有关模型思想若干问题的分析与解读，本文主要内容关键词为：若干问题论文,模型论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
究竟什么是模型思想？
是一个模型吗？模型思想的本质是什么？初中数学中的模型思想与数学科学中所阐述的（数学）模型思想有什么不同？一道有实际背景的数学题的解决是否就是建模（即建立模型的过程）？模型思想是否主要体现在问题解决之中？模型思想在初中数学教学中的具体内涵是什么？其核心价值何在？ 上述问题是初中数学的焦点问题、难点问题.本文就以上问题加以阐述. 一、中小学数学中的模型思想（建模思想）与数学一般意义上的“模型”有什么侧重？ 目前，国内中小学同行对于模型思想大多阐述为“按照模型准备—模型假设—模型求解—模型运用的流程实施数学建模的教学实践”[1].这种理解并无科学性错误，属于数学一般意义上的理解. 所谓数学模型，是指根据问题实际和研究对象的特点，为了描述和研究客观现象的运动变化规律，运用数学抽象、概括等方法而形成的，用以反映其内部因素之间的空间形式与数量关系的数学结构表达式，包括数学公式、逻辑准则、具体算法和数学概念.数学模型是数学抽象、概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系. 数学模型有广义和狭义两种解释.广义地说，数学中的许多重要概念（如方程、函数等）都可称之为数学模型，正如张奠宙教授指出的，“加、减、乘、除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的”.比如，a+b可以理解为一个数学模型，它刻画了三个量a、b、a+b之间的特定关系.狭义地说，只有反映特定问题和特定具体事物系统的数学关系结构，方可以构成数学模型，而且这类数学模型大致可分为两类：一类是描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代数方程、微分方程、积分方程和差分方程等；另一类是描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一.也就是说，接通行的、比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定具体事物系统和数学关系的结构，才叫做数学模型.例如，平均分派物品的数学模型是分数，它描述了总量、份数、一份的量三者之间的关系“总量=份数×一份的量”.370人的年级中，一定有两位同学同一天过生日，其数学模型就是抽屉原理，即如果每个抽屉代表一个集合，n+1个（或n+1以上个）元素放到n个集合中，其中必定至少有一个集合里有两个元素（抽屉原理亦称鸽巢原理，它是组合数学的一个重要原理）. 要点明晰：（1）与数学科学中“模型”的一般意义有所不同，在中小学数学教学中，模型思想的核心在于建模，旨在帮助学生积淀从现实问题到数学模型的抽象的直接经验，并体现解决问题之后的回归过程；（2）模型是联系现实世界与数学世界、数学与其他学科之间的一座必不可少的桥梁和纽带. 二、数字
等抽象概念是一个数学模型吗？ 简单地说，数学模型是用以反映现实世界的一个抽象而简化的结构.在中小学数学中，真实意义的数学模型必须是一个“故事”，这个“故事”中包含两个（或两个以上）量，而量与量之间构成一种固定的关系（或结构）.因此，2、
等是一个人为抽象的概念，而不是一个数学模型，尽管现实世界中存在大量关于2、
等的原型，但现实世界中并不存在2、
、点、线等.例如，现实世界中根本不存在仅有位置而没有大小的东西. 在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么，方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态.建立不等式模型需要我们将现实问题数学化，即根据问题情境中的数量关系，列出不等式，进而解不等式，最后还要将结果“翻译”到现实问题中，检验其是否符合实际意义. 对于函数模型思想的学习，必须倍加注意：函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立函数模型的基础，具有良好的普适性.因而，通过建立模型、分析模型、求解模型、解释规律等过程引导学生理解函数是一个好的学习途径. 要点明晰：数学模型一定是一个“故事”，这个“故事”中一定包含两个（或两个以上）量，进而刻画能够反映这些量之间变化规律的一个关系（或结构）. 三、在初中数学中，实施模型思想的教学，其侧重点应该放在何处？ 关于初中数学模型思想的课程教学实施，一线教师经过若干尝试（见文献[2]），认为要突出“数学化”过程，切实掌握上述“数学化”（即数学建模的完整过程），从而加深对数学建模基本步骤的理解与掌握.其观点主要围绕“问题解决”中的模型思想.我们就如下问题加以分析： 案例1：一位成年女士穿多高的高跟鞋是合适的？ 古希腊人研究发现，当一个人的肚脐眼处在身体的黄金分割点时，视觉效果最好，这就是一个典型的模型，将其抽象为数学模型就是“黄金比线段”，即寻找给定线段的黄金分割点，形成黄金比例线段.于是，对于案例1的现实问题进行数学化，将其抽象为：
解这个方程，得到x，这就是数学模型的解.但是，这个解是否符合实际意义需要进一步判断. 解决该问题所需要的模型有两个：一个是“黄金比线段”，另一个是“一元一次方程”.对于前者，在解决问题过程中，需要学生心中事先拥有这个模型，将现实问题抽象为“黄金比线段”模型；后者是作为工具出现的——一元一次方程模型，但其建立的过程被大大简化了.在该问题的实际教学中，不仅需要帮助学生亲身经历建立模型、解决问题的过程，更要明晰其中的两个模型“黄金比线段”“一元一次方程”，而不仅仅为了解决这一问题，其最终目的在于不断提升学生解决问题的综合能力. 模型思想不仅需要体现在问题解决中，而且需要体现在数学概念的抽象过程中；模型思想既可以体现在解决一个现实问题的完整过程中，也可以体现在一个相关数学概念的抽象过程中. 要点明晰：（1）在初中数学课程教学中，开展模型思想的教学，一是帮助学生明确蕴涵模型思想的那些重要概念、原理等的形成过程、抽象过程，并在亲身经历这些概念、原理等的抽象过程中，深刻体会其中所包含的模型思想，这是当前初中数学教学最容易被忽视、尚未引起足够重视的内容；二是在这些重要概念、原理等的具体应用中，帮助学生深刻体会运用模型思想解决问题的过程，感受模型的魅力，提升模型思想的实际应用能力.前者属于数学模型的形成过程（其依附于重要的概念、原理等，模型思想蕴涵其中），后者是问题解决之中模型思想的具体应用.（2）帮助学生经历数学模型的构建过程，积淀建模的直接经验和体验，是模型思想课程教学实施的焦点和难点. 四、在初中数学中，模型思想的课程教学需要单独进行吗？它与基础知识教学的关系如何？ 我们可以将模型思想融入等核心概念的教学中.例如，“方程”概念的形成过程，可以充分体现其中所蕴涵的模型思路. 案例2：乐乐用72元买了汉堡包和爆米花共10份，如果汉堡包每份8元，爆米花每份6元，那么，她买了几份汉堡包呢？[3] 模型构建： 第一步，分析问题，寻找关系，并用自然语言刻画. 问题中存在多个量，这些量之间存在一些相等关系： 买汉堡包所需钱数+买爆米花所需钱数=总钱数； 汉堡包的份数+爆米花份数=总份数； 汉堡包的单价×汉堡包的份数=买汉堡包所需钱数； 爆米花的单价×爆米花的份数=买爆米花所需钱数. 第二步，用半符号语言表达关系： 如果我们用●表示汉堡包的份数，用■表示爆米花的份数，那么，上面的关系可以表示成： ●（份）+■（份）=总份数10（份）； 8（元/份）×●（份）+6（元/份）×■（份）=总钱数72（元）. 学生从一份面包开始，分组验证…… 第三步，用数学符号语言表达关系： 设买汉堡包x份，那么，上述关系可表示为： x（份）+■（份）=10（份）； 8（元/份）×x（份）+6（元/份）×■（份）=72（元）. 于是，可以用（10-x）表示爆米花的份数，从而，可将上面的关系式简写为8x+6（10-x）=72. 上述过程可以用图2表示：
在上述过程中，我们首先发现用自然语言描述的关系，而后用半符号语言、数学符号语言逐次表示关系，这个过程就是建立数学模型的过程，简称建模.像8x+6（10-x）=72这样含有未知数的等式叫做方程.至于解方程，其基本思路就是，将含有未知数的项放在方程的一边，将不含未知数的项放在方程的另一边，进行代数式化简和计算，即可将方程化为ax=b的形式，进而求出方程的解. 利用列一元一次方程解决问题，核心在于方程的建模过程[4]，即发现问题中的等量关系—用等式表达关系—用符号语言表达关系—用含有未知数的方程表达关系——一元一次方程.解方程的要点在于“化繁为简、化生为熟”的化归思想. 对初中生来说，方程学习的核心，一方面在于建模，另一方面在于解方程.一元一次方程比较全面地展示了其中蕴涵的模型思想，即用等号将相互等价的两件事情联立.至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的.这就是数学建模的本质表现之一.对于后者（解方程），关键在于转化，即将新问题化归为以前可以解决的问题，利用已掌握的算法加以解决.这种化归、迭代的思想正是现代计算机的基本思想. 在初中数学学习中，我们必须帮助学生真正体会数学与现实生活密不可分的联系，体会方程是从现实生活到数学的一种提炼过程，用数学符号提炼现实生活中特定关系的一种过程.模型思想的学习必须结合具体的数学学习内容进行，不宜孤立地开展.在初中数学中，方程、函数、不等式等核心数学内容都可以有效体现模型思想，即由数量抽象到数，由数量关系抽象到方程、函数（如正反比例）等；通过推理计算可以求解方程；方程模型构建的过程必须经历从现实问题中发现等量关系，并用自然语言表达，而后采取恰当的半符号语言表达等量关系，最后转换成用符号语言表达等量关系并将已知与未知联系在一起，形成刻画等价关系的方程（模型）.有了方程等模型，就可以把数学应用到客观世界中，不同的模型所表达的内容不尽相同、各自有所侧重. 要点明晰：将模型思想的教学融入基本概念的日常教学，采取渗透、专题和系统梳理等途径，是模型思想课程教学实施的成功策略. 五、模型思想在中小学数学课程教学中的教育价值是什么？ 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”，这句话实际上是明确模型思想的作用，随后提出的“建立和求解模型的过程”，即“从现实生活或具体情境之中，抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量变化和变量规律，求出结果、并讨论结果的意义”，旨在帮助学生初步形成模型思想，提高数学学习的兴趣和应用知识解决实际问题的能力，进而提升学生的数学素养. 为此，在初中数学教学中： （1）学习数学就是为了学会数学化，其重要内容就是现实问题数学化、数学内容现实化. 正如世界著名数学家、数学教育家弗莱登塔尔所言，“与其说学数学，倒不如说学习数学化”.所谓数学化，我们认为，其本质在于现实问题数学化，数学内部规律化，数学内容现实化.“现实问题数学化”就是将现实问题进行抽象，用数学的语言、形式刻画现实问题，形成数学模型，这个过程就是数学建模的过程；“数学内部规律化”就是指用形式化、逻辑的符号语言，表达数学内部的内容，最终形成一个结构化、简约化的数学结构.其极端状态就是大数学家希尔伯特所期望的形式化；“数学内容现实化”意味着主动寻找数学内容的现实模型，用数学模型刻画、解释现实世界. “数学化思考”（或者称为“数学化的思维”）就是指在具体的情境中抽象出事物的本质，概括出事物之间的共同特征和普适规律，即抽象概念、建立数学模型.数学化思维也包括对数学模型进行分析推理.因此，从这个角度讲，数学模型就是联系现实世界与数学世界的桥梁，让学生初步掌握模型思想，就是帮助学生体会和理解数学与外部世界的密切联系，从而体会将现实问题抽象为数学模型以及主动寻找数学内容的现实原型的过程，前者就是数学建模的过程，后者则是数学模型的直接应用. （2）模型思想的重要载体乃是数学模型方法. 数学模型是运用数学的语言、工具和方法，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预算、决策和控制，并且要经过实践的检验.如果检验的结果是正确的，那么，便可以指导实践. 构造数学模型，通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，通常称之为数学模型方法，简称MM方法.建立模型思想的一个重要表现就是掌握数学模型方法. 从某种意义上说，解决问题就是一种模型化的过程，它的一般思路就是：关注情境，获取其中的核心信息—理清情节，把握关键—抽象概括，建立模型—解决问题，拓展模型—检验结果，回归原始问题的答案. （3）模型思想的核心在于建模，而建立模型思想的关键在于学生具有将现实问题与数学内容之间构建关联的主动意识和操作能力. 小学最重要的两个模型是乘法模型与加法模型，即“路程=速度×时间”“总量=部分量之和”.有了这两个模型，就可以建立方程等模型，阐述现实世界中的“故事”，进而帮助我们解决问题. 案例3：在高速公路上，初中生小A乘坐在几乎匀速前行的大巴车上.他想知道车辆行驶的速度，但是，在车的后排、他看不到驾驶室中的车速表.他不想打搅其他乘客与大巴车司机，而想通过自己的方式解决问题： 想知道速度，必须寻找与此相关的其他量.他自然想到“路程=速度×时间”模型，只要知道路程与时间就可以了.路程好办，透过玻璃窗，他可以清楚地观察到高速公路上的公里牌；时间怎么办？又没带手表、手机，自己的脉搏不就是一个相对精确的计时器吗？他平时脉搏为68次/分钟.于是，他从37千米的公里牌开始号脉，到38千米，脉搏跳动了34次.如此，半分钟汽车行驶了1千米.车速是每分钟2千米，即120千米/时. 在上述问题的解决过程中，小A首先寻找与待解决问题密切相关的数学模型，而后再寻找模型中的已知量，进而解决问题. 要点明晰：（1）模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，最终提升“现实问题数学化”与“数学内容现实化”的数学化的能力水平.（2）在初中数学教学中，实施模型思想的教学，就是要帮助学生理解掌握初中数学中的重要概念、原理，挖掘其所蕴涵的模型思想，并在问题解决过程中，主动联想相关的模型思想，分析解决问题，最终提升学生的数学素养.
标签：数学论文; 数学模型论文; 数学素养论文; 初中数学论文; 一元一次方程论文;
