数学#183;数学史#183;数学教育，本文主要内容关键词为：数学论文,数学史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文主要讨论数学教育.具体地说，我们尤其要探讨，为什么数学教育需要特别关注数学史？为此，首先还需要看看数学教育在整个教育中的地位以及数学本身的地位.
一、数学教育的地位如何
除了母语教育外，数学教育的地位是其他任何学科所不能比拟的.
一个人从幼儿园起就学数（shǔ）数（shù），小学开始算术，中学开始学代数、几何，到了大学，所有的理工科都要继续学相当多的数学（包括微积分、微分方程、微分几何等等），不少的文科（例如经济学、管理学）也要学数学，甚至一些人文学科专业的学生也还要学一点数学（必修或选修）.
法国人让数学教育进入普通家庭，美国人则有过一个口号：“让人人喜爱数学”.乃至于，一个国家的人均数学水平成为这个国家文明程度、发达程度的标志之一.
“让人人喜爱数学”这个口号所面对的现实是：不少的人对数学是谈不上喜爱的.有不喜爱的，才希望人人都喜爱.
为什么希望人人喜爱数学呢？为什么一个人要受少则十几年多则二十年以上的数学教育呢？这当然是因为数学重要.可是，为什么数学那样重要呢？我们作进一步的讨论.
二、数学属于哪类学科
有必要先弄明白，数学究竟是一门什么样的学科，属于社会科学、人文科学，还是自然科学.
人们很容易说出，数学不属于社会科学，也不属于人文科学.其实，数学也不属于自然科学.数学不是应用于自然科学吗？但是，数学也应用于社会科学，甚至应用于人文科学，例如，数学可以用于研究语言学，用于研究艺术学.所以，数学用于研究自然并不是数学属于自然科学的理由.否则，数学也属于社会科学和人文科学了.
数学既不只是自然科学的应用，又不只是来源于自然科学.有一些数学对象源于自然，但不只是源于自然；有一些数学对象既不来自社会，也不来自自然.
例如，“一个充分大的偶数必是两个素数之和”，这个数学命题就不与任何自然现象相关，也不与任何社会现象相关.它就是一个很纯粹的数学问题.
牛顿的微分源于力学，莱布尼兹的微分源于几何学.如果说在牛顿那里，通过力学可以看到微积分来自自然的话，那么，在莱布尼兹那里，我们就可看到相反的情形，数学有其自身的运动而不一定首先从外部去解释.事实上，微积分自牛顿、莱布尼兹以来，又经过了黎曼、勒贝格等几个发展阶段，这种发展也只是数学自身的一种能动.数学本身就有生长和发展的能源.
有人说，几何学与尼罗河的经常泛滥从而经常需要测量有关，但是，世界上不少河流也经常泛滥，却只有几何，没有几何学.
欧几里得的《几何原本》是成熟最早的科学，是影响最为深远的学说.《几何原本》，特别是它所体现的公理思想，就不来自于任何自然现象.它的这种公理思想如果说有来源的话，那就是来自于古希腊圣哲们的逻辑思想，并非来自于自然和社会.
若再问逻辑思想从何而来，那么，答案也很明显，它来自人的思想本身，来自人的心灵.逻辑是克服思想可能包含的矛盾的结果.正因为数学与人自身的关系更为密切，所以人们有时说数学是人文的近亲.
三、数学教育的真实意义在哪里
数学产生有多久了？
这个问题可以分两种情形来讨论.一种是问数的产生有多久了，另一种是问数学作为一门学问产生有多久了.
数的产生跟语言产生的历史一样悠久.语言的产生可以大体上分为三大阶段.人类历史约680万年.在前500万年，人类基本上还只有单音节语言；近200万年以来，随着人的口腔结构的进化而产生了多音节语言，这是一个关键性的变化；最后才出现文字语言，这个历史就只有几千年了.
数，在人类的早期就有了；多音节语言的出现也为多位数的出现创造了条件；文字语言出现后，数的文字表达也随之出现，而现在我们所普遍使用阿拉伯数字，实际上源于印度，这个历史则仅有千余年，比一般文字的出现晚很多.这个历史表明，数的发展和进步并不是一个轻松的过程.
是人缔造了语言，缔造了数学.而今，语言和数学又成了帮助人成长的基本教育内容.数学实际上也是一种语言，数学也伴随着人的发展和进步.人的历程在很大程度上是人的语言不断生成和不断丰富的历程，因此可以说，语言伴随着生命的历程，学习数学也意味着生命日益充实与强盛.
或者说，语言可以承载人的生命，承载人的先天和后天所获得的许多东西.数学作为一种有特殊作用的语言，也发挥着这种承载作用.
直觉是人的天性，是人创造的源泉，然而，它也可以在后天得到发展，从而，创造力也是可以发展的.数学作为人文的近亲，作为人的心灵的结晶，又十分有利于发展人的直觉，从而发展人的创造力.
逻辑是在人的后天才能获得的.但是，纯粹形式的逻辑学不可能走进基础教育的课堂，甚至许多大学专业教育也难以有专门的逻辑学课程.又是数学充当了活的逻辑学课程角色.人们常说数学训练是思维的体操，说的就是数学能够起到逻辑训练的作用，数学能使人的思维更健康.
其实，发展直觉能力也好，发展逻辑能力也好，都是生命发展的一部分.所以，如今的数学及其教育已是与提升生命质量密切相关的了.我们已说过，一个国家的现代化水平有许多衡量指标，其中，人均数学水平就是指标之一.从根本上说，数学是一种文化，一种文明，是一种既有悠久历史，又有永恒未来的文化，它一直伴随着，也将永远伴随着人类生活.
是什么让数学可以与人类更好地相伴随呢？数学教育.与人类相伴随的东西很多，除了飞禽走兽、树木花鸟、衣食住行外，数学也与人类随行，然而，不同的是，像数学这样的东西若要有效地与人类相伴随，就尤其离不开数学教育.因而，数学对于人本身的意义越重大，数学教育的意义也越重大.
四、数学史在教育中的地位怎样
世界上最优质的基础教育，无不表现为有最好的母语教育和数学教育.世界上最顶尖的大学，无不拥有最高水平的文学院和理学院，而文学院中首推文学系或哲学系，理学院中又首推数学系.
这一现象事实上存在于文明史上.例如在古希腊，人们是“把数学充当哲学”[1]的.哲学就是智慧之学，有智慧才能学好哲学；更重要的是，学好哲学才能更智慧.教育的根本目的在人自身，其中特别包含使人自身更智慧的目的.因而，哲学教育和数学教育格外重要.然而，直接讲授包括逻辑学在内的哲学有相当的困难，于是，也以数学教育特别是几何学的教育哲学作为逻辑学教育的一种辅助教育.
数学教育就这样在教育史上，从而在人类文明史上扮演着如此重要的关键角色.
那么，数学史的教育在数学教育中如何重要呢？我们甚至可以说，良好的数学教育离不开数学史教育，为什么呢？
数学训练有如思维的体操，可是，要带领学生做好这番体操活动的教师，就必须深知这种体操的性质、内容和形式，并用自身优美的“姿势”做示范以引导操练.
显然，要做到这一点，优先的就是要知道这种思维的实际发展过程，要知道许许多多的数学公式和定理是怎样“想”出来的.这就要知道历史，知道思维史，知道公式和定理的演变史.
如果没有念过数学史，至少也要琢磨一下这些数学结论可能的发现过程，想象一下它们在自己学习过程中的经历，于是，这样才能有效地阐述和讲授，增强说服力，也增强吸引力.不过，历史需要想象，但历史不能只靠想象，还要靠学习.
数学训练的内容无非是两件事，一件是论证，一件是计算.然而，真正生动活泼的数学教育是反思的，是从被论证的结论开始倒推的.这个结论成立的条件是什么？这个条件作为结论时又需要什么条件？如此倒推，直至找到“最初的条件”，这就是论证思维的实际过程.毫无疑问，多一些数学史知识的教师，就会多一些倒推的办法，或者有更强的能力进行倒推.
代数是以字母代表未知的东西，并将其列入关系式之中再去寻求已知，而几何证明题常常是给出已知，再去求证，但实际的历史都是在未知面前去寻求已知，还对已知加以论证.无论是教授什么不同的教学内容，都在于揭示这个由未知到已知的过程.所以，数学史的意义都是重要的.
多一些数学史知识，可以帮助教师克服数学教育中并不罕见的一些缺陷或弊病.
例如，现今的几何教科书所呈现出来的好像是一部演绎史.其实，与演绎相比，归纳同样重要，而几何教学常以为只有演绎才意味着严谨，又把严谨视为几何教学的无上荣耀.
中学几何训练较多的是从“已知”到“求证”的，其实，已知的东西从哪里来这样的问题更重要.现在，公理似乎是“最初的知识”，然而，它们也是通过归纳获得的.几何教学的问题常表现为对“从哪里来的”和对“最初的原因”的忽视.
中学代数似乎只是“方程—求解”的表现形式.其实，方程的实质在于有未知.代数是将未知的与已知的关系弄明白，然后，通过这种关系去寻求未知.这就是解方程或不等式.
代数教学忽视方程来源的情形没有几何中忽视几何结论的来源那么严重，但偏重于求解而忽视方程本身形成过程的现象也很普遍.
比代数更基本的学习对象是数.代数有自己的发展史，数也有自己的发展史，而且是更应被关注的发展史.了解数的发展史是一个基础，数学的许多演变与此相关，所以，了解这一历史对于数学教学更具有特别的意义.
简单地说，数的历史是这样的：首先有正整数；分数不过是正整数的商，故而，可以很顺利地获得正有理数的概念；跨到对无理数的认识就相当艰难了，最初只是对代数无理数（作为代数方程的根而存在的无理数）的了解；以上是公元前的事.零的出现和对零的初步认识已是公元后的事情了；再后便是负数；比接受负数更艰难的是虚数，复数；更后，到了19世纪，人们才认识到超越无理数的存在（它们不是任何代数方程的根）；最后还有多元数的出现，还有所谓非标准数.
在这些描述数的术语中，诸如“无理”、“虚”、“超越”、“非标准”等，都直接反映了人们当初接触这些数的时候的感受和心态.这么多不同类别的数，大多数在人们的常识之外，这足以说明数的教学的必要和可能的困难，也足以说明数的发展史的重要意义.
同时，这个历史也告诉我们，在数学教学中应当要经历的阶段和可能遇到的困难，告诉我们数学教学的重点、难点在哪里.
教学的顺序与数学历史演进的顺序不一定要是完全相同的；逻辑的顺序与事实上的发展顺序一般也不尽相同.认识这种不同，把握这些关联，却是我们顺利进行教学所必需的.
五、如何让人人喜爱数学
让人人喜爱数学，是一个崇高的目标，也是一个困难的目标.
学好数理化，走遍天下都不怕；学好语数外，风驰电掣不算快.这些话并不是完全没有道理的，从中我们都可以看到数，看到数学的地位.
可是，在现实生活中，我们看到的是许多人害怕数学，远离数学，见到稍微大一点的数字就有点烦，更不要说喜欢了.在学生中也可以看到这种情形的发生.要不是高考或其他一些功利的考虑，学生中就有一些人想早早离开数学.这是不是天赋的问题呢？有一些数学家早期就曾被认为是没有数学天赋的，却在数学上有了成就.这至少说明不完全是天赋问题.
对一个事物，有的人感兴趣，有的人不感兴趣.不感兴趣是谈不上喜爱的，感兴趣也还不一定喜爱，从感兴趣到喜爱还有一段距离.然而，首先是兴趣问题.
这里，有一个前提性的问题：数学本身是否有趣？是否有值得喜爱的地方？
如果本无趣，只有靠认真，只有靠刻苦，那就确实是艰难了；如果有趣味，让人喜欢，那么，即使难也不一定感到难，或者由于喜爱而不太怕难了.
要想学好语文，需要有语感；要想学好音乐，需要有乐感；要想学好打球，需要有球感；要想学好数学，也需要数感吗？人的认识通常要经历感性的阶段，数学的学习也如此，所以，数感的培育也重要.
反之，如果对所接触的事物没什么感觉，没有什么情感，那怎么觉得有趣，又谈何喜爱呢？所以，有没有数感，能否让学生有数感，这是一个基础性问题，这是数学教育中的一个真实问题，是数学教师必然面对的现实问题.
这段话所说的正是数学教育中的一个重要问题：数学教师中，谁不希望学生喜爱数学呢？然而，并不是谁都能做到让学生喜爱的.
数感从何而来？这是与“乐感从何而来”、“球感从何而来”、“语感从何而来”同类的问题.所谓感，事实上是指美感、快感、愉悦感、韵律感……
这样，问题就变为：数学教育能让学生感到数学的美吗？能让学生感到数学之中也有一种韵律吗？能让他们快乐吗？能让他们在学数学时像打球那样尽兴吗？关键在于，数学教师能否向学生揭示数的美、数学的美.我们仅举一例，
+1=0是一个经典式子，有7个符号，除了加号和等号外，其余5个都是数：1，0，i，e，π.其中，1是一切数的基础，0的出现是一个标志性事件，i既是代数数，又是虚数的单位，而e和π则是最具有代表性的超越无理数（非代数数）.性质如此不同，出现的时间相距又是如此遥远，这样的5个数却和谐处于一个式子之中，能够让人有一种距离美、统一美、和谐美的感觉，能够从一个大跨度的历史中看到壮阔美.从这里也可看到数学史的意义.
让学生对数学有兴趣，让学生喜爱数学，这才是成功的数学教育，成功的数学教育也需要美学.由此我们便可知道，数学教育不只是传授知识本身.教好数学，需要有对学生、对数学的满腔热情和教学的艺术，这都需要美学的支撑.
六、审美追求是动力
数学史证明，审美追求是数学发展的动力之一；数学教育的实践也证明，审美追求也对学好数学有重要作用.
在数以百计的数学门类中，数论是最基本的，也是最考验人的智慧的.同时，数论的许多问题与美学因素紧紧相连.
就拿整数论来说，古希腊就有人提出了完美数的概念.欧几里得时代就知道了最小的4个完美数，6，28，496，8128（它们除了自身以外的其他因数之和正好等于它们自己，例如，6=1+2+3，28=1+2+4+7+14）.
第5个完美数在哪里呢？直至1538年才找到了它：33550336.
接着就是寻找第6个、第7个……找啊，直到二十世纪，也才总共找到了二十几个.对完美数的寻找，是数学活动中人们的审美追求的典型表现，这种美几乎就是一种纯净美，对这种纯净美的追寻并而不包含任何功利的因素.在长达数千年的历史上，难以数计的智慧的人们，用毕生的精力去追寻那些美妙的数字，这是何等壮观的历史啊！
在对完美数的追寻过程中又带出了许多有趣的问题，吸引了更多的人投入这些问题的研究.在这里，体现了一种对唯美主义的崇尚.
这些历史有力地表明，在数学教学中向学生揭示美，提高学生的审美水平，激发学生的审美情趣，会有助于增强他们学好数学的动力.
在数千年的历史中，发生了与数学有关的无数故事，许许多多美好的事情大都发生在这些故事之中.数学并不只是由一些赤条条的定律组成的，数学也不只是由一些干瘪的公式构造出来的，数学还有无数美好的故事.
课程的后现代主义主张“三S”的教育，意即强调以科学（science）、精神（spirit）和故事（story）为基本内容的教育.[2]数学是科学，数学是由人的精神孕育出来的，数学的历史是由无数的故事编织而成的.由此，“三S”的原理对于数学教育可能是很合适的.
数学在故事中，故事在历史中.“故时”即过去了的时间，亦即历史.因而，数学在故事中，亦即数学在“故时”中.会教数学的教师，在很大程度上是会讲故事的教师.在数学里，有美不胜收的故事；在故事里，有美不胜收的数学.
如果十分善于运用故事进行数学教学，那就可以用一种非常活泼有效的方式把数学、数学史和数学教育结合在一起了.这就是活的数学，这就是可能使更多人喜爱数学的教育.