“余弦定理”的探究式教学，本文主要内容关键词为：余弦论文,定理论文,式教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
探究式教学是在教师的指导下，由学生自主的发挥、探索，通过发现问题、调查研究、动手操作，表述与交流等探究活动，获得知识、技能，解决数学学习过程中发现的问题，从而完成学习任务.本文是笔者对“余弦定理”进行探究式教学的一次尝试.教学分“创建问题环境—探索、猜想公式—求异探新、证明公式—分析结构、体验数学美”等几个基本环节进行.
一、创设问题环境，激发学生探究性学习的动力
探究式教学的关键是“问题环境”的设计.问题环境的设计不单单是问题本身的设计，还包括问题的引入方式、利用方式、预计解决方式、连锁引发新问题等方式.怎样设计问题环境应是教师进行教学设计的重点和难点.
教师活动：如图1，在△ABC中，a=2，b=3，∠C=60°，能否求出它的第三边？若能，该如何求？
学生活动：学生之间交流、讨论获得信息，加工信息，得出结论：
（1）根据三角形全等的SAS判定定理知c边的长是唯一确定的，可以由边a、b及∠C来确定；
（2）不能利用正弦定理来解决；
（3）过B作BD上AC，垂足为D，将△ABC分割成两个直角三角形即可解决；
（4）既然c边可由a、b及∠C惟一确定，那么对于这类问题是否也像前面正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？
（问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望）
二、引导学生探究、猜想公式
教师活动：（电脑展示，在△ABC中，AC、BC长度不变，把CB绕C点转动，AB的长度随∠C的变化而变化）
当∠C=90°时，c[2]=a[2]+b[2]；
当∠C＜90°时，c[2]＜a[2]+b[2]；
当∠C＞90°时，c[2]＞a[2]+b[2].
师生共同活动：教师组织学生共同观察、讨论，引导学生归纳、猜想，AB边的长与∠C的大小有关，∠C增大，AB也增大，∠C减小，AB也减小，AB随∠C的变化而变化，AB应为∠C的函数，设∠C=θ.
学生活动：猜想c[2]=a[2]+b[2]+f（θ）.
师生共同活动：师生共同探究，学生讨论.
（1）f（θ）=？
（2）f（θ）与θ的哪个三角函数有关？
由前面知，当θ=90°时，c[2]=a[2]+b[2]，于是得f（θ）=0；
当θ＞90°时，必有
f（θ）＞0；
当f（θ）＜90°时，必有f（θ）＜0.
学生活动：学生交流、讨论，联想各个三角函数，得出如下结论：
（1）f（θ）与θ的余弦值有关；
（由θ=90°时，f（θ）=0可知）
（2）f（θ）=cosθ；
（3）f（θ）=cos（π-θ）；
（由θ＞90°时，f（θ）＜0，而θ＜90°，f（θ）＞0猜想）
（4）f（θ）=mcos（π-θ）.（由等边三角形检验后猜想）
学生经过交流、讨论、探索，一致认为
f（π-θ）=mcos（π-θ），即
c[2]=a[2]+b[2]+mcos（π-θ）（m＞0）.
（精心扶植学生发现和提出问题的闪光点，尽量创设质疑提问、发表见解的情境，热情地鼓励学生“标新立异”，使他们的思维发展于不同的方向，从而使学生的思维自由驰骋，并积极进行引申、探究的尝试）
教师活动：那么m又取何值，如何确定m的值？
学生活动：（教师引导）学生分组讨论，得出结论：
（1）m的值可能为定值；
（2）m的值可能与a、b的值有关；
（3）利用特殊三角形确定m与a、b的关系.
（学生自由发言）
学生1：由正△ABC得m=2a[2].
学生2：正△ABC太特殊了，但我用顶角为120°的等腰三角形也得m=2a[2]，所以我也相信m=2a[2].
学生3：我想m应该与b也有关，利用直角三角形，若在△ABC中，∠A=90°，则cosC=b/a，①
且a[2]=b[2]+c[2].
②
由猜想，公式c[2]=a[2]+b[2]+mcos（π-θ），
即c[2]=a[2]+b[2]-mcosθ.
把①②两式代入得c[2]=（b[2]+c[2]）+b[2]-m·（b/a）
m=2ab.
所以我猜想m=2ab，而且它也符合正三角形及顶角为120°的等腰三角形.
学生4：对，我也猜想m=2ab.
我利用临界状态验证，当∠C=0°时，CB与CA共线，
且AB=b-a，代入c[2]=a[2]+b[2]+mcos（π-C），得（b-a）[2]=a[2]+b[2]-mcos0°，得m=2ab.
同理当∠C=180°时，得AB=a+b，也可得m=2ab.
教师活动：没有大胆地猜想就不可能有伟大的发现，可以毫不夸张地说任何一个数学上的定理，只要不是其他数学定理的推论，就都是经过猜想才建立起来.刚才第4位同学运用的其实就是数学中的极限的思想，我们将会在以后的学习中学到.
学生活动：学生经过分析，大胆地猜想
c[2]=a[2]+b[2]-2abcos C.
（开展学生间的交流，形成“立体化”的信息传递方式，可以充分提高思维活动的质与量.学生的想像力、创造力充分被激发，学生的情感得到充分体验，这一过程充分展示了从特殊到一般的数学思想，是知识的再创造过程）
三、求异探新，证明公式
仅在教师的引导下进行探究性学习还是不够的，探究性学习强调的是通过学生的自主活动，由学生自行设计并控制整个学习过程，从中培养学生的创新精神和实践能力.
（在探究完公式后，学生还处于极度的兴奋中，他们犹如发现“新大陆”，原来公式可以如此发现！他们在体验成功的同时，又发现了问题，这可只是个猜想，能经得起考验吗？还得继续探究，于是又掀起新一轮的探究热情）
探究过程：
（分组讨论：学生的“第一念”有两个层次，一种是套老路，找熟悉的方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，通过这种从一般向特殊，由未知向已知转化的数学思想来解决问题；另有学生考虑第二种方法，即能否用正弦定理来证明，利用旧知解决新知，但估计此法复杂，知难而退也选用第一种方法）
学生：如图3，在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，在Rt△BCD中，BD=BC·sinC=asinC，CD=BC·cosC=acosC.
在Rt△ABD中，AB[2]=AD[2]+BD[2]=（AC-CD）[2]+BD[2]，
代入，得c[2]=（b-acosC）[2]+asin[2]C，
整理，得c[2]=a[2]+b[2]-2abcosC.
（由学生讨论、分析得知上面的证法并不完整，需对之∠A、∠C进行分类讨论，最后教师由电脑展示本方法的完整证明）
教师（总结点拨）：上面的证明是把斜三角形化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理和锐角三角形来证明，渗透了分类讨论思想，这是证明余弦定理的好方法，但这是一个十分累赘的证明过程，（问）能否避开讨论，不管∠C或∠A为钝角还是锐角或直角，都可以把它们统一起来？
（把角统一，有些学生马上联想到三角函数定义，急切地要求“发表”意见）
学生：根据任意角三角函数的定义就可以统一，但要先建立直角坐标系.（老师请该学生到黑板上板演，其他同学自己做）
板演：如图4，建立直角坐标系，使△ABC的顶点C置于原点，CA在x轴的正半轴上，由于在△ABC中，AC=b，CB=a，则A、B、C三点的坐标分别为（b，0）、（a cos C，a sin C）、（0，0）.
c[2]=AB[2]=（a cos C-b）[2]+（a sin C-0）[2]
=a[2]+b[2]-2abcos C.
教师：（1）怎么想到这种方法？
（2）B点的坐标是怎么得到的？
学生：由老师刚才讲到角的统一，我联想到三角函数的定义，由定义想到要先建立直角坐标系，又在直角坐标系中由求线段AB的长度联想到两点间的距离公式，由距离公式知必须先求A、B的坐标，求A、B的坐标又回到三角函数的定义中去.
教师（归纳）：这种证明方法是解析法，在前面的两角和的余弦公式的推导过程中用过，在以后我们还要详细学习，这是一种十分好的方法.
（受到了上述鼓舞后，另有同学也宣布：“不用解析法，我用正弦定理也可以证明.”全班气氛更加活跃）
而上式显然成立，所以原等式成立.
于是c[2]=a[2]+b[2]-2abcosC.
（学生是一鼓作气，完成证明过程）
教师：能简要介绍这条思路的来源吗？
学生：我是循着“利用旧知解决新知”这一思想方法的，既然是在三角形中的问题，而前面刚刚学习的正弦定理恰恰是来解决三角形中的问题的，所以我就想能否利用正弦定理，把边转化为角，然后由三角恒等变换而得.
教师：多好的想法.显然这个方法较复杂，但它却体现了数学中最重要、最基本的思想，“化未知为已知，化不熟悉为熟悉”是我们解决问题的最重要的手段.知识是普遍联系的，通过联想、类比、构造、转化等方式不断地利用旧知探索新知，联想新近学过的知识.还有其他证法吗？
（立即有学生拍案而起：“还有！”）
学生：利用向量，由已知两边夹角及公式中的abcos C联想到向量的数量积，又由长度联想到向量的模.
教师：简直是妙极了，逻辑推理无懈可击.
（一次又一次地让学生享受成功的体验，学生领悟到成功的喜悦，不断地增强了自信心）
四、分析结构，寻找数学美
教师：哪里有数学，哪里就有美.每一个公式就是一首诗，数学中的和谐美、统一美、对称美、简单美及奇异美都是客观世界美的特征在数学中的反映.
学生1：它“完”美，无论什么形状的三角形它都成立，勾股定理也只不过是它的特例.（教师归纳：“统一美”）
学生2：它“简捷、和谐、对称”，a、b、c的轮换公式总成立（对应角也换）.
学生3：它的变式也很美，
很协调.
（在学生探寻数学美，欣赏美的过程中，体味数学造化之神奇，学生兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式）