从勾股定理看数学探究，本文主要内容关键词为：勾股定理论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 三类不同的教学问题
勾股定理是一个尽人皆知的数学定理，无论是定理的内容还是定理的证明都不包含太多的困难.在漫谈四中我们已经从勾股数的角度谈到由此衍生出来的一系列数论问题，其中包括著名的Lagrange四平方和定理.本文将谈谈从几何的角度怎样在教学过程中把勾股定理教出新意、教出探究性.
我们在教学过程中关心下面3个层次极不相同的问题：
（1）知道勾股定理；
（2）证明勾股定理；
（3）发现勾股定理.
让学生知道勾股定理，这就是通常所说的知识传授过程，这是一件并不复杂的工作.但学生学会自己证明勾股定理也不怎么复杂，因为曾经有人收集过勾股定理有多达270多种不同的证法.而且每种证明都具有一定的直观性，学生可以通过直接的几何观察找到证明方法.但是，如果学生事先不知道勾股定理而要自发的发现勾股定理，这却是一件极不简单的工作.正确的教学观应该把教学重心放在“再发现”这个更深层次的教学目标上.
勾股定理具有悠久的历史，我们很难了解在数学发展的漫长进程中人们究竟是怎样发现勾股定理的.但是有迹象表明勾股定理的发现与面积的拼补变换具有密切的关系.
我国最古老的一部数学著作《周髀算经》上有一段发人深思的记载：昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也，古者包牺（伏羲）立周天历度.夫天不可阶而外，地不可得尺寸而度，问数安从出.商高曰：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三、股修四、径隅五.故禹之所以治天下者，此数之所生也.
这段记载告诉我们，上古时代人们观察天体运行、建立天文历法时首先需要一个计量系统，这种计量系统最初是由对一些特定的几何图形的计算开始的.这些几何图形包括矩形、正方形三角形与圆等，而且这些几何图形之间存在着一定的变换关系.等积变换是平面图形的一个最基本的变换关系.
2 出入相补原理——勾股定理再发现
容易知道任意多边形都可以由对角线划分为若干个三角形，同时利用面积拼补的方法容易把三角形化为一个相同面积的矩形（见图1）.
下面我们有两个自然的问题：
问题1：怎样把矩形化为等积的正方形（方出于矩）.
问题2：怎样把两个正方形化为一个等积的正方形.
结论：如果回答了这两个问题，那么我们就能把一个任意的多边形化为等积的正方形.这种等积变换说明了三角形、矩形与正方形对一般多边形研究的重要作用.
问题2的答案由图2（a）表示，其中直角三角形1移到3，2移到4，这样便把两个正方形化为一个等积的正方形.
图2（a）
进一步观察图2（a），把直角三角形1的三边分别称为勾、股、弦，则图2说明勾上正方形加股上正方形恰等于弦上正方形，因此等积变换可以使我们重新发现勾股定理.
实际上两千多年前我国数学家刘徽注释的古代数学著作《九章算术》中就是用这种方法证明勾股定理的.刘徽在“股章”第3题注中说：“勾自乘为朱方（红色正方形），股自乘为青方（青色正方形），令出入相补，各从其类.因就其余不移动也，合成弦方之幂.”刘徽的证明正是图2（b）所表示的等积变换.《九章算术》中称这种等积变换为出入相补原理.（参见《中国数学史论文集》（二），第19～28页，沈康身文“勾股术新议”，吴文俊主编.济南：山东教育出版社，1986）.
图2（b）
3 进一步探究——秦九韶公式（海伦公式）
出入相补法是一个具有广泛应用的方法南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》卷5中提出利用三角形三边求面积的公式.把三角形三边按长度分别称为大斜（a），中斜（b），小斜（c）.则三角形面积S有公式
其中m=（1/2）（a+b+c）.秦氏公式来源不明，证明失传（见吴文俊《出入相补原理》，载《九章算术与刘徽》.北京：北京师范大学出版社，1982）.但不难利用出入相补法证明如下.
首先利用出入相补法容易证明直角三角形的一个刘徽公式（证明用图3表示）
4 面积法——一种普遍适用的几何方法
出入相补是一种面积变换法，其方法的适用性不胜枚举.如果把等积变换法改变为更为一般的面积计算法，则可能应用于更广泛的几何问题.张景中教授在其一系列数学教育著作中以面积法为基础建立了完整的初等几何体系.下面仅以初等几何中美妙的“蝴蝶定理”为例，说明面积法的绝妙之处.
蝴蝶定理 一个圆内有三条弦AB、CD、EF交于圆内一点O，DE与CF截AB于G、H（图5）.如果O平分AB，则O也平分GH.
1987年L.Bankoff发表于美国Mathematics Magazine第60卷4期的一篇介绍蝴蝶定理的论文收集了这个定理的15个不同证明，但这些证明都不如张景中所提供的面积法证明简短有趣.
定理证明 首先利用三角形正弦定理易知共角三角形面积之比等于夹相同角的两边长乘积之比.图5中AB分蝴蝶双翅为4个三角形，
5 对原问题进一步反思——希尔伯特面积剖分定理
现在我们再回到第2节中的问题1、2，对问题1的回答我们用下面图6（a）、（b）表示，图中正方形的边长是利用圆幂定理求出的.图6的作法如下：已知矩形的长s宽t，利用圆幂定理求出线段u使u[2]=st，在矩形左上角截直角三角形1使斜边为u，延长这条斜边，通过已知矩形右下顶点作三角形1的斜边上的垂线，由三角形面积计算知这条垂线长为u，在图6（a）中两线段u把原矩形截为三块，移动三角形1与2，如图得正方形面积u[2]=st，在图6（b）中原矩形被截成4块，移动1、2、3重拼为正方形，其面积也是u[2]=st.
图6（a）
图6（b）
这样，如第2节所述，一个任意多边形可利用对角线剖分为有限个三角形，每个三角形可有限地剖分重拼为一个矩形.用希尔伯特的术语，三角形剖分等于一个矩形.问题1告诉我们每个矩形剖分等于一个正方形（方出于矩），问题2告诉我们两个正方形剖分等于一个正方形.这样我们通过等积变换重新发现了下面的著名希尔伯特定理：
定理 面积相等的多边形一定剖分相等.
希尔伯特在他的著作《几何基础》第四章证明了这一定理（定理40）.本文提供了一个初等证法.证明定理并不是我们的主要目的，我们更关注发现式的几何教学途径，引导学生经历数学中的再创造过程.
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