摘要：根据正方形的性质“正方形的四边都相等，四个角都是直角”，构造全等三角形或将以正方形某边为边的三角形旋转90°。再根据正方形的每一条对角线平分一组对角这一性质及正方形的对角线的性质“正方形的对角线互相垂直平分且相等”在解题中连对角线可得45°角、垂直及等腰直角三角形，再综合运用所学知识求解.根据正方形的轴对称性，将对角线上动点到同侧正方形上两点距离之和最小问题转化为正方形上在一条对角线两侧两点距离最短问题。在折叠问题中，利用正方形的性质将问题转化为在一个直角三角形中，利用勾股定理解决。本文结合几个例子加以说明。
关键词：正方形；性质；解题策略
1.P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数。
分析：将以正方形某边为边的三角形旋转90°，则△PBE是腰长为2的等腰直角三角形，可得PE的长为，在△PCE中，PC=3，PB=，CE=1，，根据勾股定理的逆定理可得∠PEC=90°，因此，∠APB=∠CEB=45°+90°=135°。
2.在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，且PQ=BP+DQ，求∠PAQ.
分析：将△ADQ绕点A旋转至△ABE处，则BE=DQ，AE=AQ，∠DAQ=∠BAE由PQ=BP+DQ得PQ=PE，从而由“SSS”判定△AEP≌△AQP，得∠PAE=∠PAQ，而∠PAE=∠PAB+∠BAE=∠PAB+∠DAQ，所以∠PAQ=∠PAB+∠DAQ，又因为四边形ABCD是正方形得∠BAD=90°，从而∠PAQ =45°.
3.变式练习：（2013 鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上的一点，F是AD延长线上的一点，且DF=BE.
求证：CE=CF；⑵若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
4.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 .
分析：利用正方形的轴对称性，PE+PB即为PE+PD，从而将问题转化为两点之间距离最短问题，根据“两点之间线段最短”，连结DE，DE的长即为所求。
5.如图，E为正方形ABCD的边BC上一点，CG平分∠DCF，连接AE，过点E作EG⊥AE交CG于点G..求证：AE=EG
分析：由EG⊥AE，∠B=90°由同角的余角相等易得∠BAE=∠GEC，而CG平分∠DCF/∠DCB=90°.得∠DCG=45°.∠GCE=135°；要证全等还缺一边一角对应相等，由∠B=90°，在AB上截取BF=BE，则△BEF为等腰直角三角形、∠BFE=45°，∠AFE=135°，又因为AB=BC，所以AF=EC，至此，证全等条件具备。
6.变式练习：如图，点E是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结AE并将线段AE绕E顺时针旋转90°，得线段EG，连接CG，则∠DCG等于（ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
分析：由旋转知EG⊥AE，EG=AE，∠B=90°易得∠BAE=∠GEC，由上题得到启发：需构造135°角和全等三角形，得∠GCE=135°， 从而得∠DCG=45°.由∠B=90°，在AB上截取BF=BE，则△BEF为等腰直角三角形、∠BFE=45°，∠AFE=135°，又因为AB=BC，所以AF=EC，从而证△AFE≌△ECG，得∠GCE=∠AFE =135°，由正方形性质得∠BCD=90°，所以∠DCG=∠GCE -∠BCD =45°.
7.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BD上，∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（ ）
A.1 B. C. D.
分析：根据正方形的四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分且相等这些性质，连接AC，则∠BAC=∠ABO=45°，AC⊥BD再利用角平分线的性质定理得EF=EO，设EF为x，从而表示BE，最后利用勾股定理使问题解决。
8.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF。下列结论：①点G是BC的中点；②FG=FC；③
分析：由正方形四条边都相等得CD=BC=AB=3，∠D=∠B=90°因为CD=3DE，所以DE=1，CE=2，由折叠知FE=DE=1，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，所以∠B=∠AFG=90°，由“HL”得△ABG≌△AFG，所以BG=FG，设BG为x，则FG=x，CG=3-x，在直角三角形CEG中由勾股定理的，从而x=1.5，CG=BG=1.5，点G为BC中点。作CH⊥EG于点H，由面积法得CH的长，从而计算△FCG的面积.最后选C。
（作者单位：宁夏银川市第十中学750000）
论文作者:王玉娟
论文发表刊物:《中学课程辅导●教学研究》2017年10月上
论文发表时间:2018/1/31
标签：正方形论文; 角形论文; 对角线论文; 直角论文; 性质论文; 如图论文; 勾股定理论文; 《中学课程辅导●教学研究》2017年10月上论文;