王发成 张硕 石家庄市第22中学 河北 石家庄 050031；河北师范大学数学与信息科学学院 河北 石家庄 050000
【摘要】2018年河北省和天津市数学会联合举办、河北衡水中学承办的“津冀”高中数学中高级教师优质课评选与观摩活动，进一步激发出高级教师重新审视课堂教学，深刻参悟教学规律的浓厚兴趣，这是一次追求课堂美的唤醒，是一种教学正能量的传递。现场展示的60节课，大都充满探索精神，独具风采和教学特色，在一定程度上反应出河北高中数学教育的先进性和各地市集体教研的高水平，彰显出数学高级教师优良的气质、形象和素质，展现出数学高级教师灵活的教学方法、艺术和技巧，能够引领课改潮流，为广大与会教师所追捧、所仰望，具有一定的欣赏性和标杆作用。
【关键词】高级教师；优质课；观摩活动；高中数学；平面向量
中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051 （2020）01-102-02
2018年12月，由河北省和天津市数学会联合举办、河北衡水中学承办的“津冀”高中数学中高级教师优质课评选与观摩活动，异彩纷呈，效果显著，深受专家组好评。课堂教学展评活动历时三天，进一步激发出数学中高级教师重新审视课堂教学，深刻参悟教学规律的浓厚兴趣，这是一次追求课堂美的唤醒，是一种教学正能量的传递。来自“津冀”各地市40岁以上的60位高中数学高级教师，奉献出24节现场课，36节说课，大都充满探索精神，独具风采和教学特色，在一定程度上反应出“津冀”高中数学教育的先进性和各地市集体教研的高水平，彰显出数学中高级教师优良的气质、形象和素质，展现出教师灵活的教学方法、艺术和技巧，能够引领高中数学课堂变革的潮流，为广大与会教师所追捧、所仰望，具有一定的欣赏性和标杆作用。下面，我们汇总专家组意见和建议，结合具体课例做简单点评，以期抛砖引玉，供同行们参考。
一、现场课的主要亮点
本次活动的现场展示共涉及到三个课题，分别是人教A版必修4中《2.1平面向量的实际背景及基本概念》《2.2.1向量加法运算及其几何意义》和《2.2.2向量减法运算及其几何意义》。每个课题均安排八位高级教师分别借用衡水中学同层次不同班级的学生现场做课。从整体上看，我们认为有以下几个亮点：
1.从教学设计上看，都能够以“问题驱动”方式开展教学。通过审阅选手提交的教学设计及现场观察，发现大多数课是“认真研读教材，领悟课标，细致推敲，精心设计”的产物。多位老师选择了若干个“思考角度”，设计成逐层深入的“阶梯式”问题，将知识点镶嵌于问题中，沿着学生的认知轨道展开，能够以任务单或“问题串”引领学生不断地发现新问题，获取新信息，得出新结论，可谓是“拨云见日，逐步蚕食”，直至问题解决。培养学生的问题意识，提高学生从数学角度提出问题与解决问题的能力，能够贯穿教学全过程，具有一定的借鉴性。
2.从讲课实际效果看，24节现场课都能够从物理背景出发，采用“自主、合作、探究”方式，引领学生从直观感受到理性分析，运用类比、数形结合等数学思想与方法，以问题形式层层推进，达到由学生主动发现概念本质属性的目的，重视学生“学”，基本符合“以生为本”、“学本课堂”的教育理念。高级教师的观摩课，让人最为满意的地方是体现在教学思路上，可以说线条清晰，层次分明，循序渐进，环环相扣。在各个环节中，数学方法与思想的渗透使整节课的“架构”枝繁叶茂，丰满有力。
3.从信息化视角看，能够重视数学与信息技术的深度融合，这是符合新时代要求的教师素养的良好体现。在“互联网＋教育”时代，多数教师基于强而有力的信息技术环境，注重构建信息化、智能化且富有智慧的课堂教学环境，能够有效利用课堂生成的数据分析进行高效的学生管理；注重优化课堂教学模式，充分挖掘学生需求，准确分析和预测学生学习行为，为全面提升学生发展的核心素养提供了强而有力的技术支持和保障。
二、值得注意并深入研讨的问题
本着“百花齐放、百家争鸣”的精神，陕西师大罗增儒教授曾说：“评课应力图实现评论多变换几个角度，设计多提供几套方案，效果多设想几种可能。少些润滑人隙的世故，多些刺激人际的棱角。”因此，我们提倡优秀教师的教学反思，要不同于一般普通教师，即要认识到自身优势，更应该看到不足与短板，从更宽、更高的正反视角展开自评、互评与他评，以便于确定今后“逐步改进，臻于完美”的行动方略。这对于我们这些热爱教育的工作者来说，应该成为一种幸福体验！针对这三节课的教学，我们提出如下几点建议。
1.教学设计应该关注数学内在联系，有利于知识整体性建构
由于客观世界是有机联系的统一体，数学是客观世界数形结构的本质反映，是系统性较强的学科，它在不同侧面和不同层次上体现出整体和局部的辩证统一。然而，通过课堂观察，我们发现部分教师缺乏对知识系统的整体性思考，导致学生对孤立的知识点掌握较好，但上升到综合、评估与创造等高级思维阶段时，多数学生则显得手足无措，力不从心。因此，我们提倡关注数学的整体性，从多个角度链接起高中数学课程的诸多内容，以核心概念和概念的核心为主线，构成知识立体交互“网”。例如，向量的概念是对“位移”、“力”等物理量整体性质的高度概括，是这类研究对象公共属性的整体反映。我们建议教学时设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量的定义及表示，类比数的集合认识“向量集合”，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系。要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”：从具体背景中抽象出共同本质特征——定义——表示——定义“相等”（这件事情很重要，但很多老师不注意、不重视）、“单位元”、“0元”——某些特殊关系。这节课就是要牢牢抓住向量的“方向”与“大小”两个基本要素并作为一条教学主线。
“整体把握中学数学中的运算”也是非常有价值的数学课题。但是，从向量加减法的运算及其几何意义的现场教学看，很多教师忽略了运算的价值，将运算等同于计算，直接给出运算法则，然后就是形式化训练，没有引导学生认识运算的地位和价值。如果教师能从整体把握运算的角度设计教学，引导学生逐步建立向量运算与几何图形性质之间的密切联系，相信学生对运算的认识及其运算能力必然会有所提高。事实上，对于高中生而言，从数字运算到字符运算是学生经历过的一次运算跨越，再到向量运算是学生必须经历的又一次运算跨越。向量运算（运算律）能够将向量与几何、代数有机地联系到一起，可以用图形简明地表示，而图形的诸多性质又可以反映到向量的运算上来。教学中，要重视“作图”策略，让学生亲自动手作图，逐步认识到“图形化”是利用向量解决问题的基本方法。例如，平行四边形是向量加法和减法的几何模型，向量加法及其交换律a＋b＝b＋a可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等，向量的平行、垂直及其夹角都是向量几何属性的反映。因此，教学中要引导学生学会建立向量运算（运算律）与几何图形之间的关系，将对图形的研究提升到“有效能算”的水平，从而实现“综合几何”到“向量几何”的巨大转折。再如，多数教师仅注意到向量加法三角形法则与平行四边形法则的异同点，没有引导学生认真体会两种加法法则在本质上的一致性。教学中，要从图形、语言和符号表示及特征等多个角度分析、比较、鉴别，并从整体视角，强化联系，完善学生的认知结构。
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2.问题设置应该促进学生深度思维，有利于核心素养的形成
通过课堂观察，发现许多教师惯用“对不对？”“是不是？”这类问句，“一问齐答”现象严重。这些浅表性问题不能引导学生真正参与，深度思考，不能将产生的问题与疑惑通过辨析、讨论而获得纠正。教学中，我们要借助典型问题或“好例子”展示学生的不同意见、看法并引起思维冲突，形成头脑风暴，激发学生思考的热情，提高思维的深入程度，这样效果会更好。
古罗马著名思想家罗塔克认为，学生不是需要填满的罐子，而是需要点燃的火种。“平面向量”的教学背后有很多问题需要回答。例如：①我们为什么研究向量及其线性运算？②在向量教学中，如何展现数学美（如和谐美、简洁美等）？③我们怎样认识并利用向量的“双重身份”？④在向量学习中，蕴含着那些数学思想与方法？⑤应该着重培养学生那些核心素养？具体策略是什么？等等。我们一旦理顺了知识发生发展的线索后，如果能针对知识生成过程的关键节点设计成问题串，引导学生逐层深入展开思考，自然就会促进新知识的生成。
例如，§2.1向量概念这节课的特点是概念虽多但不难理解，其中部分概念是为后续学习需要而进行的规定。教学困难之处在于向量之间关系的发现、概括和整理。重点是让学生从所举出的实例中抽象、概括出概念，引领学生经历重要的操作、领悟、归纳、概括、数学再创造等思维过程，形成基本的数学活动经验。但是，还有诸多教师从思想上仍然觉得讲的题目不全面、不深透，心理就不踏实。然而，依据课堂观察，我们发现教师讲的太多、太全、太难的课，学生往往一个耳朵进另一个耳朵出，真正听进去的人很少。从随机调查与随堂检测结果看，这样的课堂效率低下。我们一定要反思自己的教学方式，是否给了学生充分思考的时间和更多表达的机会，教师是否真正起到了引导的作用，是否有效的借助学习小组组织学生探究和讨论等等。
再如，课本P81页例1：如图，已知向量a、b，求作向量a＋b。有教师改为“对于两个非零向量a和b， 如何求解它们的和呢？”这虽有一定的开放性，但表述不清楚、不严谨，是求a＋b还是b＋a？从学生作图过程看，部分同学出现了a＋b与b＋a 没有区分开的现象，教师也没有做相应的分析和梳理。当然，这种表述方式也可有效利用，表述不清反而使学生意识到“a＋b 与b＋a是否相等”这个问题的存在，为加法交换律的引入埋下伏笔，使学生意识到数学的严谨性，也是一个意外的收获！这样改一改，能使学生思维从规范严谨走向深刻，助力学生领悟，不仅知其然，而且知其所以然，教材知识不再冰冷突兀，激发了学生的火热思考。这样改我们还可以尝试另外一个教学思路：利用位移合成引出向量加法的三角形法则，然后画图验证加法交换律、结合律，从加法交换律的验证过程中得到做两个向量加法的另一种方法，即平行四边形法则。
概念教学基本流程应该是：以数学概念的发生发展过程为线索，循序渐进地安排学生的观察（实践性探索）、思维（理性思考）和迁移（知识应用）活动，引导学生动手做、动眼看、动耳听、动口说、动笔写、动脑思、用心想，全身心地投入学习，在理解概念的过程中，实现数学能力的发展，培育理性精神。从课前自主学习到课上合作探究、成果展示、讨论交流、过关检测再到课后查漏补缺和知识拓展，整节课基本上是学生在解答问题，不断展现学生多样的解题过程、灵活的思维方式，甚至是教师没有预料到的新“生成”，展现出学生良好的语言和书面表达能力，整节课学生应充满着智慧和自信。
3.教学过程应该符合学生认知顺序，有利于主动学习的组织
这次3节展评课均为概念教学。如何让概念在学生主动学习活动中自然生成出来？是令老师们感到为难和头痛的事情。但是，大家也应该明确，每节课不管有多少概念，有多么复杂的关系，总存在一条内在线索，总是按照某种关系发展下来的，找准这种线索，就找到了知识发生、发展的方向了。
例如，§2.1向量概念这节课，向量主要是从两个方面来刻画的：一个是大小，另一个是方向。为了认识向量，参考书的知识结构图从这两个方面进行了分类：按大小，就有了模的概念，有了零向量、单位向量等特殊向量；按方向，就有了平行与不平行之分。由于研究的是自由向量，平行就是共线，于是出现了共线向量的类别，综合考虑方向和大小就有了向量相等的概念。这样诸多概念就串在一条线索上来，这样的课堂就不会零碎和散乱了。作为新学内容，向量的内部结构是学生不可能提前感知到的，知识的发展、能力的提升也不可能由学生自然自发的感知。因此，学生的“自主、合作和探究”过程，需要教师的有效组织和导引。这就有了一个问题：“怎样实现学生的自主探究呢？”这节课从分析教材的编写意图可知，需要通过与实数类比，建立先行组织者，来达成这一目的。建议设计一个预备问题：“如果由你来简略介绍实数，你准备介绍什么？按照什么顺序介绍？”师生共同梳理出基本线索：实数是什么→几何表示→特殊的实数→简单的相互关系等。在展示向量的实例后，接着提出问题：“向量与实数相比有何异同点？与实数类比，我们怎样认识它们？认识什么？按照怎样的顺序去认识？”这样，一旦回忆出实数的研究内容与方法后，就规范了向量的研究内容及进程。本节课通过类比的方法有序地给出“向量的定义→讨论向量的表示方法→定义特殊的向量→研究特殊的关系”，并以此为明线给出“从同类具体事例中，抽象出共同的本质特征→下定义→符号表示→认识特殊对象→考查某些特殊关系”，并以此为暗线让学生感受数学概念发生发展的基本过程，体会研究数学问题的基本思路，进而培养提出问题、解决问题的能力。
从“概念的形成”角度看，重要的是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，这里蕴含着用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程。例如，向量加法教学的“基本路径”大致是，从具体物理模型中，抽象出数学本质特征——定义向量加法及其法则——图形与数学符号表示——定义“a＋0＝0＋a”（这件事情很重要，但往往不被注意）——运算律。这是向量线性运算的起始课，只有玩好“加法”，才能自然生成“减法”、“数乘”等运算。
通过课堂观察，有个现实问题应引起大家深思，即“学生为什么普遍轻视概念的学习？”我们经过调查分析，发现主要原因是学生认为“数学概念就是一些抽象符合，一些死板的语言文字，一些硬性规定”，这和我们的教学过程不无关系。例如，对于三角形法则的概括，许多老师运用了“首尾相连收尾连”等说法，这些教师颇为得意的记忆诀窍，其实都是偏离了数学本质的，学生往往记住了形式，却忽视了对于数学概念本质的理解。在概念教学中，如何循序渐进地对学生进行概念应用的训练，使他们掌握用概念作判断的基本方法，培养“回到概念中去”的思维习惯，是需要我们下力气研究的问题。切忌以“解题教学”替代“概念教学”，过早给出综合题、难题或题目数量过多。对于练习的安排，要注意循序渐进，应以巩固知识和反馈教学效果为主要目的。
总之，新时代的课程与高考改革要求课堂教学以发展学生为本，精选教学内容，把握数学本质，以提升核心素养为出发点和终极目标；提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发数学学习情趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。
作者简介
王发成(1963—)，男，汉族，河北省衡水冀州市人，研究生学历，正高级教师。河北省特级教师、名师和骨干教师，河北省劳动模范、高中课程改革先进个人，主要从事教育教学、管理与评估工作。
基金项目
本文是河北省教育科学研究“十三五”规划2018年度一般资助课题《县域内高中教研学科基地建设、运行与评估行动研究》（课题编号：1803053）的阶段性成果。
论文作者:王发成,张硕
论文发表刊物:《中国教师》2020年1月刊
论文发表时间:2020/3/20
标签：向量论文; 学生论文; 数学论文; 概念论文; 教师论文; 加法论文; 实数论文; 《中国教师》2020年1月刊论文;