认知结构的各种障碍[5～12].从而构建起对数学学习时进行抽象概括的完善的认知结构，形成良好的数学素质，为数学学习乃至其他学习活动的顺利进行打下重要的基础.