数学归纳法教学规律初探，本文主要内容关键词为：归纳法论文,规律论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学归纳法是证明关于自然数n的命题p(n)的一种十分重要的数学方法，是人们最早掌握的递归方法，其发现经过了漫长的探求历史，但自发现之日起，就一直被人们认为是一种神秘、奇妙的方法，从纵的方面看，它是归纳法的一种特殊的形式，它与递推方法、逆向推理方法等同属程序性方法；从横的方面看，它和正整数有关的某些不等式、等式、整除、几何命题、数列命题、排列组合等问题密切相关，应用数学归纳法解决这些问题给人一种奇妙的感觉。在高中阶段，它也是课程、大纲和考试说明的要求。
勿庸置疑，数学归纳法的教学应当是程序教学。但在十多年的教学中，我们感到较多的学生总是表现出学习数学归纳法的各种障碍。经过反复的实验和探索，我们发现，研究性教学数学归纳法，应当把握好“程序”“外像”“内含”三个层次及对应的时序。“程序”的层次是第一层次，也是最基本的层次，即课本上所说的三个证题步骤的教学；“外像”的层次是第二层次，即总结“程序”中的五个阶段式子和四次命题成立的表面特征的教学；“内含”的层次是第三层次，也是最高层次，即探索“程序”表层下隐藏的两类思维策略和一种数学思想的教学，也是高水平的教学。下面给予简单的分析。
一、程序——三步答题格式
三步答题格式——①
，②p(k)
p(k+1)，③综合。
严格地叙述数学归纳法的操作程序是：
①证明当n取第一个值
时结论正确；
②假设n=k（k∈N且
）时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确，即由假设p(k)推出 p(k+1)为真；
③若①、②都得证，则p(n)对于从开始的所有自然数n都正确。
对这三步，首先要弄清①、②两步的关系，①是奠基步骤，它是递推的基础；②是递推步骤，它是递推的依据。但有的学生往往认为只要①或者不要①就算证明了命题，因此，要举例分析①和②的辩证关系，让学生留下两者互相依存、缺一不可的深刻印象。其次要抓住p(k)p(k+1)归纳过渡的重难点，要强调p(k+1)必须由归纳假设p(k)推出。有的学生做题时表面上是用数学归纳法，但证p(k+1)为真时根本不用假设，就是对递推步骤认识的不够。还有的学生知道要由p(k) p(k+1)但却无法达到目的，这就要求我们在教学中要归纳由p(k)推p(k+1)的主要类型和方法，掌握重点、突破难点，保证用数学归纳法证题的顺畅性。同时，要强调③，保证证题的完备性，可能是课本编排和教师着重于①、②教学的误导，有的学生做题时常常没有“综合①、②知命题成立”这一步，所以，我们要讲清课本编排的意图，适度重视这一步的教学。
二、外像——五个阶段式子和四次命题成立
研究性教学数学归纳法，在程序教学之后，我们必须分析其三步程序中的共同特征，即证题中的五个阶段式子和四次命题成立。五个阶段式子指起始式、假设式、目标式、过渡式、结论式，四次成立指起始式成立、假设式成立、目标式成立、结论式成立。遵循外像教学的规律，可以巩固第一层次教学的知识，严格证题程式，优化答题表述。
1.五个阶段式子——起始式、假设式、目标式、过渡式、结论式
在数学归纳法证题过程中，各个阶段出现了起始式、假设式、目标式、过渡式、结论式共五个式子。起始式指式，假设式指p(k)式，目标式指p(k+1)式，过渡式p(k)-p(k+1)指表现 p(k)和p(k+1)间的关系并能实现由p(k)推出 p(k+1)的式子，结论式指题目要证的命题p (n)，其中最重要、最困难和需要一定技巧的就是寻找假设式和目标式之间的过渡式。
例1 已知x＞-1，且x≠0，n∈N，且n≥2，求证
＞1+nx。
分析 这是课本例题，高等数学中有类似的结论。在用数学归纳法证明时，出现了五个不等式，即
，有时以“综合①②知命题成立”的“命题”代替了结论式。这样分析，能够分化难点、明确重点，让学生思维接受和作业训练有序有目的进行。
2.四次命题成立——起始式成立、假设式成立、目标式成立、结论式成立
在数学归纳法证题过程中，共出现了四次命题成立，即“成立”，假设p(k)“成立”，推出p(k+1)“成立”，最后有结论“成立”。教学时要强调四次“成立”，不要轻易省掉。
例2 平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数 
。
分析 这是课本例题，有类似的平面被直线分成的份数、空间被平面分割的份数问题，最先由瑞士数学家斯坦纳(J·Steiner,1796-1863)提出，现代数学教育家波利亚(G·Polya,1897- 1985)等都非常欣赏这个问题。在用数学归纳法证明时；⑦验证n=2时f(2)=1，两条直线交点有1个，即此时命题成立；②假设n=k(k≥2)时命题成立，即k条直线交点个数为
；当n=k+1时，在k条直线基础上增加了一条直线，知交点数增多了k个，于是有p(k)～p(k +1)的过渡关系式f(k+1)=f(k)+k。得 
，即此时命题成立；③综合①、②知命题成立。
三、内含——两类思维策略和一种数学思想
教学数学归纳法，不仅只是追求解题程序和解题外像的形式化教学，而且要挖掘数学归纳法的灵魂和精髓，即形式化现象下本质规律的内含教学，对数学归纳法而言，程序教学的另一个延展方向则是深挖其蕴涵的两类思维策略和一种数学思想，两类思维策略指具体化的策略和退一步的策略，一种数学思想指递归的思想。只有这样的教学，才不是停留在知识的层面，才可能用数学思想、数学意识去培养学生的数学精神和数学智慧。
1.两类思维策略——具体化策略和退一步的策略
在数学归纳法解题程序之中，掩蔽着两类思维策略，即具体化的策略和退一步的策略。具体化的策略指把抽象问题具体化、一般问题个别化、普遍问题特殊化，数学归纳法，特别是符合“观察、归纳、猜想、证明”规律的问题，更是需要抽象的n（自然数）取定为具体的数1、2、3、…。退一步的策略指思维受阻时变换一个角度、退回到开始的位置再思考问题的策略，数学归纳法正是面对抽象的自然数n、面对无穷多个自然数1、2、 3、…，而只是验证它的起始式成立，可以说，具体化的策略和退一步的策略是数学归纳法的精髓所在。
例3 求和
。
分析 这题来源于课本例题，课本封面正是此题结论，公元前200多年阿基米德（Archime des，前287－前212）曾用几何方法证出此题，类似的一般问题曾困扰人类二千多年才得以彻底解决，公元前6世纪毕达哥拉斯（Pyehagoras，前 572－前497）学派最先得出
，最后由17世纪的数学家雅各·伯努利(Jakob Bernoulli,1655-1705)完美解决了自然数方幂求和问题。我们面对这个问题，倍感困难重重，无从下手，但数学归纳法的思维策略启示我们，我们要把n具体化，但不是杂乱无章地去取n，而是遵循退一步的策略，从n=1,2,3,…来取，则有n=1时，
附图
于是猜测
，再应用数学归纳法给出证明。更重要的是，具体化和退一步的思维策略可以迁移到我们的工作和生活中去，这才是学习数学的真谛啊！
2.一种数学思想——递归的思想
数学归纳法是只适用于证明一个与正整数有关的命题正确的特殊证明方法，最基本的层次得看是否具备应用数学归纳法的意识，即面对一个问题，能不能想到数学归纳法，而首要的是需要具备递归的数学思想，数学归纳法的灵魂就是递归的思想——要证明一个与自然数n有关的命题，因n的无限，使我们验证的做法达不到尽头，但数学归纳法却通过有限的程序，包容了无限多个三段论，从而证得命题成立。
例4 用数学归纳法证明
附图
分析 这是课本例题，也是近代首先试图用递归思想证明数学命题的意大利数学家毛罗利科(F·Maurolycus,1494-1575)递归推理的结果之一，但他只是以例说明却未完整的表述。在应用数学归纳时，其过程的解释是：因为由①有n= 1时，
成立；……如此下去，有无限多个三段论，从而验证命题对无限多个n都成立。数学归纳法的奇妙之处就在于，把这无限多个三段论统一在两步推理之中！它是以有限代无限、以抽象替具体的智慧结晶。
总之，探析数学归纳法及其教学的规律，立足在证题程序的三步答题格式，往下有外像层次的五个阶段式子和四次命题成立，往上有内含层次的两类思维策略和一种数学思想，总结其结构图为：
附图
复习时则可以概括为数学归纳法的“一（思想）、二（策略）、三（格式）、四（成立）、五（式子）”。不仅重视了知识点教学，重视了解题程序及其形式化的特征教学，而且更重视了数学知识的灵魂即数学思想的教学，更重视了数学意识教育，更重视了用数学的精神、数学的智慧去影响学生，培育学生的创新精神和实践能力。