关注推理还要关注推理的阶段性，本文主要内容关键词为：阶段性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教学中对推理的关注现状 推理是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程.其核心就是基于事实说话，即由已知的概念、公理、定理等出发，猜想或推导出未知的结论的思维活动的过程东北师范大学史宁中教授著《数学思想概论》中这样谈到：数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想；二是学习过数学的人所具有的思维特征.史教授归纳了三种基本数学思想：抽象、推理和模型.通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁.从史宁中教授的这段话我们可以认识到推理是一种重要的数学思想，它一方面促进数学自身的产生和发展；另一方面影响着数学学习者的思维特征，数学教育的一个核心价值是发展学生的思维品质，而推理是培养学生思维品质的重要途径之一. 上述谈到的培养学生推理能力的重要性，似乎已经被越来越多的数学教师接受，并付诸教育实践近来，我听了若干节平面几何课，感觉到教师在关注学生自主学习、关注学生思维上，下了很大工夫，现在的定理教学也大有成效，已经很少上来就直接给出定理，然后再进行证明和运用这种方式进行教学了.而是尽量引导学生经历并体验数学家发现定理的过程，寻求定理证明的途径和方法，这一过程也正是培养学生的推理能力的重要途径.有些遗憾的是，一些教学过程对教学目标的阶段性和层次性把握不准.比如：在小学学段，推理能力的培养主要是合情推理为主，即通过类比、归纳方法获取数学结论；在初中学段，则是通过类比、归纳获得一个数学猜想，然后再通过演绎推理论证猜想的正确性但是在初中的教学中，仍然存在着两种推理层次性把握不准的现象，严重影响着教育目标的达成.笔者仅就“垂径定理”的教与学这一部分浅谈关注推理还要关注推理的阶段性. 二、垂径定理教学设计及教学设计分析 环节1 定理引入，提出问题：如何求出赵州桥主桥拱的半径？ 同学们都发现了这个问题的大背景是圆，由于我们对于圆的研究还不够，还不能建立半径、弦和拱高之间的关系，因此解决问题时出现了很多困难，所以我们还需要研究圆内的相关定理. 环节2 知识复习，从引入中为了找到弧的中点自然过渡到折纸，验证学生的已有认知圆是轴对称图形.学生会发现圆是轴对称图形，拱形也是轴对称图形，可以通过折叠图纸找到弧的中点. 进而过渡到验证圆的轴对称性（折叠），发现任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 环节3 定理探究与证明，利用轴对称性发现、猜想、验证. 师：在圆的无数条对称轴中，有没有一条是已知弦的对称轴呢？ 生1：发现无数条直径所在直线中，垂直于弦的直径所在直线就是弦的对称轴，即平分这条弦. 师：几何画板演示保证直径与弦垂直，直径就一定平分弦. 生2：发现无数条直径所在直线中，过弦的中点的直径所在直线就是弦的对称轴，即平分这条弦. 师：沿着第一位同学的垂直于弦的直径对折，你还有什么新发现呢？
师：同学们的重大发现就是垂直于弦的直径具有的性质，如何用文字描述？ 生：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧. 师：符号语言：直径、垂直、三个平分.由于条件中强调了直径和垂直，因此我们把这条定理称之为垂径定理，显然垂、径缺一不可 环节4 定理运用运用垂径定理解决引例中“赵州桥”的问题. 教学设计分析 上述教学设计，引入环节，教师试图从实际问题出发，提出一个学生不能严谨解决的问题，从而激发起学生探究新知识的欲望；通过折纸让学生回忆圆具有轴对称性；在定理的证明过程中，利用圆的轴对称性直接得到垂径定理的结论；最后一个环节解决引入环节中尚未解决的问题，这样首尾呼应.从整个教学设计来看，教师的出发点是好的，一方面，希望学生体会定理的产生和发现的过程；另一方面希望学生感悟定理的发现不仅是实际生活的需要，又能服务于生活. 但是这样的教学设计存在着这样几个问题： 教师为什么提出“赵州桥”的问题？这个问题提出的不自然，学生会感觉到很奇怪，怎么突然就冒出这样一个问题？另外，是不是所有的问题都得从实际问题引入呢？其实不然，我们知道，数学概念的产生，结论的发现一般有两个途径——生活和数学自身的演绎.因此有很多数学问题是从数学本身内部发展的需求演绎出来的.但是，在目前的教学中，以实际问题归纳数学概念、得到数学结论，这种现象有泛化的趋势以至于把数学概念、数学结论与实际问题等同起来，有时就显得很不自然，甚至会有喧宾夺主之嫌.实质上，数学本身就具有它的抽象性，一些概念、结论远远超越了我们的生活经验. 垂径定理是圆的轴对称性质的运用还是对圆的轴对称性的判定？我们学习垂径定理的目标是什么？垂径定理是对圆的轴对称性的严格证明，而不是轴对称性质的一个运用.这是一个非常关键的问题，否则逻辑上就出了问题.我们说“沿着一条直线折叠能够重合的图形叫轴对称图形”，圆沿着直径所在的直线折叠能够重合，所以圆是轴对称图形.这个说法没错，它仅仅是建立在直观感知的基础之上的，也就是我们前面提到的合情推理，是小学生的思维要求.但是在中学还仅仅停留在感知的层面上就与小学没有什么差异了况且轴对称的定义是不好严格验证的，它是一个模糊的，不能精准刻画出到底什么样就完全重合了.而垂径定理正是对圆的周对称性的严格证明.由此可以看到教师在关注学生推理能力的培养过程中，对不同学段的阶段性要求把握不够准确. 三、垂径定理教学设计改进及教学设计改进分析 结合上述发现的问题和对不同阶段要求的分析，确立本节课的教学目标如下：探索并证明垂径定理，进一步感悟圆的轴对称性，体会一个几何图形的轴对称性的证明方法；感悟如何发现问题——提出问题——解决问题的过程. 基于上面问题的思考，目标的确立，我们不妨从研究几何问题方法的角度、从数学自身发展需求两个不同的角度设计我们的教学. 1.基于“研究几何问题的方法角度”的教学设计及分析 从研究几何图形的基本方法——几何元素间的基本关系、几何元素间一般关系向特殊关系转化过程中几何图形具有更加完美的性质类似的，“圆”这一章的研究也应遵循这一整体框架结构首先概括“圆”的“先行组织者”——直线形研究问题的线索和基本方法：定义——性质——关系因此，我们也就明白“圆”这一章也要类似的去研究.“关系”是数学研究的重要主题，“圆”中涉及的关系必然会要研究已有几何对象点、线与圆的关系，以及圆与圆的关系由此，我们不难看出，我们教学的目的除了传递知识之外，还有一个重要目的是在给学生渗透一种研究一个新的几何对象的基本研究方法——探究几何基本元素以及几何图形之间的关系，让学生明白研究问题的“基本套路”——研究一个几何图形的基本方法，也就是要授之以渔. 研究几何问题的圆中非常重要的线段是弦，在圆中如果有两条弦的关系由一般逐渐到特殊的方法研究圆内两相交弦所能产生的几何结论，从而从几何内部研究问题的方法引入并证明垂径定理. 环节1 已知⊙O和⊙O的两条弦，请你画出所有可能的图形？ 预期成果：
环节2 请你对大家画出的上述图形进行分类. 预期成果：
环节3 对每一类图形你能得到什么性质？ 预期成果：此环节给学生留出足够的探究时间和空间，可以多课时完成，这一过程需要教师对本章的内容加以整合，其实探究完这些内容就已经解决了本章的多数内容. 环节4 聚焦核心问题：如图9，直径垂直于弦探究结论的归纳，形成定理. 预期成果：归纳出垂径定理的条件和结论，以及图形语言和符号语言的表达. 环节5 为什么把图9单独研究，并且提炼为定理？ 预期成果：学生多角度认识垂径定理的重要性，进一步体会把一些重要结论提炼为定理的必要性. 教学设计分析 推理能力的培养并不应仅仅是提出一个结论，然后让学生去解决，这样最多只能算是训练学生去解题，真正推理能力的培养应该是在教师的引导下，创设出学生自主发现、提出问题的情景，教师的一个重要作用就是尽可能还原人类发现这一知识的本来过程，以适合学生进行自主探索.也就是说好的学习活动应该是朴素、自然、生动、有趣的.所以在这个教学设计中，设计的问题，不仅是关注什么问题以及问题如何提出，而且还重视问题场的创设，让学生在头脑中自主的形成问题.在问题的解决过程中，教师可以引导学生对上述各类图形进行分类探究它们的性质.当然这些问题的解决是一个系列问题，不是一节课全部要解决的问题，可以开展系列的探究活动.在整个的探究过程中也正恰恰还原了一个数学问题的真正解决的全过程：发现问题——提出问题——分析问题——解决问题——过程反思.这一过程不仅正好展示了人们认识事物的逻辑推理的全过程，而且也渗透了一种研究问题的基本方法. 2.基于“数学自身发展需求的角度”的教学设计及分析 推动数学发展的因素宏观上一般有以下两个要素：现实需要解决问题的需求、数学自身演绎的过程中不断追求数学逐渐完善的需求.因此从数学自身发展需求的角度设计教学能够突出数学知识所承载的数学本质. 环节1 小学我们通过折纸知道圆是轴对称图形，你能说明为什么沿着直径所在的直线折叠能够完全重合吗？ 也就是要证明以下两个问题： （1）如何证明完全重合？ （2）如何证明圆的每一条直径所在的直线都是对称轴？ 这两个问题都是数学中研究的重要问题：证明含有全称量词（不必跟学生交代），学生是首次接触，肯定是教学的难点，我们应该定位在让学生初步体会研究这样的问题的基本思考方法.这样的内容应该发挥教师的主导作用，可以讲授为主的教学方法（讲授是非常重要的教学方法，但教师应该注意启发式的运用）.学生获取了一个证明关于“无穷多”的问题的研究方法——任取一个（取遍所有）、把无限转化为有限.
证明 任作⊙O的一条直径AB，在圆上任取一点C（不同于A，B）， 作点C关于直线AB的对称点D. 连接OC，OD. 所以OC=OD. 所以点D在⊙O上. 所以⊙O关于直径AB所在的直线对称. 因为AB是任意一条直径， 所以⊙O关于直径所在的直线对称的轴对称图形. 环节2 根据圆的轴对称性发现并证明垂径定理（略）. 教学设计分析 数学的发展过程也正是其自身在逐渐追求严密和完善的过程，数学问题的提出也正是数学自身发展需求，教学设计很好的突出了“合情推理”和“演绎推理”的关系，有助于培养学生的推理能力. 在“图形与几何”教学中，应帮助学生建立空间观念，初步形成几何直观，发展合情推理和演绎推理能力.初中生的几何学习，在内容上需要经历从“直观”到“论证”的转轨，在思维方式上需要实现从“形象思维”到“演绎思维”的过渡，初中数学几何教学能够使学生获得发展和提高数学知识，包括数学思维逻辑、数学思想方法、数学活动规律等必要技能使学生学会如何运用几何思维去观察事物、分析真相，由此来解决日常生活中容易出现的数学问题，增强学生运用数学知识、发挥个人想象力的意识.使学生能够真正了解几何知识的内在价值，提高对数学知识的理解能力和思考能力.定理课的教学是“图形与几何”教学中的核心内容，是培养学生推理能力的重要途径.在教学设计的过程中，教师应该瞻前顾后，整体把握所教授的内容，了解学生已有的知识、方法和能力的储备情况，确立当下定理教学的着力点和学生能力提高的提升点.因此，在利用定理教学提升学生的推理能力的过程中，既要重视推理能力的培养还要重视推理能力培养的阶段性.
标签：数学论文; 垂径定理论文; 图形推理论文; 教学过程论文; 推理论文; 轴对称论文; 教学设计论文;
