——以基本不等式教学为例
汪云贵 浙江省开化中学 浙江 衢州 324399
摘 要：本文以基本不等式教学为例，从课堂实际出发，运用弗赖登塔尔的再创造理论，讨论并分析了数学思想教学的应用价值。
关键词：数学思想 应用 不等式
一、问题的提出
教学实践中，有多位高三学生提出以下问题：
当x>0时，由于1+x2≥2x，当且仅当1=x2即x=1时，等号成立，此时2x=2，所以得到函数y=1+x2（x>0）的最小值为2，又因为此二次函数的值域是（1，+∞），并无最小值，前后出现了矛盾，这是为什么？
笔者十分惊讶高三学生提出这个问题。高三学生已经学习过使用基本不等式求最值，为什么还存在这些问题？笔者以为，学生的“学”中存在的问题首先应该在教师的“教”中反思：教师只是把“基本不等式的应用”作为知识和技能进行了详细的讲授，让学生掌握使用基本不等式解决简单问题的最值，而用基本不等式为什么能求函数最值？事实证明，这些有关基本不等式应用背后的思想本质，学生自己无法自觉地理解知识所蕴含的数学思想，教师要从课堂教学实际出发,运用弗赖登塔尔的再创造理论，可在数学课堂教学上凸显数学思想的应用价值。
二、数学思想应用价值实例——以基本不等式应用为例
１.以“最值概念”为出发点，呈现化归思想。
数学概念是提示数学知识的核心本质内容，在应用基本不等式求最值时，运用等价化归思想,以最值概念为出发点,能处理相应的问题。
弗赖登塔尔的“再创造”理论中的HPM思想包括：以历史发生原理为指导进行“再创造”， 基于数学现实有指导的“再创造”。这个理论告诉我们：学生数学学习的本质,就是让学生学会用数学的方法观察世界, 分析研究具体现象并加以组织整理,以发现规律的过程，学习数学最好的方法就是“再创造”，学生将要学的知识自己去发现创造出来,亲自参与知识的产生与发展过程,亲尝“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”（doing mathematics）的过程。“做数学”是学生理解数学的重要条件。
案例1：应用基本不等式求最值时，不等式成立的三个条件的一个教学片段。
教师：当x>0时，f（x）=x+ ≥2 x· =2，当且仅当x= 即x=1时，等号成立，所以得到函数f（x）=x+ （x>0）的最小值为2。请同学们判断上述解法是否正确？并说明理由。
学生1：用函数最小值的概念可以说明上述解法是正确的，因为对于函数y=f（x），当任意的x>0时，f（x）≥2，且f（1）=2，所以这个函数的最小值是2。
教师：不错，概念是数学的基础，是数学思维的细胞，是数学思维的立足点，从基本概念出发，化新知识为旧知识，化抽象为具体，化复杂为简单的方法，是化归思想的体现，思维切入点就是函数最小值的概念。
教师：下面我们用基本不等式来看这个问题：当x>0时，由于1+x2≥2x，当且仅当1=x2即x=1时，等号成立，此时2x=2，所以得到函数y=1+x2（x>0）的最小值为2。请同学们判断上述解法是否正确？
学生2：由二次函数y=1+x2（x>0）图象可以知道，函数在（1，+∞）上没有最小值，所以这种解法肯定不对……
教师:不错,用数形结合的思想来考虑了！请继续考虑。
学生3：由完全平方数的性质知x2>0,所以函数y=1+x2>1, 无最小值。因此上述解法是错误的，得出的2不是这个函数的最小值，这里运用了基本不等式求最值的，怎么还会出错呢？
学生4：上述解法是满足了用基本不等式求最值的三个条件“一正、二相等、三定”，先由相等求得x=1，再代入2x得最小值2，但当x>0时，2x≥2不一定都成立，因此当x>0时，1+x2≥2也不一定都成立。
学生5：用基本不等式求最值时，不等式满足的三个条件“一正、二定、三相等”，缺一不可，并且三个条件处理有先后次序，否则都有纰漏……
教师:这的确是出错的原因，我们回顾函数的概念,看问题能否转化为我们熟悉的问题：函数f（x）是两个变量x，y按一定的法则f的对应关系, 对于函数y=1+x2（x>0）,1+x2≥2x恒成立,但是这个不等式的左边和式是函数y=1+x2（x>0）,右边积式是函数y=2x（x>0）,它们都是变量,“积定”的条件并不满足,这就酿成大错了；相反,若是y=x+ （x>0）,对于正数x有x+ ≥2 x· =2,这个不等式的左边和式是函数y=x+ （x>0）,它是变量,右边积式是常数 ,它是定值,“积定”的条件满足了,这就求出函数的最小值。因此利用基本不等式求函数最小值时,我们不仅要注意变量为正数的条件,还要特别注意到第二个条件“积定”，这是关键！即积定,和有最小值,积不定,和不定,积是否为定值是利用基本不等式求函数最小值的重要条件，只注意到“积定”也是不够的,还要注意能取到等号的条件……
2.以“结构匹配”为落脚点，呈现建模思想。
观察基本不等式的结构特征，不等式两边是两个量的和运算与积运算，两个量的和或积为一个定值是能用基本不等式求最值的关键特征：和定积最大，积定和最小。把问题的结构变形或匹配成积定与和定的求最值的一个关键过程，其实质是建立一个积定或和定的函数模型，是建模思想的一个应用。
弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现，它不是简单地由学生本人把学的东西自己去发现或创造出来，而是教师引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，即通过教师精心设计，创造问题情境，通过学生自己动手实验研究、合作探讨进行的学习方式。
案例2：将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S= ，求S的最小值。在设被剪成两块后的小正三角形边长为x，得到S关于x的函数S=（0<x<1）后的教学片段。
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……
教师：如何求这个函数的最小值?
学生1:整理为关于x的二次方程, 转化为一元二次方程根的分布问题解决。
教师：这是一种求解方法，可能需要分类讨论解决问题,考虑是否还有其他简捷解法？
学生2：用换元法,令t=3-x,则2<t<3,函数化为S=
（2<t<3），分子分母同除以t，函数化为S=-
（2<t<3）,分母运用基本不等式求出最小值,可求得函数的最小值。
教师：很好！若转化为根的分布问题要分类讨论, 用基本不等式求最值可以避免分类讨论, 解法更简化, 从这个函数的分式结构得到启示, 归纳一下形如哪些分式结构可以建立积定函数模型求最值?
学生3：形如 （a>0，c>0）, （a>0，c>0）的分式结构可以建立积定基本不 等式模型求最值，结合换元法，还有形如 （a>0，c>0）, （a>0，c>0）分式结构也可以建立积定基本不等式模型求最值。
比 较分析这个问题的两种解法,用基本不等式求最值方法的更优越和简捷，和定、积定的特征是建模时结构变形的主要思维导向。经过学生的归纳得出两类分式函数的建立积定基本不等式模型的方法与技能,建模思想得到了应用。
3.以“知识拓展”为生长点，呈现整体思想。
弗赖登塔尔的数学教育“再创造理论”不是“教育学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辨数学”等诸多特有的概念。
从数学知识发展的必要依托来看,它必然需要一个自然的知识生长点,之后才能有利于新的知识生成和良好的发展完善，以充满“数学原味”的数学思想来呈现知识,拓展知识,生成新知识。
案例3：运用基本不等式和整体思想求最值的教学片段。
问题1：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值。
学生1：观察式子的结构特征，把“x+2y”看成一个整体，整理得2xy=8-（x+2y），再运用基本不等式得2xy=x·2y≤（ ）2，两式结合得到一个关于“x+2y”的一元二次不等式，通过一元二次不等式的解集，考虑等号，求得x+2y的最小值。
问题2：已知x>0，y>0，2x+6y-xy=0，求x+2y的最小值。
学生2：观察式子的结构特征，两边同除以xy，得 + =1，再运用“1”的整体代换，得x+2y=（x+2y）( + )，展开得积为定值的和式，用基本不等式求得x+2y的最小值。
教师：分析两个问题的求解过程，请同学们比较归纳两种解法的特点。
学生3：在两个问题的解决中，基本不等式的作用不一样，在问题1中，运用基本不等式把问题转化为一元二次不等式问题求得最值，在问题2中，是构建了积为定值的和式，直接运用基本不等式求得最值。
学生4：在两个问题的解决中，不管是问题1中的转化还是问题2中的构建，思维的切入点都是整体思想……
问题3：不等式a（2x2+y2）≥x2+2xy对任意非零实数x，y恒成立,则实数a的最小值为______。
笔者在让学生练习这个问题后，发现很多同学不能得到正确的答案。反思学生们的解答过程可以发现：多数同学只能将原不等式化为a≥（ ）max，再运用基本不等式再求（ ）max就显得困难重重。
学生1：将分母2x2+y2视作整体,分子中的2xy运用基本不等式放缩,得≤ =1。
学生2：上面同学用的方法我认为运用整体思想只能凑巧得到结果的，若是将分母变成3x2+y2或者是mx2+y2（m>0且m≠2），用基本不等式放缩,分子分母不能通过约简得到定值了。
此时课堂上里热闹起来,陷入争论中……
学生3：我能用更一般的方法，就是分母系数变了，也能处理！将a（2x2+y2）≥x2+2xy变形得：（2a-2）x2+（x-y2）≥0，结合条件运用分类讨论思想和化归思想：若2a-2<0，则对任意非零实数a，y并非恒成立，故只有当2a-2≥0，利用平方数x2>0，（x-y）2≥0，可得a≥1时符合题意。
教师:好,运用平方数的的概念和性质，相当精彩！
学生4：将a（2x2+y2）≥x2+2xy变形得：（2a-1）x2+y2≥2xy,运用分类讨论思想和基本不等式：当2a-1>0时,对于任意非零实数x，y有2xy≤2 2a-1xy≤（2a-1）x2+y2,可得：2 2a-1≥2a≥1;当2a-1≤0时, 不等式a（2x2+y2）≥x2+2xy对任意非零实数x，y不恒成立。综上所述,a≥1,所以实数a的最小值为1。
教师：有道理！
4.以“几何原型”为出发点，数形结合翻译定理，呈现建构思想。
弗赖登塔尔的数学教育“再创造理论”不是“教育学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辨数学”等诸多特有的概念。在基本不等式的实际教学中，教师与学生还可以探索并了解基本不等式的证明过程；体会证明不等式的基本思想方法；还可建构几何模型来理解这个基本不等式的几何意义。
三、高三例习题教学中数学思想应用价值教学反思
1.例习题教学应充分展示问题中所隐含的数学思想，让教学过程本质化。
一个数学问题学生怎么会出现自相矛盾的两个结果呢？受知识和水平的限制，学生难免会有思维受阻或者出错的时候，这时教师就要反思，数学思想方法是学生终身受益的东西，数学学科的具体知识与解法多年以后，学生会忘记，而只有数学思想方法能让学生永远铭记，甚至还能应用于生活、工作中。教师在教学中应不断渗透相关的数学思想方法，不断地加强数学思想和方法的训练，让学生不仅仅听懂,还能领悟，能触类旁通,深刻理解其中数学本质和思想，善待学生的想法，精心地“把脉诊治”，从学生角度思考教学的有效性，让学生能自我“再创造”数学知识。
2.例习题教学应揭示数学思想方法的功能化。
从数学教学的根本目的上看，教师不仅要教学生怎么解题，更重要的是努力启发学生的思维，培养学生解决问题的综合能力又是数学教学的核心目标，所以教师就应把最大的教学精力花在诱导学生怎样想到，怎样找解题的思路上，要置数学思想方法的运用于解题的中心位置，充分发挥数学思想的解题功能，充分发挥学生“再创造”的能力。
参考文献
[1]龚辉斌 凸显数学概念的思维价值[J].中学数学教学参考,2010,10。
[2]方勤华 教好数学的一个重要视角[J].数学通报，2010，01。
论文作者:汪云贵
论文发表刊物:《中小学教育》2016年3月总第237期
论文发表时间:2016/5/5
标签：不等式论文; 数学论文; 函数论文; 学生论文; 思想论文; 最小值论文; 教师论文; 《中小学教育》2016年3月总第237期论文;