加权复合分位数回归法在动态VaR风险度量中的应用_分位数论文

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1 引言

不确定性是一切风险的源泉。所谓金融风险，是指金融机构、企业或个人在经营金融业务过程中，由于宏观经济政策、国家政策、经济法规的变化，市场波动，汇率变动，国际金融市场不稳定等因素，金融机构经营不善等各种原因，在资金、财产和信誉上存在着遭受损失的可能性[1]。金融风险是金融活动的内在属性，是不可消除的，只要进行金融活动，就存在金融风险。金融风险虽然不可消除，但可以进行有效地控制。因此，有效地度量和控制金融风险已经成为金融界所面临的最紧迫和最重要的任务之一，是目前国际金融界的热点问题。

在对金融风险度量历经六十多年的研究中，发展出了各式各样的风险度量方法，其中最具代表性、应用最广泛的风险度量方法是风险价值（VaR）。VaR因为简单直观，即使对非专业人士而言也是易于理解的，成为了当今国际上最主流的风险度量方法。西方学者对基于VaR度量下的投资组合优化的理论与实际问题做了许多的研究工作，比如，Gouriéroux等[2]在非参数核估计基础上提出了计算VaR的非参数方法；Dowd[3]提出了基于样本分位数的VaR的非参数经验估计方法；Cabedo和Moya[4]用VaR模型对石油价格进行了风险度量；Kibzun和Kuznetsov[5]提出了动态VaR度量的理论框架；等等。我国学者对VaR的研究多是实证分析，将VaR理论应用于我国的金融风险度量和和金融监管，最早始于牛昂[6]。胡海鹏和方兆本[7]介绍了投资组合VaR的概念及计算方法，并对组合VaR进行了具体的分解。陈学华和杨辉耀[8]利用时间序列APARCH模型在假设分布已知条件下计算了上证综合指数的VaR风险值，并把它与应用GARCH模型的估计结果进行了比较。姚京和李仲飞[9]在均值—方差模型的框架下，利用VaR代替方差或标准差作为风险的测量指标时的均值—VaR模型。刘晓倩和周勇[10]在α-混合序列下，利用“亏量”的概念对VaR的非参数核光滑估计与经验估计进行了比较。王艺馨和周勇[11]基于极值理论POT模型计算了上证综指的日收益率VaR风险值。关于VaR风险的研究文献数不胜数，在这里就不一一列出了。

在现实市场中，多数的金融时间数据是非独立的，而是相依的，因此度量风险时应假设所考虑的时间序列是相依的混合序列，比如α-混合序列。很多时间序列模型是符合α-混合序列的，如AR模型，ARCH模型[12]，ARMA模型，随机波动，扩散模型[13]，等等。而其中AR模型是最简单的时间序列模型，是可以用来描述自然、经济和金融等领域某种时变过程的等距离散随机过程，它被广泛地应用于自然、经济和金融各个领域。并且，自回归模型是最简单有用的描述资产收益的模型，是α-混合序列，基于此模型来计算无条件风险度量值在实业界有广泛的应用[14]。因此，能对AR模型进行有效估计是迫切需要的。

自回归（AR）模型是一类用来描述自然、经济和金融等领域某种时变过程的等距离散随机过程，它被广泛地应用于自然、经济和金融各个领域。自回归模型AR（p）的数学描述为：

Koenker和Bassett[19]首先提出分位数回归模型理论，随后Koenker和d'Orey[20]提出了分位数回归的有效算法，Koenker等[21]研究了分位数回归的光滑样条方法，Koenker和Hallock[22]将分位数理论引入到多元统计分析，Koenker[23]详细全面地介绍了分位数回归的理论。与传统最小二乘回归方法相比，分位数回归方法能够全面的描述随机变量之间的统计关系。分位数回归可以描述响应变量的条件分位数，而最小二乘回归只考虑响应变量的条件均值。而且由于最小二乘回归分析主要研究协变量对响应变量均值的影响，而忽略了协变量对响应变量分布尾部的影响。但在实际应用中，我们更关心研究变量的尾部特征，例如，股票市场之间的流动性，金融风险的传染性，都是用尾部相关性来描述的。因此，分位数回归方法在时间序列分析中有着更广泛的应用。关于分位数回归方法的理论研究有，Davis等[24]研究了自回归模型中误差是独立同分布时分位数回归估计的性质；Koenker和Zhao Quanshui[25]研究了条件异方差回归模型的分位数回归方法；Davis和Dunsmuir[26]针对移动平均自回归模型，研究了用中位数回归方法估计参数，并且计算了估计量的渐近性质；Breidt等[27]研究了多个时间序列模型的中位数回归估计；Koenker和Xiao Zhijie[28]研究了线性分位数自回归模型的系数，把系数拓展成与同一变量相关的单调函数；等等。关于分位数回归方法的实际应用的研究更加多，如Taylor[29]提出了利用分位数回归估计多期风险值，并研究了马克、英镑与日元汇率，发现分位数回归用于估计多期风险值具有良好的性质；Bassett和Chen[30]运用分位数回归方法对共同基金的投资类型进行了评估；关静和史道济[31]利用分位数回归方法对上证指数的VaR风险进行了度量；王新宇和赵绍娟[32]利用分位数回归方法对沪深股市进行了风险度量；陈星[33]利用分位数回归方法分析了上海期货市场以及伦敦期货市场收益率和成交量之间的关系；叶五一等[34]应用分位数回归模型及含有虚拟变量的分位回归模型分析了“已实现”波动率条件下的条件VaR风险值，并尝试从市场风险的角度对杠杆效应进行了分析；罗玉波[35]用分位数回归方法对影响房价的因素进行了分析；陈守东和王妍[36]应用极端分位数回归方法估计了我国33家上市金融机构对金融系统整体的风险贡献，并识别出了我国的系统重要性金融机构；等等。

如果考虑多个分位数可以聚集更多的有效信息，Zou Hui和Yuan Ming[37]提出了复合分位数回归（CQR）方法。对于CQR估计而言，不同的分位数回归赋予相同的权重。直观地，对于不同分位数回归给予不同的权重可能会得到更加有效的估计。因此，Jiang Xuejun等[38]提出了加权复合分位数回归（WCQR）估计，Jiang Xuejun等[39]也研究了WCQR估计方法，他们的研究表明对于不同分位数回归给予不同的权重能得到更加有效的估计。基于此，本文致力于将加权复合分位数回归技术应用到自回归模型中，探讨针对自回归模型的更有效的估计方法——加权复合分位数回归估计，而分位数回归估计和复合分位数回归估计仅是它的两种特例。

本文的第二节给出加权复合分位数回归估计方法，并阐述自回归模型的加权复合分位数回归估计的方法及大样本性质，包括权重的选择；第三节是数值模拟及实证分析部分，对中国的九只封闭式基金进行了分析，将结合WCQR方法求得的VaR风险值与用非参数方法求得的VaR风险值进行比较；第四节是本文的小结；由于篇幅所限，本文所有理论的详细证明均未列出。

2 AR模型的WCQR估计

2.1 AR模型的加权复合分位数回归估计

将Jiang Xuejun等[38]的加权复合分位数回归的思想应用于AR（p）模型，令

，则AR（P）模型的WCQR估计由下式得到：

（3）

有正的、连续二阶可导的密度函数g（·）。

定理2.1

在满足条件C1—C3时，有：

其中1=（1，…，1）'是K维列向量，ξ为一K×K矩阵，第（j，k）个元素为：

特别地，若目标函数（1）中的权重向量ω=1=（1，...，1）'，则所得到的估计为AR（p）模型的复合分位数回归（CQR）估计。记得到的CQR估计为

，在一定的条件下可以得到此估计的渐近正态性质。

推论2.1

在满足条件Cl—C3时，有：

也就是说：

推论2.2

在满足条件C1—C3时，有：

2.2 权重的选择

由定理2.1可知：

记由（2）式得到的β的估计为

。在C1—C3条件下，我们可以得到估计

的渐近正态性质。

定理2.2

在满足条件C1—C3时，有：

3 数值模拟及实证分析

3.1 数值模拟

由表中数据我们可以看到：

其中MLE具有最优的统计性质，而WCQR估计优于CQR估计和

估计，

估计最差。通过表1—3，我们可以看到在已知残差分布时，WCQR估计的性质可以接近于MLE估计，因此当残差分布未知时，我们依然可以得到像MLE一样具有优良统计性质的估计，即WCQR估计。

除此之外，由表中数据还可以看到由抽样样本算得的标准差（SD）与由理论方差算得的标准误（SE）相差不大，所以，数值模拟的结果与我们的理论推导结果是一致的。并且，我们发现各种估计，包括WCQR估计的偏差（Bias）、标准差（SD）、标准误（SE）和均方根误差（RMSE）均随着样本容量n的增大而减小，这说明各估计均是一致估计。

3.2 实证分析

本文选取了国内沪深两市上的封闭式证券投资基金作为研究对象，实证研究区间取自2005年1月7日—2013年12月31日，数据可参考《中国证券报》基金资产净值公告及Wind资讯，并通过各基金公司网站查询校对。目前，符合样本区间的封闭式基金共有九只。样本数据为周末基金累计净值，设为

，i=1，2，…，9。这样选取样本的原因是：（1）所选取的样本基金的运行时间都在八年以上，已形成各自较为成熟的投资风格；（2）为了避免外生变量的干扰，提高各基金之间的可比性；（3）所选基金的规模都比较大；（4）样本期间内，大盘逐渐走出2005年的低迷调整阶段，上证和深成指数分别从1242点和3025点向上攀升，经历了2007年的牛市，上证指数和深证成指分别冲上了历史最高点6214点和19600点，之后也经历了2008年金融危机，于2008年10月28日上证指数和深证成指又分别跌到谷底1664点和5577点，2009年初又快速复苏，曾分别达到3478点和14096点，2012年11月28日，上证再次跌破2000点，深证成指跌破8000大关，后又慢慢复苏。

收益率计算公式用基金市场的周收益率，以相邻周末的基金累计净值的对数一阶差分表示，即

首先，对样本基金数据（样本区间为2005年1月7日—2013年12月31日）进行描述性统计分析，结果见第118页表4，可以得到以下结论：从偏度来看，各基金均具有较长的尾巴，且都是偏左的，由基金周收益率的时序图也可得到相同的结论。从峰度来看，样本基金的峰度值均比正态分布的峰度要大得多（正态分布的峰度值为3），即样本基金的周收益率序列存在一个比正态分布更加陡峭的高峰，普遍存在着高峰厚尾的现象，金融时间序列的收益率往往出现这种情形。这意味着市场发生异常波动时有发生，隐含着基金具有较大的风险。此外，应用Jarque-Bera统计量检验样本基金的周收益率是否服从正态分布（JB统计量是用样本的偏度和峰度来检验样本是否来自正态总体的一种方法），样本基金的周收益率时间序列的JB统计量均非常的大，其相应的伴随概率P-值都小于0.001（我们进行的是置信水平为95%的假设检验），所以拒绝周收益率序列为正态分布的原假设，说明样本基金的周收益率的时间序列为非正态分布。因此，我们用非参数估计方法计算样本基金的VaR风险值（经验估计和核光滑估计），方法类似于刘晓倩和周勇[10]。

第一步，我们用2005年1月7日—2013年12月31日样本区间内的数据进行建模，设样本基金符合AR模型，首先对模型定阶，然后对确定了阶数的AR模型进行WCQR估计以确定模型参数，而进行参数估计时同时得到了

的估计，所以便得到了收益率的VaR风险值，结果见第119页表5。通过表中数据可以发现，与非参数估计方法相比，结合WCQR方法求得VaR风险与用非参数方法求得的VaR风险非常接近，特别是与核光滑估计方法得到的VaR值非常的类似。第二步，根据第一步用WCQR方法所建立的模型，预测2005年1月7日—2014年6月30日区间内的VaR风险值，同时利用2005年1月7日—2014年6月30日区间的真实观测值用非参数方法计算VaR风险值，部分结果见表6。结合WCQR方法预测得到的VaR值与根据真实值用非参数方法算得的VaR值非常的接近，同样是更接近于核光滑估计方法的值。所以说，结合WCQR方法可以很好地计算动态VaR风险值和预测资产收益的VaR风险值。