概率问题中的几道易错题剖析
李保谦
摘 要： 随机事件的概率是高考的热点问题，其难度是比较均匀的，而同学们在做题的过程中由于概念不清或练习不够等等原因，导致概率题做错或者做不全，这样稳拿的题目出现了不同程度的丢分，结果是事倍功半，鉴于以上原因，我对概率中的几道易错题进行全方位的分析，以便同学们参考，此所谓：“他山之石，可以攻玉”。
关键词： 随机事件的概率；事件；机会均等
碰到概率题目时，首先要搞清楚概率的类型，譬如是古典概型还是几何概型，题目中要么直接出现关键词语，如“任意”“任抽”“可能性相等”“基本事件有限个”或“等可能的基本事件无限个”，要么通过同学们读题提炼出相关的信息再紧扣不同概型的定义，问题就迎刃而解了，下面结合同学们常出现的错误，分析概率问题的解决方法。
基于J2EE和华表Cell的水务普查数据处理系统设计………………………………… 杨 洁，尹晓楠，刘 梅等(1.59)
例1 在一次语文周练中，有一道把世界文学名著《战争与和平》《爱的教育》《钢铁是怎样炼成的》《鲁冰逊漂流记》《福尔摩斯探案集》与他们的作者连线。试问：在该题目中每连对一个得2分，则该同学得分不少于6分的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
错解： 五个文学名著与五个个作者连线总共有
种方法，其中不少于6分，即至少连对三个，分三种情况，一是恰巧连对三个有
种方法，二是连对4个有
种方法，三是全连对有
种，即该概率
，这样误选D。
错因分析： 在概率计算中由于概念不清晰，脱离实际情景导致事件A包含的结果数算错。
2.6.1 PPI网络 将215个与AD相关性蛋白靶点导入到STRING数据库获取这些靶点的PPI网络，其中206个蛋白之间存在1 876种相互作用关系（图5）。其中处于PPI网络中心的蛋白JUN（度值＝74）、TNF（度值＝72）、VEGFA（度值＝69）、ESR1（度值＝64）、APP（度值＝60）等拥有最多的蛋白相互作用，提示钩藤散治疗AD的药效机制可能与这些蛋白密切相关。
例2 景德镇某厂生产的7件陶瓷产品中由于操作失误产生了2件残次品。问：质检员每次抽一个陶瓷检查，直到把2件残次品全部找出，假定是不放回抽样，求在第5次抽样后找出的概率。
错解： 把所求概率对应的事件设为A ：质检员每次抽一个陶瓷品检查直到在第5次抽样后停止。由条件知，前4次中有一次抽到残次品中的一件，而第5次恰好抽到最后一件，故所求事件对应的概率为
。
错解2：甲从12个不同的选择题中任抽一题的结果数为
，乙从4个不同的填空题中任抽一题的结果数为
，故甲抽到选择题，乙抽到填空题的结果数为
，又甲乙两人依次各抽1题总结果数为
，故所求事件对应的概率为
。
正确解法： 设A ：所求概率所对应的事件，故
错因分析： (1)审题不严，脱离实际情景造成相应错误。把受条件限制的概率问题误认为机会均等的等可能性事件来处理；(2)概念不清，审题不严导致所有基本事件的总结果数错误。
错解： 同学可能会这样解：(1)1号包裹投入A 、B 、C 三个箱子的可能性是相同的，其结果数为3，投入B 箱子的结果数为1，得出1号包裹恰好投入B 箱子的概率为常数
。
(1)错解1：由于每个题被抽到的可能性相同，所以甲从12个不同的选择题中任抽一题的结果数为，乙从4个不同的填空题中任抽一题的结果数为，故甲乙两人完成这件事的方法总数为
个，又甲乙两人依次抽到1题的结果有
个，所以甲抽到选择题乙抽到填空题的概率为
。
(2)包裹投入3个箱子的机会均等，可能性相同，结果数为4，故2号包裹恰好投入A 箱或B 箱的概率为
。
丹江口水库拦汊筑坝违法行为专项整治行动实践与思考……………………………………………………… 魏显栋(6.55)
例3 丽华小区门口有三个包裹箱，标号分别为A 、B 、C ，某申通快递员要投寄四个包裹，标号为1，2，3，4，求：(1)若从4个包裹中，任选3个分别投入3个箱子，其中1号包裹恰好投入B 箱子的概率；(2)若四个包裹不受限制任投三个箱子，投完为止，其中2号包裹恰好投入A 箱或B 箱的概率。
正确解法： 五个世界青年版文学名著与五个作者连线总共有种方法，其中不少于6分，即至少连对三个有两种情况，一是恰好连对三个有种，二是连对4个，这样第五个必然连对，仅有1种方法，故所求事件对应的概率为
，应选A。
(2)求甲乙两位同学至少有一人抽到填空题的概率。
例4 甲乙两位同学参加校级数学竞赛，共有16个题目，其中12个选择题，4个填空题，甲乙二人依次各抽一题。
保证睡眠时间，准时睡觉：处于发育期间的青少年每天至少要保证7～8小时的睡眠时间。但由于学业负担和丰富的感受性，青少年为了学习“赶夜车”或为娱乐牺牲睡眠时间的情况非常普遍。这就要求青少年有良好的时间管理能力，对时间的分配进行规划，并有较强的处理事务能力和自制力，才能保证在最佳睡眠时间准时入眠。
(1)求甲同学抽到选择题，乙同学抽到填空题的概率；
正确解法： (1)该题为从标号为1，2，3，4的四个包裹任选3个分别投入A 、B 、C ，3个箱子，使得一个箱子一件包裹。所有基本事件的总结果数为排列数
，其中1号包裹恰好投入B 箱子的总结果数为
(先选后排)或
，故所求事件对应的概率是
或
；(2)四个包裹可以投入任意一个箱子，2号包裹投入每个箱子的机会均等，总结果数为3，而投入A 箱或B 箱的结果数为2。故所求概率是
。
仔猪白痢传染速度快，严重影响仔猪生长，如果不进行及时治疗与防治，就会发展成为流行痢疾导致死亡，甚至可能出现全部死亡。因此，必须对仔猪白痢发生的原因进行合理分析，并结合实际情况掌握仔猪白痢的临床症状，找到治疗与防治的综合措施，保证仔猪的健康成长，进而保障养殖户的经济效益最大化。
错因分析： 该同学由于没有结合具体的生产实践活动，忽视概率的初衷造成了概念不清，审题不严。质检员在第5次抽样后停止，即为经过5次抽样恰好将2件残次品全部找出，分两种情况，一是第5次恰好抽出最后一件残次品，二是前5次全部抽到合格品，即此时剩下2件必定是2件次品。
(2)错解：甲乙两位同学依次抽到填空题的概率是
，由间接法得出甲乙两位同学至少有一人抽到填空题的概率为
。
错因分析：①对“计数原理”理解不够，导致分步，分类运用混淆。本来用乘法的用了加法。②对题目中的“依次抽取”与“同时抽取”理解错误，用“同时抽取”解“依次抽取”的题目。
正确解法：(1)设A ：甲同学抽到选择题，乙同学抽到填空题。所有基本事件的总结果数为
，又事件A 包含的结果数为果有，故
。
学习苏教版《雨后》一课时，由图入文，带出生字。老师一开始出示插图，说：“老师给小朋友们带来了一些小伙伴，你们看，他们在干啥？快乐吗？”小朋友们立刻回答说：“那是两个赤脚的孩子，一个哥哥，一个妹妹。”还有孩子说：“他们在踩水！他们玩得很开心！”老师随即追问：“‘赤’字你还可以给它交哪些朋友？”“小手们”立即来了劲：赤身，赤膊，赤手空拳……“那把生字放入句中读读吧，看你能不能把这幅画读出来？”学生找到句子读：“水里一群赤脚的孩子，快乐得好像神仙一样。”
(2)设B ：甲乙两位同学至少有一人抽到填空题。则
：甲乙两位同学都抽到选择题。
，故
。
俗话说“态度决定高度，细节决定成败”。中学阶段是养成良好习惯的关键阶段，所以同学们在数学学习中要认真学习每一章每一节，要认真推敲每一个定义和每一个公式，要注重每一句甚至每一个词，这样才能掌握知识的本质，才能更高效地解决问题，自己的学业才能蒸蒸日上。
本论文是白银市教育科学“十三五”规划课题《高中数学如何有效地开展分层教学》，BY[2019]G308号阶段性成果之一。
作者简介：
李保谦，甘肃省白银市，会宁县第四中学。
传动滚筒作为输送机的主要受力部件，要受到输送带张力，滚筒自重，以及来自轴端输入扭矩的作用。在传动扭矩适当时，围包角α内存在工作弧和静止弧，在工作弧线内只有输送带张力，没有摩擦力，而滑动弧内既有压力又有摩擦力。在分离点，在输送带拉力(即松边拉力)不变的情况下，随着输送带的负载不断增加，静止弧会越来越小，滑动弧不断增大，直至滑动弧与围包角弧度相等。如果负载继续增加，就会出现输送带打滑现象[3]。