高中数学新教材第九章教学问答（二），本文主要内容关键词为：第九章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
172.怎样将“斜线在平面内的射影”的概念进行推广？
答：我们将“斜线在平面内的射影”这个概念也推广到以下三种情况：
（1）平面的斜线在这个平面内的射影，定义为“从斜线上斜足以外的任意一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线”；
（2）平面的垂线在这个平面内的射影，定义为“这条垂线与平面的交点”；
（3）平面的平行线（或在平面内的直线）在这个平面内的射影，定义为“这条直线上任意两点在这个平面内的射影的连线”.
归纳这三种情况，“斜线在平面内的射影”就被推广成“直线在平面内的射影”.相应地，“斜线段在平面内的射影”也可以推广成“线段在平面内的射影”.其中，线段的长度可以不是0，也可以是0；射影的长度可能不是0，也可能是0.
173.设α、b是平面α外的任意两条线段，α、b相等能否推出它们在α内的射影相等？反过来呢？
答：设长度为d的线段所在直线与平面α所成的角为θ，其射影的长度为d＇，那么d＇=d·cosθ.因此，决定射影的长度的因素除了线段的长度d外，还有直线和平面所成的角.
当α=b，但α、b与平面α所成的角θ[，1]、θ[，2]不相等时，α、b在平面内的射影α＇、b＇不一定相等.
反过来，当α、b在平面内的射影α＇、b＇相等，但α、b与平面α所成的角θ[，1]、θ[，2]不相等时，α、b也不一定相等.
174.怎样使学生区分清楚三垂线定理及其逆定理？
答：我们可以把三垂线定理简化成“垂影则垂线”，记住它是“先内后外”；而把它的逆定理简化成“垂线则垂影”，记住它是“先外后内”.
175.怎样使学生正确理解二面角的概念？
答：我们可以让学生把二面角的概念与角的概念进行比较：角是由从同一点出发的两条射线组成的图形，即线-点-线，表示为∠AOB；二面角是由从同一直线出发的两个半平面组成的图形，即面-线-面，表示为二面角α-AB-β（或二面角ααβ）.因为一个二面角的平面角的值是惟一确定的（即有且只有一个值），所以二面角可以用它的平面角的大小来度量.像这样，让学生把立体几何、平面几何中的相应概念联系起来，把它们的含义逐项进行对照，便可以加深理解旧概念，牢固树立新概念，从而提高学习效果.
176.怎样利用锐用三角函数来比较两个二面角的大小？
答：比较两个二面角的大小，就是比较它们的平面角的大小；利用锐角三角函数时，一般要先找出有关的直角三角形.
例如选择题：如图1，二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的一点（它不在棱AB上），点D是点C在平面β内的射影，点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么（
）.
A.∠CEB＞∠DEB
B.∠CEB=∠DEB
C.∠CEB＞∠DEB
D.∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定
分析：过C在平面α内作CF
177.怎样通过“折叠问题”来提高学生的空间想象能力和巩固他们相关的立体几何知识？
答：一般地说，这里的问题常常是把一个已知的平面图形折叠成一个立体图形（相反的问题是“展平问题”，即把一个已知的立体图形展平成一个平面图形）.这就要求学生认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质，并且在把这一平面图形折叠成立体图形以后，能分清已知条件中有哪些发生了变化，哪些未发生变化.这些未变化的已知条件都是学生分析问题和解决问题的依据.
例如选择题，如图2（1），在正方形SG[，1]G[，2]，G[，3]中，E，F分别是G[，1]G[，2]及G[，2]G[，3]的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个由四个三角形围成的“四面体”，使G[，1]，G[，2]，G[，3]三点重合，重合后的点记为G（图2（2）），那么在四面体S-EFG中必有（
）
这道题虽然涉及“四面体”的概念，实际上主要是用来巩固直线和平面垂直的判定定理和培养学生的空间想象能力.已知的是一个正方
（1）斜棱柱的底面可以是正多边形，此时由于侧棱不垂直于底面，所以它不是直棱柱.
（2）直棱柱的底面可以是正多边形，所以正棱柱是直棱柱的特例.
（3）在斜棱柱的侧面中，有的可以是矩形；如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形，那么它们的公共侧棱垂直于底面，此棱柱必为直棱柱.
180.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面都是平行四边形的几何体，是否一定为棱柱？为什么？
答：不一定.如图3所示的几何体中，面AC与面A＇C＇是对应边分别平行的全等四边形，其他面都是平行四边形，但它不是棱柱.
181.如何将四棱柱进行分类？如何将其中平行六面体的性质与平行四边形的性质进行比较？
答：四棱柱可以分类如下（这里把平行六面体的侧棱和底面多边形的各边统称为这个平行六面体的棱）：
平行六面体的性质与平行四边形的性质可以比较如下：
182.有一个面是多边形，其他面都是三角形的几何体，是否一定为棱锥？为什么？
答：不一定.例如，将两个底面全等的三棱锥的底面重合在一起，使顶点分别在底面的两侧，这样组成的几何体的所有面都是三角形，但它不是棱锥.
183.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可以有几个？
答：在回答这个问题之前，可以让学生先熟悉一个常见的四面体（图4）.
可以看出面SAB，面SAC都是直角三角形，并可证得面SBC也是直角三角形.应该要求学生对这个四面体能有一个比较深刻的认识.以它为模型，可以设计出立体几何中线线关系、线面关系、面面关系的证明题和计算题.
如果学生掌握了这个四面体，那么两个这样相同的四面体就可以拼成一个四棱锥（图5）；使面SAC重合.这样，这个四棱锥的四个面SAB，SBC，SDC，SAD就都是直角三角形.
有了上面的分析，可知四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可以有4个.
184.凸多面体有哪些基本性质？
答：（1）凸多面体的面数不小于4；
（2）用任何一个平面去截凸多面体，截面总是凸多边形；
（3）凸多面体的顶点数V、棱数E与面积F之间有关系式V+F-E=2（简单多面体的欧拉公式）.
思考题
1.如何找出更多的实例，让学生把立体几何、平面几何中相应的概念联系起来，把它们的含义逐项进行对照，从而加深理解旧概念，牢固树立新概念，即更好地实现同化和顺应？
2.如何帮助学生在“折叠”“展平”问题的分析中找出形状、大小、位置关系的不变部分和变化部分，从而得到解题思路？