王瑞平 广州市增城区第一中学 511300
【摘要】在立体几何的学习中，除了要求学生具备扎实的基础知识外，对学生的空间想象能力要求较高。若想提高高中立体几何备考效率，必须要抓住关键，从培养学生的兴趣和空间想象能力入手，采取灵活的手段，突破各类题型。立体几何是高中数学的主干知识．课程标准下的高中数学教材螺旋式地安排了两部分内容：《数学2》（必修）；《数学》（选修2－1）——“空间几何体”、“点、直线、平面之间的位置关系”、“空间直角坐标系”和“空间向量与立体几何”.作为高考必考内容，立体几何主要考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等。
【关键词】高中数学 立体几何 数学素养
中图分类号：G252.3文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）05-040-02
一、问题提出
立体几何是高中数学主干知识之一，在全国卷中，一般是选择题、填空题、解答题各一题，共计22分。考查的知识点包括：空间几何体的结构、直观图和三视图；空间几何体的表面积、侧面积、体积、棱长、点面距离和空间角的计算；与平面相关的四个公理和一个定理；与平行与垂直有关的八个定理。突出考查数学抽象、直观想象、逻辑思维、数学运算等数学素养。
全国卷对立体几何的考查，以“三个观点”统一组织材料，一是“定型”考查，通过三视图、直观图来识图，用图作为空间想象能力考查的开始；二是“定性”考查，以判定定理和性质定理为核心，证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，进行思维发散考查；三是“定量”考查，以空间角、表面积、体积和高的计算进行聚合考查。试题坚持以空间想象能力立意，选择题和填空题注重几何图形构图的想象和辨识，解答题以垂直（平行）论证为核心，展开角的计算（理科）、体积和高的计算（文科），注重空间向量在处理空间角过程中的作用，体现几何问题代数化的思想（理科）。高考对立体几何知识的考查，有将立体几何知识体系向其他知识体系过渡综合考查的趋势，与导数、不等式、三角函数等知识综合考查，同时注重对数学文化的渗透。立体几何知识是考查考生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的重要载体。下面主要以全国高考数学卷为例，分析学生解答立体几何试题存在的问题，寻找解决问题的对策，并提出几点备考对策。
二、立体几何常见题型归纳例讲
1、概念辨析题：
（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。
（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。
（3）相关例题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下：
图1
例：设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个说法：①；②；③
④，说法正确的序号是：
_________________。
2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。
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（1）基础知识网络（图1）：
请根据以上知识网络图，写出相关定理的图形语言与符号语言.
（2）相关例题：
例1如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1
例2.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积（答案：）
3、计算题。包括空间角（异面直线所成的角，线面角，二面角）和空间几何体的表面积、体积的计算。
（1）对于空间角和空间距离的计算，关键是做好“三步曲”：step1：找；step2：证；step3：计算。
1.1求异面直线所成的角：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法
二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；
三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
1.2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；
二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；
三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。
1.3求二面角的平面角
解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；
二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；
三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。
（2）对于几何体的表面积、体积的计算，关键是搞清量与量之间关系，熟练应用公式进行计算。已知三视图，求几何体体积。平面图形直观图面积与原图形面积的互相转化。
（3）相关例题：
例1.如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成的角；
例2．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，若，那么原ΔABO的面积是（ ）
A． B． C． D．
例3.如图，为一个几何体的正视图，侧视图和俯视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为2，4。俯视图中，内、均外为正方形，边长分别为2，4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积。
答案S全面积=20+12,
例4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为（B）
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°
例5.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点.（1）求证：；（2）求证：平面AEC；（3）若，求三棱锥E－ACD的体积；（4）求二面角E－AC－D的大小.（单元考题）
参考文献
[1]周鹏程.培养核心素养――教师工作新理念[M].吉林大学出版社，2017.81-109.
[2]余树宝.数学核心素养下的教学内容与诠释.2018年底10期（上旬）
论文作者:王瑞平
论文发表刊物:《中小学教育》2019年5月2期
论文发表时间:2019/4/8
标签：立体几何论文; 平面论文; 直线论文; 几何体论文; 平面角论文; 空间论文; 棱锥论文; 《中小学教育》2019年5月2期论文;