例谈数学实验问题的设计——以数学活动《折纸与证明》为例，本文主要内容关键词为：数学论文,为例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
初中数学实验教学是指在初中阶段，根据国家课程标准、学生认知水平及教学思想发展的脉络，创设恰当的问题情境，利用合理的实验手段，引导学生从直观现象到发现、猜想，然后给出验证及理论证明，使学生亲历数学建构，逐步掌握认识事物、发现真理的方法，并以此来培养学生的创造能力，提高学生的数学素养的数学教学形式。
如何设计和组织数学实验教学，让课堂切实达到提高学生学习兴趣、培养学生能力的目的，是苏科版教科书教学的一个重点和难点。首先必须面对的是教学设计，教科书只给教师提供了必要的基本素材，留给了教师广阔的设计空间。教师要结合学生的具体情况，恰如其分地进行加工、改造和设计，让学生在亲历体验的过程中发展能力、感悟过程与方法。
在教学设计中，数学实验问题的设计显得尤为重要，为了提升数学实验活动的指向性和有效性，所设计的实验活动问题须具有“三性”：
其一，层次性。要充分考虑到不同层次学生的学习基础，不要“一步到位”和“一刀切”。对于不同层次学生要有不同的要求，通过动手实验，小组交流，同学间可以得到相互弥补、借鉴，相互启发、拨动，形成立体、交互的思维网络，往往会产生1+1≥2的效果，使不同层次的学生在数学实践活动中都有所收获。
其二，开放性。目的是改变学生的学习方式，给学生创设动手、动口、动脑合作交流的氛围，使他们通过小组活动，表现出创造性、想象力，增强与他人合作的意识。
其三，探索性。要有利于学生自主参与，与他人合作交流。因此，该问题能否激发起学生的探究欲望，能否让学生更深入地挖掘出问题深处的内涵，能否促进学生对问题进行重新思考从而提出新的问题，这是实验活动教学是否有效的关键。
苏科版义务教育课程标准教科书一个重要的理念是注重引导学生“做”数学。在每一章教学内容的最后都设计了一个与本章内容结合紧密的数学活动，学生可以从数学活动中经历操作、合作、探索、交流的学习过程。教师可以充分利用这一素材来丰富课堂教学，本文以苏科版教科书九年级（上册）第一章《图形与证明》为例进行探讨。
一、教科书活动内容
苏科版教材九年级（上册）第一章《图形与证明》中安排了一节数学活动课《折纸与证明》，通过简洁的描述配以图片，提供了三个数学活动的素材：
(1)用一张长方形纸片折一个正方形；
(2)用一张正方形纸片折等边三角形；
(3)用纸条折一个正五边形。
二、设计前的准备工作
九上教科书第一章《图形与证明（二）》在八下第十一章《图形与证明（一）》的基础上，继续从5个基本事实出发，证明本套教科书前四册探索并获得的有关三角形、四边形的一个又一个结论的正确性。章末安排的数学活动《折纸与证明》选取了3个折纸活动，并通过证明来说明操作的合理性，再进一步引导学生体会人们在探索和认识事物的过程中，常常需要交替地进行合情推理和演绎推理，它们是相辅相成、密不可分的。
有了以上的分析和认识，就容易进行三维目标的定位。
知识与技能目标：
(1)经历操作证明的过程，进一步激发对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系；
(2)进一步发展合乎逻辑的思考和有条理的表达能力。
过程与方法目标：在活动过程中培养探究意识与合作交流能力。
情感态度与价值观目标：经历克服困难和取得成功的过程，增进应用数学的自信心。
教学重点：
(1)培养学生的动手能力和创新意识；
(2)通过证明说明操作的合理性。
教学难点：通过证明说明操作的合理性。
教学准备：以6～8人为一组，长方形纸片（16开）若干张，剪刀、刻度尺、量角器。
三、教学设计
课堂导入
同学们，你们一定做过折纸游戏吧！折纸飞机、纸船、纸葫芦、纸鹤等不仅很有趣，而且其中也充满了智慧和挑战。由于折纸里面蕴含着许多的数学知识和数学道理，今天我们就尝试完成几个折纸操作，并用我们所拥有的数学知识来说明操作的合理性。
设计意图：开门见山，直奔主题——折纸与说理。
实验活动
活动1 用长方形纸片折一个正方形（如图1所示）
图1
(1)折叠与度量
①折叠长方形，使点B落在边AD上点E处，得到折痕AF；
②沿EF折叠，然后把纸展开得四边形ABFE。
③度量四边形ABFE，验证它是否为正方形？
思考与表述 你能通过说理的方法来证明四边形ABFE是正方形吗？说说看！
设计意图 用长方形纸片折一个正方形，以前的课堂教学已有相关的涉及，学生解决起来应该没有难度，但要有条理的说明其中的道理，需要认真的思考和组织。此活动面向了绝大多数的学生，以激发他们参与实验活动的积极性和热情。
预设答案 由折叠可知AB=AE，∠AEF=∠B，又四边形ABCD是矩形，所以∠AEF=∠B=∠BAE=90°，所以四边形ABFE是正方形。
(2)将四边形ABFE剪下，并与小组的其他同学交换
你能通过折叠的方法来验证手中的四边形纸片ABFE是正方形吗？试试看！
设计意图 通过延续和连续的实验操作，让学生在熟悉的活动背景里操作、观察、猜测、说理。通过对一张纸片的折叠活动，探讨其中蕴含的数学原理与规律，对学生来说是一种快乐的活动，在愉悦中学习、交流、发现和创造，体现了数学实验教学的魅力。
预设方案 一个既是矩形又是菱形的四边形是正方形，正方形的对称轴共有四条，即两条对角线所在的直线和两组对边中点的连线所在的直线。因此，第一步：将纸片沿一组对边中点所在的直线对折，看另一组对边是否重合，再用同样的方法判断第二组对边是否重合，分别如图2、图3所示。若不能重合，说明纸片的四个内角不相等，那么纸片肯定不是正方形；若能重合，还不能断定纸片是否为正方形（因为此时只能断定纸片是矩形），还需要进行第二步检验。第二步：将纸片展开平整，拉起一组对角，检验纸片的两组邻边是否分别重合，分别如图4、图5所示。若能重合，则该纸片是正方形，反之则不是。
图2 图3 图4 图5
活动2 用长方形纸片折一个菱形
(1)折叠与度量
①你能用手中的长方形纸片折出一个菱形吗？试试看！
②你能通过度量验证所折出的纸片是菱形吗？做做看！
思考与表述 你能用说理的方式来证明所折出的纸片是菱形吗？说说看！
设计意图 本实验问题尽管没有如同“活动1”那样给出了折叠示意图，但鉴于前面的操作和说理，学生没有了陌生感，增加了解决问题的信心，不同层次的学生必然会有不同的想法和折法，可以让不同层次和能力的学生都有展现的机会。整个问题串的设计是让学生在“直觉——尝试——思考——猜想——证明”过程中经历结论的探究和说理，从中获得学习数学的体验。
预设方案 本题学生应该能想到的两种折法，第一种（如图6所示）是将长方形纸片ABCD分别横竖各对折一次，可得到四边的四个中点E,G,F,H，则四边形EGFH就是所折出的菱形；第二种（如图7所示）是先折出长方形纸片的对角线BD后展开铺平，再翻折纸片，使得点D与点B重合，得折痕EF，则四边形EBFD就是所折出的菱形。此时教师可引导学生观察分析图6、图7的折叠的本质：通过对角线互相垂直平分而得到菱形，以期让学生能发现更一般的折法：如图8，先折出矩形纸片ABCD的中心点O，再翻折纸片，使得折痕GH经过点O即可；如图9，将纸片展开平整，再翻折纸片，使得点G与点H重合，得到折痕EF，则四边形EGFH就是所折出的菱形。不难看出，图6、图7中折出的菱形是按图8、图9的折法所折出的两个特殊位置的菱形而已。
图6 图7
图8 图9
(2)你能比较图6、图7所折出的两个菱形，哪一个的面积更大些？说说你的理由！
设计意图 折纸活动本身就很有趣，通过折纸来探索折痕或者图形内藏的性质来学习数学对学生更具吸引力。本节课的重点是通过操作而引发探究，进而合乎逻辑地思考和有条理地表达。问题的解决方法：一种可以由具体的度量并加以计算解决，另一种则通过纯粹的说理即可解决，这样可以让学生感受到合情推理和演绎推理相辅相成的关系。
预设方案 方法1：度量法。由于两个菱形都是在16开的白纸上折叠而成，所以通过度量出各自菱形的底和高（或两条对角线的长），计算出面积，即可比较。
方法2：说理法。图6中菱形的两条对角线长分别等于矩形的两边的长，而图7中菱形的两条对角线的长分别大于矩形的两边长（斜边长大于任一直角边长），显然图7中的菱形的面积大（菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半）。
活动3 用正方形、长方形纸片折一个等边三角形
(1)折叠与度量
①取出“活动1”中的正方形纸片，你能折出一个等边三角形吗？试试看！
②度量折出的三角形，验证它是否是等边三角形？
思考与表述 你能用说理的方式来证明所折出的三角形纸片是等边三角形吗？说说看！
设计意图 该实验操作的难度不大，可以让更多的学生“英雄有用武之地”，实验问题设计只是一种示范和引领，经历解决问题的方法，积累发现问题、提出问题、解决问题的经验。
图10
(2)折叠与度量
①取出矩形（16开）纸片一张，你能折出一个等边三角形吗？试试看！
②度量折出的三角形，验证它是否是等边三角形？
思考与表述 你能用说理的方式来证明所折出的三角形纸片是等边三角形吗？说说看！
设计意图 折纸实验中的每一个结论都是在反复翻折中获得的，每一个提供给学生的问题又都是要求学生动脑动手去解决，活动的展开过程中所得出的结论或结果往往具有曲折性、借鉴性和创造性，体现数学课堂是再发现、再创造的过程。由于教科书用示意图展示了折叠的过程，所以促发了学生为解决问题而研读教科书，降低了学生操作和思考的难度。德国教育家第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在激励、唤醒、鼓励”，唤醒学生的求知欲，把思考权、质疑权和主动权交给学生，让每个同学在参与中学会学习、学会合作、学会交流。
图11
课堂小结
同学们，本节课我们用矩形纸片折叠出了常见的正方形、菱形、等边三角形，初步感受到证明的必要性，感受了合情推理和演绎推理的相辅相成的关系。
课本上还给出了“用纸条折一个正五边形”的方法，希望同学们能够继续操作和探究，破解折法中所蕴含的数学玄机和奥秘。
设计意图 “用纸条折一个正五边形”，其操作和说理颇有难度，不宜放在课堂上实验操作和说理《建议苏科版教材考虑修改或更换》，故留作课外作业，可以让学有所长的学生继续学习和钻研。
四、小结
本节课以系列的折纸和说理活动为主线贯穿数学实验课堂的始终：“活动1：用长方形纸片折一个正方形”设计的实验问题定位于学生参照已给出的折法折出图形，度量并判断图形的形状，再设法通过说理的方法来说明操作和判断的合理性，目的是唤起绝大多数学生参与实验操作和说理活动的热情和积极性，也为下一个实验活动做出了操作方法上的铺垫。“活动2：用长方形纸片折一个菱形”的实验问题要求学生在没有折法可参照的前提下去折出相应的图形，再用说理的方法去说明操作和判断的合理性，这样的折纸的难度、操作和说理的难度均有所增加，体现了实验问题的层次性。由于个人的知识水平和能力结构不同，解决问题的思路和方法就可能不同，问题的设计又呈现了探索性，再结合折出菱形面积大小判断的问题思考和解决，更加体现了实验问题的开放性和探索性。这样的问题设计符合了学生的好奇、探索的心理特点，满足了学生的动手动脑、亲身参与、自己作决定等心理需求，能充分调动学生的积极主动性，从而充分发挥学生的主体作用并培养学生的主动精神。“活动3：用正方形、长方形纸片折一个等边三角形”中，从正方形纸片中折出等边三角形到长方形纸片折出等边三角形，学生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质；运用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去发现问题、分析问题和解决问题，设计的实验问题充分体现层次性、开放性和探究性，较好地引导学生的思维从表象到本质、从操作到说理、从合情到演绎，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。
著名数学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏”，显然“问题也是数学实验教学的心脏”，精心设计的实验问题可以激发学生学习数学的兴趣与求知欲，将学生的数学探究一步步引向深入。学生在实验的探索过程中，通过预测、猜想、检验、讨论、概括、总结、应用等学会了如何进行实验研究、如何获得知识、如何创造知识，亲身经历数学建构的过程，更好地学习、探索和发现数学规律，从而形成解决问题的更多策略，有利于学生的终身发展。