期权价格函数的局部多项式估计，本文主要内容关键词为：多项式论文,期权论文,局部论文,函数论文,价格论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
学科分类号：O213.3.
§1 引言
期权定价是金融数学和计量经济学研究的主要问题之一。传统的定价模式一般是以随机分析为工具的无套利定价理论结果为基础，其核心的问题是基础资产价格过程的统计描述和估计，尤其是方差函数的建模和估计。
具体地，一般假设基础资产价格过程是概率空间（Ω，F，｛ F[,t]｝[,0≤t≤T]，P）上的Ito过程
dS[,t]＝μ[,s][,t]dt+σ[,s][,t]dB[,t]，0≤t≤T，S[,0]＝Z （1）
μ[,s][,t]与σ[,s][,t]都是满足一定条件的函数，无套利假设等价于存在一种等价鞅测度Q，使｛e[-rt]S[,t]｝0≤t≤T是鞅，这里r是无风险利率。若假设市场是完全的，则任何期权的价格以无风险利率贴现后也是一个Q鞅，在T时刻到期执行价为K 的欧式期权在到期时刻的价格为C[,T]＝max｛S[,T]－K，0｝，从而，t（≤T ）时刻欧式期权的定价为
（2）是欧式期权定价的基本理论结果， 美式期权或其他衍生证券的无套利定价在理论上是类似的，较详细的叙述可参见刘忠（1998），显然，根据这样的传统定价模式，实现期权定价在根本上依赖于基础资产价格过程（1）的估计， 尤其是方差函数σ[2]S[,t]的估计（因为无套利定价最终只依赖于Q鞅过程｛e[-rt]St｝[,0≤t≤T]，与μ[,s[,T]] 无关）而且，定价结果与实际交易价格的吻合程度还依赖于基础资产价格过程的描述是否恰当，以及关于市场的诸如无套利假设、完全市场假设等与现实市场的差距。
在金融市场发达的国家，期权交易非常活跃，为金融研究积累了大量的数据。从根本上放弃无套利定价的理论结果，直接从数据出发估计期权的定价函数，不能不说是一个合理的思路。然而，期权价格函数一般是复杂的，甚至没有解析式，建立参数模型将是困难的。事实上，即使现实的期权交易价格是按照最简单的BS公式定价，在无理论结果的基础上要建立（3）这样的参数模型也是很难想象的，因此， 利用非参数方法估计期权的价格函数是更合理的。
从数据出发估计期权价格函数可能是以Hutchinson ， Lo andPoggio（1994）的工作为开端，他们利用人工神经网络学“学习”衍生证券的价格结构，但这方面并没有多少继续的工作，主要的原因可能是这已经基本上是纯粹的数据处理问题，与衍生证券的定价理论已没有多少实质的联系了，另外的原因可能是要求有大量的历史数据，计算也往往比较复杂。
本文利用非参数回归方法估计期权的价格函数。§1 用核方法和局部多项式方法给出期权价格函数的估计，并指出，局部多项式方法更值得推崇。§2利用BS 公式分析期权价格变动特征的对窗宽选取的指导意义。§3利用BS公式给出期权价格函数估计的两步估计方法。§4对芝加哥商业交易所的英镑期货期权数据作了计算。
§2 期权价格函数的局部多项式估计
假设有观测数据据｛C[,t]，X[,t]｝[,0≤t≤n]，其中C[,t]是t时刻期权的观测价格，X[,t] 是与期权价格有关的一些能够观测的变量（随机的或非随机的）在t时刻的观测， 这些变量至少可以包括基础资产的价格S、期权的有效期τ、期权的执行价K、市场的无风险利率r， 等等。不妨将X[,t]写成P维向量X[,t]＝（x[,1t]，…，X[,pt]）[T].我们的目的是估计该期权的价格函数C＝m（X），X＝（x[,1]，…，x[,p]）[T]。
考虑观测的期权价格存在误差，｛C[,t]，X[,t]｝[,0≤t≤n]可以写成如下的回归模型
C[,t]＝m（X[,t]）+ε[,t] （4）
假设E（ε[,t]│X[,t]）＝0，则E（C│X[,t]）＝m（X[,t]），从而m（X）是一个条件回归函数。显然，许多估计条件回归函数的方法都可以采用。
比如，采用最常用的核方法估计m（X），就有
其中诸k[,i]（·）都是核函数，h[,i]是相应变量的窗宽。
局部多项式估计是近年来才引起人们重视的非参数方法，其基本思想是对待估函数的每一局部用多项式近似，然后一般用加权最小二乘法获得待估函数的估计，如果用l－1阶多项式对m（X）进行局部近似，则m（X）的局部多项式估计为
容易看出，
可以作为C对X的j阶导函数的估计。
导函数估计是局部多项式估计的副产品，该优点使局部多项式方法在估计期权价格函数时更值得推崇，因为期权价格的导函数有很重要的意义，期权的许多套期保值参数的计算都要求估计期权价格关于某些变量的导函数。
下面介绍几种套期保值参数，相应的套期保值策略在期权的理论和实务中都是重要的内容。
Delta套期保值 Delta套期保值参数是反映期权价格随基础资产价格的变动庆系，Delta套期保值参数δ定义为
事实上，δ[BS]份额的基础资产和1－δ[BS] 份额的无风险债券的证券组合的价值变动将等于欧式看涨期权的价值变动。因而，如果是卖出看涨期权的话，那么同时买入δ[BS]份额的基础资产和1－δ[BS] 份额的无风险债券就可实现欧式期权的Delta套期保值， 即不会因基础资产的价格变动而在期权头寸上遭受损失。由此还可以得到欧式期权的定价微分方程。
下面的几种套期保值策略是针对其他变量的变动，相应的解释是类似的。
Gamma套期保值 Gamma套期保值参数Γ是反映期反映期权价格随δ的变动关系，即
时，我们可以得到Γ（X）的估计。
显然，若采用核方法或其他的非参数估计方法，则估计上述一些套期保值参数往往需要作另外的估计，并且由于价格函数的非参数估计形式一般较复杂，通常计算套期保值参数时往往只能采用差分方法，比如Hutchinson，Lo and Poggio（1994）。
§3.期权价格的变动特征和窗宽的选取
窗宽的选取对权函数非参数估计有根本的重要性，对于§2 给出的核估计或局部多项式估计，当然可以直接从数据出发基于一定的准则选取恰当的窗宽h[,i]，比如， 利用基于极小预测均方误差准则的交叉核实法。然而，这样的盲目地不对数据特征加以分析的方法往往要求太多的计算，比如，是选取者h[,i]相同呢还是不同， 纯粹从数据出发来确定将要求相当庞大的计算，可以通过考察期权价格随各变量的变动特征来对窗宽的选取提供一些帮助。
若局部多项估计采用线性近似，则给定X＝（x[,1]，…，x[,p] ）后，对于每一观测C[,t]近似式为
在作加权最小二乘估计时，对不同C[,t]加以的权重随X[,t]与X 的某种距离增大而减小，这是因为当X[,t]距离X较远时，（14）近似得越差。然而，可以想象，各个X[,it]与X[,i]的距离大小对整个近似式（14）的好与坏的作用可能不同。
直观地，若真实的价格函数m（X）对X[,1]特别敏感， 当其他分量固定的情况下，x[,1]发生较小的变化就导致m（X）的较大的变化， 即
较小， 那么当其他分量固定后，即使x[,2t]与x[,2]有较大的距离，（14 ）近似的好坏也不会发生较大的变化，所以对于核函数k[,2]（·），选取的窗宽可以较大一些。另外，还有的可能是对不同范围内的x[,2]，m（X）对x[,2]的敏感程度有较大的差异，这时就应对不同范围内的x[,2]选取不同的窗宽。
以上只是直观的分析，常用的一些期权定价模型以及一些经验事实可以给出明确的说明。事实上， 期权价格对各变量的敏感系数就是§2所介绍的各种套期保值参数，如果我们大体知道这些套期保值参数的一些特征，这将无疑地有助于窗宽的选取。尽管BS公式对实际的交易数据的描述不令人满意，但BS公式仍能反映欧式期权的基本特征并广泛被用于期权的实务，因而我们通过BS公式考察期权价格随诸变量的变动特征。不妨考察某个外汇欧式期权，为了统一量纲，下面都采用百分比变化率。
先考察ΔC／C随ΔS／S的变化规律，等价地，也就是考察
由于d[,1]中含有变量S，K，τ，r，σ，考察其变化规律需要固定某些变量，下面的分析将说明，期权的价格变化对τ，r 是不太敏感的，令r＝0.05，τ＝150／360，σ＝0.2，图1图示了三种执行价K[,1]＝1.15，K[,2]＝1.3，K[,3]＝1.45情形下（假设基础汇率的均值在1.3附近，这三种执行价的期权就分别代表实值期权，平值期权，虚值期权）δ[,p]随基础汇率的变化。从图中可见，δ[,p]一般都比较大，比如，对于执行价为K[,1]＝1.3有效期为150天的期权，若当前的基础汇率是1.3，基础汇率变化1%就将导致该外汇期权价格变化9.5%，接近于10倍的杠杆率，对于其他的情形下基础汇率的变化都导致期权价格的较大变化。由此说明，期权价格对基础资产的价格变化非常敏感。
图1 期权价格随基础汇率的百分比变化率
再考察期权价格随期权有效期的变化，仍考虑百分比变化率， 记
τ
θ[,p]＝θ[BS]·──，
图2在期权的三种状态（虚值，平值，实值）上图示了θ[,p] 随有效期变化，从图中可见，θ[,p]都比较小，一般情况下期权有效期变化1 %时，期权价格的变化率都不会超过0.5%， 这说明期权价格对有效期的变化不敏感。
最后考察期权价格随无风险利率的变化。 仍考虚百分比变化率
r
ρ[,p]＝ρ[bs]──，
C
图3在期权的三种状态（虚值，平值，实值）下图示了ρ[,p] 随无风险利率的变化，从图可见，ρ[,p]也都比较小，一般情况下当无风险利率变化1%时，期权价格的变化率也不会超过0.5%。这说明期权价格随无风险利率的变化也不显著。
以上的分析说明，期权或其他的期权价格对基础资产的价格变化特别敏感，而对有效期和无风险利率的变化不太敏感，这就提示，在确定基础资产价格的窗宽时，应选取得比较小，而有效期和无风险利率的窗宽则可以选取得比较大。
§4 期权价格函数的两步估计
虽然BS公式不能很好地解释欧式期权的实际市场交易价格，但BS公式的定价也不是差得离谱，不少研究发现对平值期权来说BS公式还是有较好的解释力。况且，象美式期权这样的期权还通常可以用BS公式近似。另外，BS公式也广泛地应用于期权的实务。所以，在估计期权的价格函数时，彻底抛弃了BS公式（如Hutchinson，Lo and Poggio（1994 ））也不是明智的。
这里给出一种两步回归方法，首先认可BS公式在期权定价中的主要作用，再对BS公式所不能解释的部分用非参数方法估计价格函数。
由于看跌期权数据可利用平价公式转化成看涨期权数据，因而假定收集到的数据都是看涨期权数据，不妨假设观测数据为｛C[,t]，S[,t]，K[,t]，τ[,t]，r[,t]｝[,1≤j≤n]，其中C[,t] 是某期权在某时刻的交易价格，S[,t]是该期权的基础资产当时的价格，T[,t]是其距离到期的时间，K[,t]是交割价格，r[,t]是市场无风险利率，此时，X[,t]＝（S[,t]，τ[,t]，r[,t]，K[,t]）[T]。
前面已经说明，可以直接用局部多项式方法估计价格函数m（X），X＝（S，τ，r，K）[T]，由于BS公式仍广泛用于期权交易的实务， 可以想象在m（X）的结构中BS公式将占主要的部分，而剩下的BS公式不能解释的结构部分则是因BS公式的基本假设与市场实际情况的偏离而作的修正或补充，因此，m（X）可写成两部分，
m（X）＝m[,BS]（X）+g（X）（16）
其中g（X）是未知的价格函数，m[,BS]（X）是BS公式（2）。
用两步回归法来获得m（X）的函数形式，首先用BS公式对观测数据用非线性回归拟合，再对拟合残差用非参数回归方法获得函数结构，这样既体现了BS公式在期权交易价格中的主导作用，又吸收非参数方法的优点。
执行价K对特定的期权是一个确定的量，若令γ＝S／K， 则由（2）可见K是m[,BS]（γ，K，τ，r）的尺度参数。我们假定K也是m （γ，K，τ，r）的尺度参数，则m（γ，K，τ，r）＝Km（γ，1，τ， r）。为简便起见，将m（γ，1，τ，r）写成m（γ，τ，r）， 也就是说m（γ，τ，r）与m（γ，K，τ，r）相差K倍，对m[,BS]（X）和g（X）也类似处理。两边都除去K后，（16）就变为
m（γ，τ，r）＝m[,BS]（γ，τ，r）+g（γ，τ，r） （17）
m[,BS]（γ，τ，r）中有未知参数σ，下面将之写成m[,BS]（γ，τ，r，σ）。
记Z[,t]＝C[,t]／K[,t]，γ[,t]＝S[,t]／K[,t]， 下面叙述利用｛Z[,t]，γ[,t]，τ[,t]，r[,t]｝[,1≤j≤m]估计m[,BS]（γ，τ，r）和g（γ，τ，r）的两步回归法。
首先利用期权交易数据拟合BS公式，作非线性回归
（18）是一个非线性回归，一般用线性近似迭代方法进行拟合，具体地，设σ的当前值为σ[(p)]，则
m[,BS]（γ[,t]，τ[,t]，r[,t]，σ）≈m[,BS]（γ[,t]，τ[,t]，
r[,t]，σ[p]）+m[,BS[,σ]]（γ[,t]，τ[,t]， r[,t]，σ[(p)]）
（σ－σ[(p)]），
其中m[,BS[,σ]]（·）表示m[,BS]（·）对σ的导函数， 给定初值σ[ （0）]，利用上式得到的最小二乘估计作为σ的更新值，反复迭代至收敛就作为
小于0表示BS公式高估期权价格），记（18）的拟合残差为
显然，此时要得到诸套期保值参数的估计也是容易的。
§5 实际数据的计算和分析
以芝加哥商业交易所1985年英镑期货期权的交易数据为例，我们仅考虑12月份期货合约（85年12月13日到期）的看涨期权交易数据，共有交割汇率（美元／英镑）分别为1.000，1.050，1.100，1.150，1.175，1.200，1.250，1.275，1.300，1.325，1.350，1.375，1.400，1.425，1.450，1.475，1.500的17种期权， 假设这些期权除交割价不同之外其它条件都相同，仅为了例示方法和说明效果，我们只考虑每周五的交易数据（当周五不是交易日时用周四的交易数据代替），对这17种期权共集到373组数据，其中期权价格为当日的结算价， 基础资产的价格为当日英镑期货的结算价格，τ[,t]由t时刻到12月13 日的周数除以52计算得到。
上面的图4和图5分别表示C／K随S／K的变化和C／K随τ的变化，可见,权价格随基础资产的价格的增长而增长,而且二者的曲线关系非常明显。更有意义的是,除去三个异常点（9月13日和9月14日的执行价为K＝1.20的期权价格明显偏低,7月26日执行价为K＝1.0的期权价格,该期权只有这天有交易数据）,期权价格随基础汇率期货的变化图与BS公式下期权价格随基础资产价格的变化图极为相似,这充分说明先用BS公式拟合英镑期货期权价格函数是恰当的作法，另外期权价格随有效期的变化趋势则不是很明显，但总的来看，还是呈下降的趋势，因为随着有效期的减少，期权的时间价值越来越小。
对于外汇期权，其无风险利率应该是本币无风险利率减去外币无风险利率，然而，由于没有收集到关于英镑和美元的市场无风险利率数据，故假设无风险利率为常数，并用当年的各自的长期国债利率代替，事实上，§3的分析说明，无风险利率的变化对期权的价格影响很小， 1985年英国的长期国债到期收益率为10.62%， 美国的长期国债的到期收益率为10.97%， 因而假定英镑／美元期货期权的无风险利率为γ＝－0.35%。
对于期货期权，相应的BS公式是
是拿掉（Z[,t]，X[,t]）后用剩下的n－1组数据得到的价格函数的估计，最终选取的窗宽为h[,1]＝0.011，h[,2]＝0.5。
为了说明本文的上述两步回归法的效果，我们再以1986年3 月份到期的英镑期货合约的期权交易数据作为验证例子。该期货期权有交割汇率分别为1.275，1.300，1.325，1.350，1.375，1.400，1.425，1.450，1.475，1.500，1.525的11种看涨期权，仍只考虑周五的交易数据，到85年末共有180组数据。 根据前面两步回归法估计得到的期权定价公式来估计这些期权的交易价格，再与实际市场价格进行比较。估计得到的期权价格与实际市场价格的相对偏差平方和为0.01168， 这说明上述两步回归法得到的定价公式能解释实际价格的
由此可见本文的两步回归法对BS公式的改进是相当大的，而且计算也比较简单。
（摘自：《应用概率统计》vol.16.No.1）
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