数学等值概念获得的过渡性学习者认知发展的实验研究，本文主要内容关键词为：过渡性论文,学习者论文,认知论文,实验研究论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分类号 B844.1
1 问题的提出
近些年来，学习理论的核心任务之一就是探究过渡性学习的心理机制及其发展进程，因为过渡性学习者的各种认知特征才是理解学习行为的一把钥匙[1]。所谓过渡性学习，一般地，即指由使用错误规则（策略）向使用正确规则转变的认知发展过程；从某种意义上也可定义为边缘性学习、学习的准备。即过渡性学习者并不充分了解某类问题的本质属性。
目前，从事这方面研究的主要代表人物有美国心理学家Perry、Martha等人。他们围绕着加法等值概念获得这一课题，为过渡性学习的研究提供了相当有价值的资料[1-3]。他们发现，在要求对作业行为的执行情况作出解释时，过渡性学习者频繁地在言语解释的同时伴有明显的手势语，而这些手势语往往表征着关于作业本身的真实信息。同时，手势表征的信息可能与言语表征的信息相同，这种情况称作“言语－手势匹配”；也可能与言语表征的信息不同，这种情况叫做“言语－手势失匹配”。这表明可能对同一问题而言，他们同时思考着一个以上的策略。
由此，Martha和Goldin-Meadow提出“多重策略共时激活”理论，认为可以将多重策略（假设）的共时激活确定为过渡性学习的心理机制。针对数学等值概念的获得，这种理论把言语－手势失匹配现象作为多重策略共时激活的行为表征，认为在解决由数学等值概念构成的具体问题时，言语－手势失匹配是与过渡状态同时发生且紧密关联的一个基本的认知特征，因而可以将之作为甄别过渡性学习者以及描述其认知进程的重要指标。
为了检验上述观点的外推性，本文针对中国被试就数学等值概念的获得处于过渡性学习状态下的认知特征及其发展过程进行了实验研究，以期探讨具有普遍意义的区分过渡性学习状态的心理表征及认知发展的一般规律，为小学数学教学提供一点参考。
本实验由两个子实验构成。
2 实验1
2.1 方法
2.1.1 被试
实验选择西安市陕西师范大学附小二年级在校学生作为初选被试样本（Martha和Goldin-Meadow在研究中的初选被试样本为四年级美国学生），这样做是由于在准备实验中发现初选被试样本中80%以上不完全理解实验中设置的加减法等值概念作业。经过预测所做的一些处理（详见后文“预测”部分），共获得包括37名手势者（其评定标准是：如果儿童在对10个问题的解答过程中出现手势的次数等于或超过6次，则可确定是手势者；反之则叫做非手势者）在内的88名被试。然后在保证每组必须拥有12名手势者的前提下，将所有被试随机分为三组：第一组31人，其中手势者12人；第二组30人，其中手势者12人；第三组27人，其中手势者13人。在此基础上，指定第一组为实验组1（该组在实验的训练阶段接受加减法等值概念的教学指导）；第二组为实验组2（该组在实验的训练阶段接受加减法等值概念的数学指导）；第三组为控制组（不接受有关指导）。这里需要说明两点：第一，关于择定手势者、非手势者的实验意图。为了确证Martha等人提出的手势效应（言语－手势失匹配者即为过渡性学习者，这种人在接受指导后极易发生认知结构的跃迁），首先得确定言语－手势失匹配者可能存在的被试群——手势者以及非手势者；第二，关于被试的分组问题。之所以要区分实验组1和控制组，目的在于比较实验处理的效果是否显著，进而更好地观测过渡性学习者的认知特征及其认知发展进程；确定实验组2的目的在于通过与实验组1就减法等值作业绩效的比较来检验儿童是否在成功解决加法等值问题的同时掌握了该概念，并对其本质属性——等值——达到了一定的抽象概括水平，因而可就其它属于自身数学计算能力（或知识）范围之内的数学等值问题具备一定的处理能力。
2.1.2 材料
录像机和录音机各一台。用以笔测的同质数学测验题三套，写有数学测验题的硬纸卡片10张（每张只写一道题目）。其中，三套数学测验题均匀括14道加减法填空题（6道形如"3+4+5=( )+5"的“同因子加法等值填空题”；4道"3+4+5=( )+7"的“异因子加法等值填空题”；4道形如"13-4-5=( )-5"的减法等值填空题。10张硬纸卡片上的试题包括6道同因子加法等值填空题和4道异因子加法等值填空题。卡片上之所以没有减法题，原因在于本实验的主要目的是探究加法等值概念获得中过渡性学习者的认知特征及其变化这一问题。测题中减法题比例较小也是出于同样的考虑。
2.1.3 实验者
共有三人。其中主试一人，负责主持实验。助手两名，其中一人负责随时笔录并事后整理被试对问题的言语解答内容的录音，另外一人则负责观察和整理被试手势使用情况。
2.1.4 方法与步骤
(1)预测
预测包括两个步骤：
①笔测
随机抽取三个二年级班级共168名被试作为初选被试群，笔测实验前告知被试将作一套加减法测验题，各包括14道填空题，要求在充裕的时间（45分钟）内完成。然后将测题写在黑板上请被试努力答题。规定时间到了后，实验者统一收取写有被试姓名、性别、班级和年龄的答案纸。测验结束后，实验者对被试的作业进行评定，其评定标准（又称成功表征）为：
Ⅰ做对8道加法等值填空题的被试表明已准确理解该概念，称作“加法问题成功者”；
Ⅱ做对3道减法等值填空题的被试表明已准确理解该概念，称作“减法问题成功者”。将达到Ⅰ或Ⅱ标准之一的被试予以排除，即得到145名被试。
② 问题解答
对笔测后保留的145名被试一个个地出示10张硬纸卡片，要求每位被试说出每道题的答案及解题思路或方法。出于经济原则，最后择定包括37名手势者在内的88名被试作为实验对象，并将之随机分入如前所述的3个被试区组中。
(2) 训练
该环节包括两个步骤
① 训练（即指导）
对实验组1和实验组2分别就加法等值概念和减法等值概念进行针对性的教学指导（讲课），即在解析具体试题的基础上对被试讲解等值概念的内涵，并将被试对问题作出的反应予以及时反馈，加强他们对等值概念的理解。
② 问题解答
对三组被试分别呈现硬纸卡片上的问题，要求他们一一作出解答。在被试解答问题的过程中，详细记录被试的解题方法和手势的使用情况，特别是要对言语－手势失匹配状况进行整理和记录。
(3) 后继测验
训练结束后立即对所有的被试予以笔测，测题为内容与预测时雷同的14道加减法填空题，然后对其作业成绩加以评估。
(4) 跟踪测验
后继测验结束两周后，对被试再进行笔测，其内容与后继测验相似，并对被试的作业成绩予以评估。
2.2 结果与分析
2.2.1 被试的解题策略、认知状态及认知发展路径
(1) 解决加法等值问题的策略
通过对被试言语解答录音的整理，发现被试表现出表1所列的六种典型策略。其中，策略1、2、3是正确的解题策略，4、5、6为错误策略。
表1 言语表征程序及与之匹配的手势表征（加减法等值）
（引发诸表征的数学问题是：4+6+9=( )+9）
程序(策略)类型
言语表征
(与之匹配的手势表征)
1.归类法9在那儿,因此我把4和6加了起来,得10。
手指向等号左边的4,6,9、停顿，再指向括号。
2.加－减法
我把4,6,9加起来等于19,为了让两边相手指向等号左边的4,6,9、停顿，再指向右边
等,因此答案是10。
的9，再指向括号。
3.相等法4加6加9等于19,因为为了让另一边等于手迅速擦过题目,指向右边的9,最后指向括号。
19，所以答案是10。
4.全加法我把4加6加9再加9得28这个数字填到了手指向等号左边的4,6，指向等号左边的9和右
括号里。
边的9，最后指向括号。
5.一侧求和法
我把4加6加9得19这个数字填到了括号里。 手指向等号左边的4,6,指向等号左边的9,最后
指向括号。
6.移数法没有另外那个4，所以我把4填到了括号里。指向等号左边的4，再指向括号。
(2) 被试的认知状态类型
实验中发现被试在加法等值概念获得过程中的认知状态有三种类型：
① CI型(concord incorrect state)
具有这种认知状态的儿童在解答等值概念问题时只采用一种单一的不正确认知策略，因而表明他对概念的理解尚处于整合的不正确状态，即完全不理解概念。在手势与言语相互关系问题上，此类儿童有两种趋向：要么伴随有与其言语表征策略相匹配的手势，要么无手势出现，且后者更为明显。
② D型(Disconcert State)
处于这种认知状态的儿童在解决问题时往往因测题的具体形式而表现出使用正误兼具的解题策略。即对低水平的测题（同因子题）使用一种固定的正确策略，而对异因子题则采用了几种错误策略。D型被试一般在表述正确策略时思路流利，或者伴随有与之匹配的手势或者没有手势；而在表述错误策略时思路则显得混乱反复，手势使用频繁而无序。
③ CC型(concord correct state)
此类儿童对同一问题使用了一个单一却正确的策略，因而达到整合的正确状态。他们一般在言语表述的同时伴有十分流畅的与之匹配的手势语。
(3) 被试的认知发展路径
根据被试在实验的不同阶段所处的认知状态的变化，实验者整理出下述四种认知发展路径（见表2。）：
路径1：渐进式发展路径
这种路径是由较低的某一认知状态向相邻的较高认知状态的正向迁移（发展）进程，包括"CI-D"和"D-CC"两类。
路径2：飞跃式路径，即指由CI直接飞跃到CC的历程。
路径3：滞留式路径
这种路径用以描述训练前后被试认知状态没有变化的认知发展进程，它包括"CI-CI"和"D-D"两类。
路径4：退行式路径
这种路径用以描述由较高的认知状态退步到较低的认知状态的儿童，本实验发现仅有"D-CI"一类。
2.2.2 两种成功类型的统计分析
实验者在检验有关成功解决加减法等值问题所表现出的组间差异时，发现实验组与控制组之间存在显著差异
* p是"post test"的缩写，指后继测验；f是"following test"是缩写，指跟踪测验；"1"指实验组1；"2"指实验组2；"3"指控制组；“加”指加法测验；“加减”指加减法测验。以下类推。
这说明在得到适当的教育指导后，原本对加法等值概念的理解十分贫乏的被试比较容易掌握该概念。同时更说明被试在完成加法等值概念作业后，对等值概念的含义基本上有所掌握，以致于对减法等值概念所产生的知识迁移程度丝毫不逊于专门指导所导致的作业绩效。
2.2.3 被试认知状态及发展路径的统计分析
训练前三组被试不同认知状态的人数分布明显无差异；而训练后，实验组之间无显著差异(X[2]=1.389,P＞0.05)；但是各实验组与控制组之间则存在显著差异(X[2,1-3]＞20.928,P＜0.001,X[2,2-3]=30.110,P＜0.001)。这表明训练后，实验组与控制组之间发生了质的差异，即在同等基础上接收指导与否会出现两类差别很大的结果。
就渐进式路径而言，对于路径"CI-D"，实验组与控制组之间有显著差异(X[2]=7.881,P＞0.005)，而实验组之间则无差异(X[2]=1.224,P＞0.05)；就"D-CC"来看，实验组之间以及实验组与控制组之间均无差异(X[2]=0.0001,P＜0.05;X[2]=1.8721,P＞0.25)，这说明训练以后，指导组较控制组倾向于发展到D状态。同时，鉴于此类路径人数较少，统计意义不大，因而实验者认为它不是被试的典型表现。
就滞留式发展路径而言，"CI-CI"型实验组之间无差异(X[2]=1.2224,P＞0.05)，而实验组与控制组之间则有显著差异(X[2]=23.093,P＜0.001)，说明控制组绝大多数被试在实验中处于滞留状态，而实验组发生了较大变化。就"D-D"路径来看，三组被试几乎不存在这种发展路径，说明处于D状态的儿童容易发生变化，其认知状态不太稳定，在接受适当输入信息时便会产生认知结构的跃迁，因而表明D型被试处于过渡性学习状态。
对退行式路径来说，实验组与控制组之间有差异(X[2]=7.244,P＜0.01)，而实验组之间明显无差异。由此可见，实验组被试的认知状态不可能发生负迁移现象，而其认知状态的改善较为明显；与之相反，控制组被试则容易出现认识上的倒退。
而飞跃式路径仅仅存在于实验组且人数很少，因而没有统计价值，这说明就加法等值概念获得而言，被试认知状态变化的总特点是渐进的而非飞跃的，一般要经历D状态——过渡性学习状态。但当给予适当的指导后，一部分被试便会出现认知的飞跃（见表）。
2.2.4 手势者测验指标的变化
实验结果表明，就手势者的加法成功人数分布而言，
上述结果表明，与非手势者相比，在整体上，手势者更容易在得到指导后发生认识上的质变，从而选择正确的解题策略。
对于各组被试中的手势者训练前后所形成的各种认知发展路径而言，
这表明手势者在指导后亦发生认知变化，而未受指导其认知变化则不太明显。
2.3 讨论
实验表明，对于学习加法等值概念的被试而言，一般要经历由同时存在几种相互抵触且正误兼具的解题规则所导致的认知结构的暂时性混乱、而这种混乱状态却能使其认知结构得到可能性改善的学习阶段—过渡性学习阶段。其具体表现（或认知特征）就是前文中对D型被试的界定。最后在针对性指导或得到恰当信息后终于掌握了一种正确且充分的规则。同时，这种认知发展进程是渐进的而非跳跃性的。
处于数学等值概念的获得过渡性学习状态者可以初步定义为拥有一系列正误兼具的问题解决策略。他们（D型被试）对较低难度的测题趋向于使用一种固定的正确策略，而在解决难度较高的测题则往往采用另一些错误的解题策略。这类被试无论是否接受专门指导，都易发生认知状态的变迁；只不过接受指导后极易跃迁到CC状态，而未接受指导则易出现作业绩效的反复。与此相反，CI型被试则总体上倾向于滞留在原有的认知水平上。
此外，本实验部分地验证了在加法等值问题解决中可能存在的手势与言语表征之间的关系效应，发现手势者在一定程度上较非手势者在学习中处于比较活跃的思维状态，其作业成绩及认知结构的发展优于非手势者。只是由于实验中所发现的处于D状态的手势者人数偏少，因而不能从统计上推断出“言语－手势失匹配”是判定被试是过渡性学习者这一论点。有鉴于此，实验者又就乘法等值概念获得对此进行了探究。
3 实验2
为了进一步验证实验一的有关结果，实验者又对乘法的获得问题进行了实验研究，以期对数学等值概念获得中的过渡性学习者的一般性认知特征及其可能的认知发展进程这一问题产生比较明晰的认识，进而更好地揭示过渡性学习的心理机制及其在学习中的作用。
3.1 方法
3.1.1 被试
将不能成功解决实验设置的乘法等值概念问题的西安市大雁塔小学二年级学生29人（含手势者15人、非手势者14人）作为实验组，在训练阶段对他们进行针对性教学指导；陕西师大附小二年级同类学生30人（含手势者15人，非手势者15人）作为控制组，对他们不给予任何实验处理。
3.1.2 材料
与实验1大致相同，只是测题换为乘法题。
3.1.3 方法与步骤
与实验1大致相同，只是没有进行跟踪测验。同时，被试评估标准（即成功标准）与实验1的“标准I”一致。
3.2 结果与分析
3.2.1 被试的解题策略、认知状态及认知发展路径
(1) 解题策略类型
实验者发现，可能有五种典型策略（见表3）。其中，策略1、2、3为错误的解题策略，策略4、5为正确的解题策略。
(2)认知状态及路径（见表4）
本实验发现被试的认知状态及可能性认知发展路径类型与实验1基本相同。在此基础上，实验者首先比较了各组被试训练前后认知状态的组间差异，发现训练前无差异而训练后有显著差异(X[2,前]=0.892,P＞0.05;X[2,后]=25.282,P＜0.001)，说明两组被试就接受指导与否发生了质的差别。具体地，实验组在训练后消除了CI状态，其D状态的变化也比较明显(D[,前]:D[,后]=11:20)。由此可见，接受指导易引起认知状态的积极变化，否之则认知状态基本上没有改变。
而实验组与控制组在各种认知路径上的人数分布均有差异。
其中，实验组在训练后产生的认知发展路径基本上是渐进的，控制组CI被试总体上仍滞留在原有的认知水平而无甚进展。值得注意的是，"D-D"路径不太典型且无组间差异，这说明D型被试趋于变化而无论是否接受指导。
3.2.2 手势者与非手势者实验指标的比较
实验比较了训练前后手势者人数分布的变化，发现没有出现差异(X[2]=2.132,P＞0.05)。在此基础上，实验又比较了训练后实验组中手势成功者与非手势成功者的差异，发现二者无差异(X[2]=0.247,P＞0.05)。由此可见，就乘法等值概念获得而言，手势的使用并不能说明被试的思维处于活跃状态，更不能利用手势与言语之间的关系来判定被试的学习状态。
3.3 讨论
本实验基本上验证了实验1的主要结果。但是却发现手势者与非手势者在实验的诸项指标上不存在差异，即手势与言语的关系不能对乘法等值概念学习者的认知状态作出任何定性说明，因而没有验证Martha等人所倡导的“手势－言语失匹配”现象是数学等值概念过渡性学习者的行为表征这一观点。因此，实验者认为，就乘法等值概念的获得而言，手势基本上对儿童的思维不会产生什么影响，它已不再成为直接观测到的与儿童的认知活动的发展变化密切相关的客观指标。
表3 言语表征程序及与之匹配的手势表征（乘法等值；单位：人数）
（引发诸表征的数学问题是：2×3×8=( )×4）
程序(策略)类型
言语表征
(与之匹配的)手势表征
①移项法
左边有个8，把8填在括号里
指8，指括号。
1.移值法
②移积法
2乘3得6,这面有8,那边有4,所以填6 手指向等号左边的2、3,指8,指4,指括号。
2.总数因 ①全乘法
2乘3乘8得48,再把48乘这边的4得192, 指2、3、8(或眼睛扫过),指4,指括号。
子混淆法
将它填在括号里。
②单侧求积法 2乘3乘8得48，将它填在括号里。
指2、3、8，指括号。
3.部分叠加法 2乘3再加上8等于14,这儿有个4,所以
指2、3、8，指4，指等号，指括号。
填10。
4.顺向推 ①乘－除法 2乘3乘8得48，两边要相等,所以用48 指2、3、8，指等号，指4，再指括号。
进法 除以4，得数是12。
②相等法
2乘3乘8得48,两边要相等,这儿有个4, 指2、3、8，指等号，指4，再指括号。
12乘4得48，所以填12。
5.位置抵消法 这儿有个4,这儿有个8,8除以2得4,2乘 指向等号左边的4、8，再指8，指2、3、
3乘2得12，所以填12。
8，指括号。
4 总结
本实验没有验证Martha等人提出的手势效应，这可能与两个实验的被试差异有关。前者甄选出的是美国小学四年级学生，而我们却发现我国四年级儿童早已掌握了数学等值概念，只有二年级学生的作业行为才比较符合他们的实验要求[4]。这种情况可能与中美儿童在计算能力、数学策略模式的熟悉程度、检索加工速度、数学工作记忆容量以及守恒概念形成等方面的差异有关[5～7]。此外，在关研究发现，美国儿童在解决数学问题时较长时期内惯用手指辅助运算，而中国儿童则趋向于使用言语[5]。因而在中国儿童身上，Martha等人发现的手势—言语关系现象与过渡性学习状态之间不存在密切关联。
另外，仅就等值概念问题结构而言，等号表征是问题表征的核心。对它的理解可能在很大程度上左右着儿童正确解决等值作业的能力。纵现本实验中被试所表征的解题策略，我们不难看到：正确的解题策略包括对等号的正确理解与表征，而错误策略中的等号表征则比较模糊、歧义。因此，实验者以为有必要在今后的研究中就儿童对等号表征状况来探究数学等值概念获得的认知模式的变化及其发展进程。
最后，数学等值概念是一类很重要的概念，它蕴含着极其丰富的方程思想，是解决简易方程问题的思维基础，是培养儿童数学思维能力的很有作用的概念。目前我国的小学数学教育尚缺乏这方面的教学内容，应加强这方面的研究与教学实践。
5 结论
(1)就数学等值概念的获得而言，过渡性学习者一般表现为已拥有正误兼具的多重策略，只不过对于难度较低的作业趋向于使用一种正确策略，而在渐进较高难度的作业时往往比较混乱地使用着一种以上的错误策略。
(2)过渡性学习者无论是否接受教学指导，都会发生认知状态的变化而非滞留在原有的认知水平上；只不过指导后极易掌握概念，而不予指导则其作业成绩极不稳定。
(3)就数学等值概念的获得而言，过渡性学习阶段是必然要经历的重要的学习阶段；其总的认知发展特点是渐进而非飞跃的。手势－言语失匹配现象可能不是过渡性学习者必然的认知特征。