福建省沙县金沙高级中学 365500
摘 要：求线性回归直线方程是高考中的一种常见题型，一道优秀的高考试题它蕴含着哪些信息，一线教师怎样去解读课标，本文从一道高考试题出发，逆向研究了高考课标，对于指导教师的课堂教学有一定的理论依据。
关键词：换元法 数学模型 数学思想
求线性回归直线方程的试题，都是建立在统计案例的背景实际应用问题，主要考查的是统计及统计案例这一部分的知识，属于中等题。这部分知识主要考查数据处理能力和运算求解能力；大纲要求是在了解这一层级上，即要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它。教材重点介绍了求线性回归方程的思想，对于非线性回归直线介绍了二次函数和指数函数型的求法。对于回归方程的求解思想是什么？应该怎样去解读高考课标？文章将通过高考试题谈谈笔者的思考。
一、用高考试题传递考点信息
线性回归考点要求：
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系。
2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。
3.用函数思想解决生活实际问题，模型意识。要想命制出一道优秀的概率试题其实是很难的，一方面涉及到概率问题都会涉及到大量的数据处理，另一方面在现实生活中，决定主要因素的原因也不唯一，会涉及到多个变量的约束。
二、试题的变式延伸
本试题可以多维度引伸，可以改造成指数函数模型、对数函数模型等试题，还可以经过数据处理求R2，直接判断模型的拟合效果；也可以结合图表改造成求期望，方差，概率分布列的常规题型。因为原题数据进行了处理，不容易看出原始数据，所以就题改题意义不大，笔者将在解题方法角度上对试题进行改造。
某公司为确定商品零售额（万元）与商品流通费率的关系，需了解商品零售额x（单位：万元）对商品流通费率y的影响，下表是对近10次的零售额xi和流通费yi（i=1,2，…10）率数据。
1.将商品零售额作为横坐标，商品流通费率作为纵坐标，在平面直角坐标系内作出散点图。
2.商品零售额与商品流通费率具有线性相关关系吗？如果商品零售额是20万元，那么能否预测此时流通费率是多少呢？
解：（1）散点图如图1所示。
（2）散点图显示出商品流通费率和商品零售额的变化关系并不是直线型，而是一条递减的双曲线型。两者之间不具有线性相关关系。
图1
但经济理论和实际经验都可说明，流通费率决定于商品零售额，体现着经营的规模效益，因此可以拟合一个以商品销售额为自变量（X），流通费率为因变量（Y）的双曲线回归模型：Y=a+b× ，为了求模型中的a和b两个参数，令 =X`，是上述模型转换为线性模型：Y=a+bX`，这样就可以运用线性回归的知识加以解决了。
将转化后的有关数据列表如下：
代入公式得：a=-0.4377，b=60.4，从而线性回归方程为Y=-0.4377+60.4X`。将 =X`回代得Y=-0.4377+。于是当X=20（万元）时，Y=2.5823（％）。
这个变式要比原题难，课本上重点线性回归直线的求法，对于指数函数型，对数函数型，二次函数型的要求利用换元法转化为线性回归直线，而本题考查了反比例函数型，它们在解题方法与上面的思想完全相同，此题上课不好开展原因是出在大量的计算上，但是若像原题上进行了数据处理就可以完全用来考察学生对知识的迁移能力，这就要求教师不能只讲清楚试题的知识点，要站在更高的角度上讲解题方法，最终提高学生的能力。
三、注重试的题潜在价值
目前高考是知识性和选拔性并重的考试，在知识的考察背景下要求足够公平，在选拔性上要求有一定的区分度。本题考查恰到好处，试题来源于学生的实际生活，一个投入广告的宣传费和销售利用问题，背景公平，学生容易理解也便于后续知识性的考察。从选拔性上来看，体现了高考台阶式的题题设卡，通过试题难度梯度慢慢加大，最终把学生引入思想和思维层次的考察。解答题中的概率与统计多考与实际生活结合的试题，用数学方法解决生活中的问题也是出题的趋势。多元智能理论之父霍华德加德纳曾告诫说：除非学生在学习过程中扮演非常积极的角色，除非他们学会了提问，学会了动手做，除非他们在脑中能够重建所学的知识，并能根据知识进行转换，否则他们的学习成果将会很快的消失。这个理论提醒教师，学习不是单靠教师告诉学生什么，而是学生经历了什么，做了什么，即探究了什么。
通过高考试题传递给教师一个信息，那就是应用意识，要求学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决。
本题的考察让教师认识到虽然考试大纲说明对回归方程的要求是属于了解层次，在上课时非线性回归直线的讲解也是利用计算机、计算器完成的，因为高考有时间的限制，多数教师都不以为然，甚至有的教师这节课都没有上；但高考卷却以解答题的形式来考查，还是在理科，这也告诉教师一个事实，高考是不拘泥于知识内容的层次要求。2015年课标Ⅰ理19对回归方程求解要求较高，需将非线性回归方程的求解，转化为线性回归方程的求解。这揭示了这么一个事实，不能忽视教材内容要求。
解决本习题本身不是目的，重要的是在学生的心灵深处留下思维解题印迹，在运用规律，突破规律的过程中培养学生强劲的解题心态，顽强的解题意志，丰富的解题经验，为学生终身发展奠基，这些值得一线教师去思考。
论文作者:舒登科
论文发表刊物:《教育学》2017年6月总第121期
论文发表时间:2017/8/7
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