设计者：黑龙江省农垦建三江管理局前锋农场中学教师 戴秀丽
点 评：黑龙江省农垦建三江管理局前锋农场中学教师 冯敬华
教学目标：1.掌握解决最短距离问题的数学方法。
2.培养学生运用转化思想、数形结合思想解决数学问题
教学重点：立体图形与平面图形之间的转化。
教学难点：解决此类问题的数学方法。
教学过程：
师：我们在走路，修路的时候都想着怎样让路程变得更短，为我们生活提供方便以及更能节省能源，今天这节数学课我们就来解决初中阶段最短问题
典型问题一：小马喝水的问题
师：出示一只小马在点M处，它要先到河边喝水然后再回到点N处吃草，那么怎样走能使走过的路程最短呢？
生：先在练习本上独立作图，在请一名学生到黑板上作图。
师：同学们都已经画出图形了，你能说明一下你的作图过程吗？
生： 1.先作点M关于河岸的对称点O，
2.在连接点M、点O，交直河岸于点D
3.最后连接线段MＤ，DN，
4.那么MＤ+DN就是马走过的最短路程。
师：同学们，为什么这样做图就是最短路程吗？
生：思考讨论
师：提示，选取其它的点试一试？这样的点比刚刚的路程长吗？
师：提示，在直线上任取一点（不是点D），试说明原因？
生：思考讨论
生：证明
师：师生共同评阅学生的证明过程。边正明边说明理由。
师：根据刚才的方法，你来试试下面这道题，你能不能独立解决
如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________． ?
师：你能很快的说出答案吗？
生：5
师：非常好，说说做法？
生：作点Ｎ关于直线AC的对称点E，连接ＭＥ，则ＭＥ即为PM+PN的最小值。
师：如何求值的呢？
生：点Ｎ关于直线AC的对称点E是线段ＣＤ的中点，则ＭＥ的长度等于菱形的边长。
（点评）该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路。使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣。
师：同学们回答的非常好！刚才我们在平面内如何构建最短距离，下面我们来看看立体图形中是如何构建的呢？
典型问题二：蚂蚁吃食
师：出示教材例题
已知圆柱形的油桶，底面半径为20cm，高为80cm，那么蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少？
师：这是一个立体图形，怎么办呢？
师：给同学们思考的时间。
生：把圆柱的侧面展开成长方形，就把立体图形变成平面图形了，然后连接A、B两点间的线段，线段AB就是最短路程。
师：根据什么呢？
生：两点之间线段最短。
师：如果将圆柱变为正方体呢？
（变式一：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁从点Ａ到点Ｂ沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？）
师：请同学们认真分析
生：画图
师：完全正确
师：看来同学们已经掌握了方法，那现在如果把正方体改成长方体，又如何呢？
（变式二：如图：一只蚂蚁沿着长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体表面爬行，这只蚂蚁从A点到B点的最短路程是多少呢？）
生：分组讨论，画图。
生：到黑板画图，说出如何画图的。
师：根据学生的画图不同情况，分别用几何画板演示。
师：从A到B有无数条路线，我们可以只分析其中的三条，哪三条呢？
生1展开前面、右面成一平面，连接ＡＢ。
生2展开前面、上面成一平面，连接ＡＢ。
生3展开左面、上面成一平面，连接ＡＢ。
生：用勾股定理计算ＡＢ的长度，选取最短的一条。
师：由于时间关系，变式四、五请同学们课下探讨。
（点评）变式四和变式五的设计是将所学习到解决问题方法结论进行运变形。从平面图形到立体图形，从圆柱到圆锥，从直线到三角形，体现了数学方法的综合运用。
师：下面请同学们说说这节课我们学习了哪些题型，又运用了哪些知识来解决这种问题的呢？
生:1.平面用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边。
2.立体图形转化为平面图形，然后在利用两点之间线段最短和勾股定理。
课后作业：变式四、五
总评：本节课在最短矩离这一问题中，利用了数与形相结合的思想，考查了几何、代数知识的综合运用能力。从呈现方式上来看，符合学生的认知规律。教师能够自然的引导学生探究解决方法，总结规律，最后利用几何知识求出距离的最小值。整个教学过程展示了学生学习数学的一般过程：从认知、到论证、最后应用。是一个成功的数学交流例子。
论文作者:戴秀丽 冯敬华
论文发表刊物:《中国科技教育（理论版）》2017年7月
论文发表时间:2017/12/29
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