分类讨论思想在相似三角形中的两种不同用法，本文主要内容关键词为：角形论文,两种论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分类讨论思想是一种常见的数学思想，由于有些数学问题的题设或结论的不唯一确定，问题存在多种可能情况，因此要按可能出现的各种情况分别加以讨论.运用分类讨论的思想来解决数学问题是近年来中考命题的热点.江苏省苏州市已连续两年将分类讨论思想运用于相似三角形问题中，而且这两个问题中分类讨论思想的运用不同于常见的方式.下面对这两种不同的分类讨论思想的运用加以具体说明.
一、先确定再分类
以往的各类考试中不乏将分类讨论思想运用于相似三角形的问题，这些问题大多存在一对已确定的对应元素（如一组对应点或一组对应角或一组对应边）.因此，将原本两个三角形相似有六种可能对应的情况缩减为两种可能.下面是这类问题的基本图形.
基本图形 如图1，点P是△ABC中AB边上的一点，试在AC边上确定一点E，使△APE与△ABC相似.
分析 显然△APE与△ABC有公共顶点A，有公共角∠A，即对应顶点为A和A，对应角为∠A和∠A，对应边自然为BC和PE.此时，无论从点、角、边任何一个角度去考虑，都有一组已确定的对应元素，故相似缩减为两种可能.
方法1 由“有两个角对应相等的两三角形相似”可知要使△APE与△ABC相似，只要∠APE=∠ABC，即PE//BC，或者∠AEP=∠B.
方法2 由“两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似”可知，要使△APE与△ABC相似，只要使
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图1是基本图形，是分类讨论思想在三角形相似中的最直接的运用，我们平时见到的很多问题都是它的变式.
应用1 （2006·锦州）点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似.满足这样条件的直线最多有多少条？
分析 此题没有明确直线与AC边还是BC边相交，所以先分两类讨论.而这两类情况下又分别有两条直线符合题意，故共有4条.
应用2 已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图2所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分.问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）
分析 不难看出，应用2是应用1的变式.根据点C所在线段的不同，先分两类讨论，即点C在线段OA上与点C在线段AB上.
以上给出的解答方法是根据“两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似”，通过构造方程，找到边的长度，从而确定坐标.但此题中△OAB是一个直角三角形，所以当发现分割所得到的三角形与△OAB有公共角时，也可根据“有两个角对应相等的两三角形相似”，分别过点P作OA，AB，OB的垂线来构造直角三角形，在这样的直角坐标系中，也能轻松得到答案.
用上述类似方法解答的考题还有很多，有的与四边形相结合，有的与双动点问题相结合，有的与抛物线相结合，虽然嵌入的背景各不相同，但实质是一致的.
二、先排除再分类
近年来，“先排除再分类”的思想频频出现在各地中考试题中，如2012年苏州市数学中考试题最后一题第（3）问：
（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）.
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）根据相似三角形的传递性，只要满足其中两对三角形相似，便可得三个三角形中的任意两个三角形均相似.由于△AOQ处于中间位置，与△COQ，△ABQ虽无公共角，但有公共边，所以考虑分别探索△AOQ与△ABQ相似，△AOQ与△COQ相似的问题.
此题中三角形具有不确定性，条件中没有指出任何一组元素的对应，如对应点、对应角或对应边，因此一对三角形相似应分六种情况讨论，那么两对三角形分别相似则共要讨论十二次.考生在做到压轴题的时候，由于时间紧张，一般不会选择讨论十二次之多的方法来解决这个问题.另外，三个三角形两两相似，且没有任何已知的明确的对应关系，考生们情急之下无从下手，备感焦躁.
倘若运用先排除再分类的方法，那么问题可迎刃而解.由于对应元素中，对应角是最易入手的，因此我们不妨从角入手，找到解题的突破口.
解 假设存在这样的点Q，使得△ACO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
因为∠QAB=∠AOQ+∠AQO，所以∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.
因此，要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA ⊥x轴.
因b＞2，故AB＞OA，从而∠QOA＞∠ABQ，所以只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°.
由QA ⊥x轴知QA //y轴，故∠COQ=∠OQA.
故要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.
从解答过程中可以看到，先对△AOQ与△ABQ进行探讨，通过“外角”进行第一次排除，明确一对对应角.一般情况下，得知一对相等的角后，常常会分两种情况继续讨论.但此处通过“大边对大角”进行第二次排除，最终筛选出唯一的那一种情况.
两次“排除”需要大胆的尝试，缜密的逻辑思维，以及对图形敏锐的洞察，难度较大，但难而不繁.此题也显露出命题者构思的巧妙与布局的精当.
继对△AOQ与△ABQ的探讨之后，再对△AOQ与△COQ进行探讨.这里的讨论方法就是先确定一组角对应相等，再分两种情况继续讨论的方法.但是，这看似轻松的讨论，因需要用到前面讨论中得到的“QA⊥x轴”这一结论，故而不能孤立存在.最后，通过“先排除再讨论”，把一个复杂的问题变得简单明了.