自主探究，能力建构——高三复习课《函数的性质及应用》教学案例，本文主要内容关键词为：函数论文,教学案例论文,性质论文,自主论文,能力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题背景
高考是知识和能力的双重较量，更是意志和品质的双重竞争.如何提高高考复习的效率和质量，历来为广大教师和考生所关注.高考突出对高中数学基础知识、数学理性思维、数学应用能力和创新意识等方面的考查，而且兼顾对数学思想方法、思维、应用和潜质等方面的考查.高考数学积极倡导“加强创新意识考查，实现选拔功能”.《考试大纲》指出：命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目；让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现其创新意识、发挥创造能力创设广阔的空间.作为高考复习，搞有针对性的应试是不现实的，要跳出题海战术，减少低层次大运动量的重复训练，注重数学本质、数学概念的理解，注重数学基础知识、基本思想方法的掌握，全面提高学生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的实践能力与创新意识.
二、案例实录
1.创设情境，提出问题
（2003年高考上海卷第22题）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，都有f（x+T）=职Tf（x）成立.
（Ⅰ）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（Ⅱ）设函数f（x）=a[x]（a＞0，a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a[x]∈M；
（Ⅲ）若f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围.
教师：这是一道曾经难倒许多英雄的高考压轴题，当时大部分考生都未完善解决，今天就让我们一起来挑战这道难题，看看能否给予解决.
首先，请同学们思考：我看懂题目了吗？是否梳理了题目的条件与结论？
评注 （1）教师直接提出探究的问题，结合探究、挑战的设问方式，引发学生的好奇心和好胜心，激发学生的学习兴趣和探究的欲望，引导学生真正参与探究知识的过程，从而进行有高度探究性的学习活动；（2）高考试题注重以能力立意，注重在知识的交汇点设计试题，故在高考数学复习中，必须结合学生的实际，依照《考试大纲》，收集选编思维信息量大、思维空间广阔、综合探究性强的题目，以全面提高学生的数学能力.
学生：题目要求验证有没有①非零常数T，②对任意实数x，都有f（x+T）=Tf（x）成立，我认为它属于等式的恒成立问题.
教师：分析得很好.“有没有”就是“存不存在”，即要我们探求“存在性”.
评注 教师的适时加入，可保持心理学上的“自己人效应”，拉近师生的距离，同时也使探究的目标明确统一，提高探究活动的有效性.
2.科学猜想，探究问题
给学生一定的时间，让学生独立思考、自主探究，得出以下成果：
对于问题（Ⅰ）
学生1：我认为f（x）=x
M.如果T=1，则f（x+T）=x+1，Tf（x）=x，显然方程x+1=x无解，故T≠1；如果T=2，则f（x+T）=x+2，Tf（x）=2x，由x+2=2x解得x=2，这与题目要求的任意x∈R相矛盾，故T≠2；如果T=-2，则f（x+T）=x-2，Tf（x）=-2x，由x-2=-2x解得x=2/3，同样与题意矛盾，故T≠-2.综合可知，不存在满足题意的非零常数T，所以f（x）=xM.
学生2：我认为f（x）=xM.如果f（x+T）=Tf（x）对于x∈R恒成立，就意味着函数y=f（x+T）的图象与函数y=Tf（x）的图象重合.若T=1，则f（x+T）=x+1，Tf（x）=x，显然直线y=x+1与直线y=x平行，不重合，故T≠1；若T=2，则有f（x+T）=x+2，Tf（x）=2x，显然直线y=x+2与直线y=2x仅有一个交点，不重合，故T≠2.由此类推，当T≠0时，直线y=f（x+T）=x+T与直线y=Tf（x）=Tx最多有一个交点，不会重合（如图所示），所以八f（x）=xM.
附图
第（Ⅰ）题图
学生3：我也认为f（x）=xM.对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，由于对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=xM.
教师：这一小题让我们体验到了更能反映科学探究活动真实的证伪过程，三位同学都得出了正确的结果.其中学生1运用了由特殊到一般的归纳法，进行了科学猜测，但缺少证明；学生2运用数形结合思想，从本质上探究了这个问题；学生3的证明严谨慎密，简洁有力.
（比较可得：在表达时，倾向于采用学生3的方法较好.）
对于问题（Ⅱ）、（Ⅲ）
学生4：我觉得第（Ⅲ）题比较容易解决.
若k=0，则f（x）=0，显然f（x）=0∈M，此时T∈R，T≠0；
若k≠0，由f（x）=sinkx∈M，则存在非零常数T，对任意x∈R，都有f（x+T）=Tf（x）成立.
f（x+T）=sink（x+T）=sinkxcoskT+coskx sinkT，Tf（x）=Tsinkx，要使f（x+T）=Tf（x）对于x∈R恒成立，则有
附图
coskT=±1，所以T=±1.
当T=1时，则有cosk=1，所以k=2mπ，m∈Z，m≠0；
当T=-1时，则有cos（-k）=-1，即cosk=-1，所以k=（2m-1）π，M∈Z.
综合起来，实数k的取值范围是｛k｜k=mπ，mπ∈Z｝.
评注：看来学生的思维常常出乎意料.
学生5：我用解析几何的思想解决第（Ⅱ）题.
由题意，方程组
有解，即存在实数x[，0]使得a[x[，0]]=x[，0]，显然x[，0]≠0（∵a[0]=1≠0），
又f（x+T）=a[x+T]=a[T]a[x]，Tf（x）=Ta[x]，则只需令T=x[，0]（T≠0），就有
f（x+T）=a[T]a[x]=a[x[，0]a[x]=x[，0]a[x]=Ta[x]=Tf（x）对于任意x∈R恒成立，所以f（x）=a[x]∈M.
教师：非常严谨，让人感受到了数学的理性之美，本题以抽象函数为载体，给出全新函数的性质，引导我们通过探索、验证、证明等方式进行探究性学习.通过三个小题考查我们不同层次的探究性学习的水平，在三个小题的设计上，难度层层递进：第（Ⅰ）小题为简单的验证；第（Ⅱ）小题是在已知条件下证明；第（Ⅲ）小题则进一步由结果出发，反过来探求所需要的条件，即k的取值范围.
3.合作交流，意义建构
教师：在前几位同学解法的基础之上，你受到什么样的启发？有什么样的新的结论？
（组织学生分小组探究、合作交流.）
小组1代表：我们受到第（Ⅲ）题的启发，得出两个新问题：
（1）将第（Ⅰ）题一般化：若函数f（x）=kx+b∈M，求实数k，b的取值范围？
（结论：k=0，b=0，此时T∈R，T≠0；k=0，b∈R（b≠0），此时T=1.）
（2）对于第（Ⅲ）题由类比联想得到：若函数f（x）=coskx∈M，求实数k的取值范围？
（结论：k=mπ，m∈Z.）
小组2代表：我们将第（Ⅱ）题中的a具体化，得到了以下结论：
根据指数函数的图象可知，当0＜a＜1时，最直观地体现y=a[x]与y=x有交点.
由2[2]=4，∴（1/4）[1/2]=1/2，则构造函数y=（1/4）[x]，有f（x）=（1/4）[x]∈M（此时T=1/2）；
（验证：f（x+1/2）=（1/4）[x+1/2]=（1/4）[x]·（1/4）[1/2]=1/2（1/4）[x]=1/2f（x）.）
由3[3]=27，∴（1/27）[1/3]=1/3，则构造函数y=（1/27）[x]，有f（x）=（1/27）[x]∈M（此时T=1/3）；
附图
第（Ⅱ）题图
由n[n]=A，∴（1/A）[1/n]=1/n，则构造函数y=（1/A）[x]，有f（x）=（1/A）[x]∈M（此时T=1/n）.
小组3代表：我们作图演示了第（Ⅱ）（Ⅲ）题（如图所示）.
附图
第（Ⅲ）题图
从中进一步领悟到了本题函数性质的实质；将函数的图象向左（右）平移｜T｜个单位后所得图象，与将此函数图象中点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的T倍后所得图象重合.
评价 只要我们的课堂能真正回归学生作为学习主人的地位，他们就会回报给你惊喜.通过交流讨论、比较总结，能引发学生思维共振，促进能力的发展和素质的提高.学生经历多次这样的探究性学习活动的体验后，就能逐渐积累起一些创造的经验，这对于学生的终身发展是极具意义的.
4.反思拓展，实际应用
教师：我们从三个侧面（一般情形、特殊情形、图象）进行了探究交流.
本题的实质是什么？得到什么启示？
学生6：我认为本题的特点是：首先制定一个“标准——集合M的定义”，然后要我们去探究、验证一些具体的函数（即元素）是否符合此标准，重点考查对于“存在性”和“任意性”的理解.
同时，由指数函数联想到对数函数，并结合对数的运算法则，构造出一个新的问题：
已知集合N是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在常数T，对定义域内任意x，都有f（Tx）=T+f（x）成立.
设函数f（x）=log[，a]x（a＞0，a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=log[，a]x∈N.
分析 由题意，方程组
有解，即存在实数T，使得log[，a]T=T（T＞0），则f（Tx）=log[，a]Tx=log[，a]T+log[，a]x=T+log[，a]x=T+f（x），所以f（x）=log[，a]x∈N.
具体化：函数y=log[，1/4]x，则T=1/2；函数y=log[，1/27]x，则T=1/3；…….
学生7：我对函数周期性的定义“对于任意x∈R，都有f（x+T）=f（x）成立，则规定T为函数y=f（x）的周期.”有了新的感悟：这与本题函数的性质十分类似，二者存在着内在的联系.由此还联想到函数的单调性、奇偶性与此题所定义的函数性质都有相同之处：
都要求“任意性”，有些还要求“存在性”；都是给出某种标准，然后再验证.
评注 解题后的反思既可使学生更深刻地理解和系统地掌握所学知识，更能使学生思维的创造性、灵活性等多种思维品质得到锻炼.解题后的思考不仅是一个知识的同化和顺应过程，也是一个解题与复习的强化过程，升值过程.有效地进行高考复习，提高复习效率，提高解题质量，才能做到事半功倍.
教师：课后请同学们收集一些与该题类型相似的问题并进行探究.
评注：进一步激发学生自主探究的兴趣，将探究活动持续和延伸到课外.
探究问题1：对于函数y=f（x）（x∈D），若同时满足下列条件：①f（x）在D内是单调函数；②存在区间[a，b]
D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b].那么y=f（x）叫闭函数.
（Ⅰ）判断函f（x）=x/2-sinx（x∈[-π/2，π/2]）是否为闭函数，并说明理由；
（Ⅱ）求闭函数y=-x[3]符合条件的区间[a，b]；
（Ⅲ）若y=k+
是闭函数，求实数k的取值范围.
（结论：不是；[-1，1]；k∈（-9/4，-2]）
探究问题2：已知函数f（x）=2x-a/x[2]+2（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=1/x的两根为x[，1]，x[，2].
试问：是否存在实数m，使得不等式m[2]+mt+1≥｜x[，1]-x[，2]｜对任意a∈A以及T∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
（结论：A=｛a｜-1≤a≤1｝；｛m｜m≤-2，m≥2｝）
探究问题3：设函数f（x）=x-ln（x+m），其中常数m为整数.
（Ⅰ）当m为何值时，f（x）≥0；
（Ⅱ）定理：若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x[，0]∈（a，b），使g（x[，0]）=0.
试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）=0在[e[-m]-m，e[2m]-m]内有两个实根.（结论：m≤1）
三、教学思考
社会建构主义理论认为：学生只有参与教学实践，参与问题探究，才能建立起自己的认知结构，才能灵活地运用所学知识解决实际问题，也才能有发展、有创新.数学知识、数学思想方法，必须由学生在现实的数学活动中理解和掌握，而不是单纯地依赖教师的讲解，依赖机械模仿的方式进行学习，因此在课堂教学中，应该积极创设问题情境，鼓励学生主动地参与问题的探究过程，教会学生探究的方法，留给学生自主探究的时间，设计具有探究性的课堂练习和课后作业，从而培养学生探究问题的能力.
在本案例中，用一道高考题作为载体，以培养学生具有不断追求卓越的态度和提出问题、解决问题的能力作为基本目标，让学生在教师的组织和指导下，有目的、相对独立地进行探索研究，从而促进学生思维水平的发展，提高学生运用知识解决实际问题的能力，并从中感悟到科学研究的基本策略和方法，得到科学思想的熏陶，培养学生的实践能力和创新意识，使学生最终成为具有探究意识和创新能力的高素质人才.