“鸡兔同笼”问题的解法，本文主要内容关键词为：解法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“鸡兔同笼”问题最早见于《孙子算经》，至今一直为人们所喜闻乐见。作为小学数学应用题中的一类重要问题，是智力训练的好问题，古今中外许多人都对它的解法作过研究，可以说它的解法已“箩成筐”了。
“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？
1.鸡兔共35只，它们不可能全是鸡，因为那么一来它们将只有70只脚了，它们也不可能全是兔子，因为那样就将有140只脚。 但是它们应该恰好有94只脚。如果正好有20只鸡，15只兔子， 那么它们就将有100只脚，列表如下：
鸡兔脚
350 70
0 35140
2015100
如果把鸡的数目取小一些，那么必须把兔子的数目取大一些，而这就使得脚数增大了。反之，如果把鸡的数目增加一些，那么兔子的数目就减少一些，而这就使得脚数减小了。根据脚数随鸡数变化的规律，23只鸡和12只兔子，恰好有74只脚。
以“探索”为特征的这种逐次逼近的解法，由一系列的试探组成，其中每一次都企图纠正前面一次所带来的误差，整个说来，误差随着进一步的试探而减少，而依次进行的试探则越来越接近于所要求的结果。当然数字较大或较为复杂时，用这种方法求解，就需要实验多次。教师应该鼓励学生巧妙地应用逐次逼近这种基本的方法。
2.孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。下有一除上三，下有二除上五，即得”。按其所述，在筹算板上的演示过程如下：
翻译成算术方法就是：
兔数 （94÷2）－35＝12
鸡数 35－12＝23
美国杰出数学教育家G ·波利亚对这种解法创设了教学情景：意外地看见笼中的禽畜正在作一种古怪的姿式，每一只鸡都用一条腿站着，而每一只兔子都用其（两条）后腿站着，在这个不寻常的情况下，只用了半数的腿，即47条腿。在70这个数目中，鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次，从47这个数减去所有头数35，就剩下兔子的头数了。当然，鸡的只数可立刻求出。
这种解法是巧妙的，但它需要清晰地掌握题中的数量关系，不是所有学生都能理解的。
3.第一种解法是假想这35只都是鸡或兔，思路虽然巧妙，却使学生想不通：明明有鸡有兔为什么假设只有一种呢？第二种解法巧妙而有趣，但其出发点仍似天外飞来，不易使全体学生掌握。张景中院士独具匠心，他从学生的常识出发，自然地引出了解答。
先问：“兔有四只脚，为什么鸡只有两只脚”这岂不是太不公平了吗？”
经过思考，学生会找到理由：“不是不公平，鸡还有两只翅膀呢！”
问：“如果翅膀也算脚，总共该有多少只脚？”
这容易回答：35×4＝140，140只脚。
“但题中翅膀不算脚，只有94只脚，可见有多少翅膀呢？”
“140－94＝46，46只翅膀！”
于是学生兴奋地喊出来：“23只鸡！”
这种解法，每个学生都能立即理解，即使不再复习，半年后他们仍能回忆起来。同时这个例子告诉我们，要充分利用学生认知结构中已有的知识去创设问题情景，这样有利于学习中的正迁移的发生，能促进新知识的掌握、巩固和应用。
4.把数量关系问题和图形结合起来考虑，借助于图示的鲜明直观性，帮助学生理解题目中的数量关系，适合小学生的思维特点，是小学数学教学中的一贯作法：
根据题意作出图示：
由图示可以看出：兔数＝（94－35×2）÷2＝12（只），鸡数＝35－12＝23（只）
5.设笼中有x只鸡，则有（35－x）只兔，根据题意，得2x+4（3
5－x）＝94解之，得x＝23（只），35－23＝12（只）。
推广，若以h代替35，f代替94，得到这类问题的求解公式：
f f
兔数＝──－h，鸡数＝2h－──，即：兔子数等于脚数的一半减头数，
2 2
鸡数等于头数的两倍减去脚数的一半。
这种解法比较简单，小学五（或六）年级的学生都能掌握。
6.盈不足算法是我国古代解决算术应用题的基本方法。对于“鸡兔同笼”问题，可以通过两次假设，试算，化归为盈不足模式，然后套用现成的公式演算。
假设笼中有x[,1]＝20只鸡，则有兔15只，得脚100只，则知盈（多出脚数）y[,1]＝6；假设笼中有鸡x[,2]＝25只，则有兔10只，得脚90只，则知不足y[,2]＝4。
于是有盈不足算法；鸡（x[,1]y[,2]+x[,2]y[,1]）÷（y[,1]+y[,2]）＝（20×4 +25×6）÷（4+6）＝23（只）或兔（15×4+10×6）÷（4+6）＝12（只）。
“盈不足术被阿拉伯人称为中国算法，它是以特定的数学模型来处理一大类应用问题的方法，在指导数学课外活动小组活动时，介绍这种方法，既开阔了学生的视野，又能增强学生的民族自尊心和自豪感，激发学生的爱国热情。”
7.假设有20只鸡，15只兔，那么就会有（20×2+15×4＝）100 只脚，比实际多出了（100－94＝）6只，这是因为把鸡看成兔，每只多算了2只脚，共把（6÷2＝）3只鸡看成兔，加上原来的20只鸡共有23只鸡，12只免。
这种先在假设的条件下推算，得出与已知数量不符，最后再适当调整的方法，是小学数学教材教法第一册第一章中整数四则应用题特殊解题思路部分介绍的，是小学数学教师应该了解的方法。