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中图分类号：N031;N02 文献标识码：A 文章编号：1003-5680(2004)01-0030-05
一 引言：数学是什么？
数学是什么？这是一个让许多人思索了许久、困惑了许久的问题。罗素不是说过这么一句初读起来让人难以理解的话吗？“数学是这样一门学科，我们永远不知道它说的是什么，也不知道它说的是否正确。”
可以直言，我国学人最初接触“数学是什么？”这个问题时，大都很自然地接受了恩格斯在19世纪对数学本质的这样一个论述：数学是关于现实世界数量关系和空间形式的科学。然而随着人们对19世纪之后的现代数学和哲学有了更多更深的认识之后，原有的观念开始动摇，甚至瓦解了。
19世纪中后期以来，数学家对数学本身的兴趣空前高涨，他们除了现实世界的材料与经验外，更多地关注了数学内部的需要和听从自己悟性的引导。非欧几何、四元数理论、抽象代数等等都是数学内部需要的产物和人们悟性——智慧的结晶。集合论的创始者康托尔就在19世纪晚期指出了：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维。就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”。[1]到了20世纪，新的思考几乎没有停止过，其中有两种观点可以说是很有代表性的。其一：数学是研究客观世界和逻辑可能的抽象结构的科学。如我国著名数学家丁石孙教授就持此观点，许多前苏联数学家也是持此观点的；其二：数学是研究模式的科学，模式既可以是现实世界的，也可以是抽象世界的。如我国数学家徐利治教授就持此观点，当今一大批美国教学家也持此观点。这两种观点，较之恩格斯那时的定义，无疑是大大进步了，这已是大家的共识。关于这两个定义，在目前来看，对于纯粹的数学家也许已经足够或满意了。但要从哲学的角度来反思，我觉得尚有值得探究的问题。至于说数学研究的对象到底是量的关系，还是秩序、结构，或者所谓模式，这不是一个主要问题——它更多的是一个数学性问题而不是哲学性问题。这只要静观一下现代数学本身就可回答。我们真正关注的问题是：这个模式（或结构、量）是谁的模式——现实世界的还是抽象世界或可能世界的？如果说是现实世界的，那么怎样判定？有一个现实有效或可操作的判定标准和方法吗？要知道，数学是数学家心智的产物，没有数学家就没有数学。怎样能判定由人的心智创造的概念性或理念性的模式就一定会与客观现实相符合呢？如果说它不是现实世界的，那么它又与现实世界有着怎样的关系呢？其次，它与以现实世界为研究对象的自然科学又有怎样的关系呢？为什么一再有人在感叹“数学在自然科学中那不可思议的有效性”呢？还有一个更困难的问题是：如果说数学模式不是现实世界的，或不具有现实意义，那么怎样理解“任何一种事物乃至整个大自然都具有数量关系和几何结构”这一基本的传统观念？等等这些问题就是本文试图回答的内容，同时我们也愿在回答这些问题的过程中，就罗素的那句充满睿智的话给出一个解说。
二 “我们不知道它说的是什么，也不知道它说的是否正确。”
“数学是这样一门学科，我们永远不知道它说的是什么，也不知道它说的是否正确。”罗素这段初看无理，实则充满睿智的话，确实让一些人困惑了许久。但放在这里作为本节的小标题是最恰当不过了的。这里，我们愿在回答“模式是谁的模式？”这个核心问题的过程中，提供一个对罗素这句话的解释。
模式是谁的模式？这个问题其实也可以换成这样一个说法：数学的主体是谁？不过这个转换容易造成误解，需要作点解说。它实际上包括两个含义：一是从发生学意义上讲的，是谁创造了数学？二是从本体论意义讲的，是什么负载着数学？或者说，数学在（或存在于）哪里——现实世界还是独立自在？下面我们先从发生学意义上谈谈第一个小问题：是谁创造了数学？
我们以为，数学是数学家们的天才建构，是数学家们的心智产物，没有数学家就没有数学，这是不容争辩的铁的事实。故我们把此作为我们思考问题的或论述的出发点和逻辑前提。由此前提，我们要对数学说的第一句话，也即它的第一个基本特征是：数学、数学对象是人的心智的产物，具有鲜明的属人性。
数学是人的心智的产物，而最重要最原初的人的心智建构形式是数学直觉。这也是历代许多数学家的一个基本共识。数学直觉是一个较“神秘”的概念，因为我们对它还知之甚少。在我们看来，它是人的思维的一种先天本能（生物遗传意义上的），是对量的秩序、关系、结构、模式的一种突发性、整体性的感觉和领悟。正是在这种数学直觉作用下，人们建构了一批又一批最初的或全新的数学对象。数学对象的属人性，首先就表现在它是人的创造物。其次是数学的结构、表形也是属人的。自然数是全部数学的基础，它就极具属人性。谁也不会否定，自然数的结构保留了人的十个手指留下的不可磨灭的印迹，正如丹齐克所说：“人类采用十进制乃是一种生理上的凑巧”。[2]至于自然数的表示，不同的民族采用不同的符号来表示，如我国在商代用甲骨文
…表示1，2、3、4、5。可以说，没有一个数学符号（一切数学表形）不是人为约定的。而且数学符号约定或选定好与不好，直接影响到数学发展的快与慢。最后，数学的属人性还在于建构数学的目的就是为了满足人的需要和应用，人的需要是推动数学发展的基本动力。如我国古代名著《九章算术》，它从其一开始就是作为一种工具——满足人们实用目的和需要的工具而被创建的。古希腊的几何学尽管不是为了直接的生产、生活需要而产生的，但也是为了认识大自然、理解大自然。
进一步，关于数学是人的心智的创造物，还可作这样一番猜测。数学（乃至一切科学文化）的产生与发展，及其本质与特征，与人的生理本性——整个神经系统，尤其是脑神经系统的结构、功能（包括各种感觉系统、感觉功能）有着密切的关联。或许正是因为有了这样的生理神经系统，才有了如今这样的数学理论。应该指出，这里我们主要是从类（整个人类）的意义上而说的。当然，不同的个体（个人）其神经系统结构和功能是有一定差异的，而这种差异则主要反映在数学风格上有所不同，以及每个数学家研究视角、方向和其它因素的不同。恩格斯有过这么一段话，它有利于理解我们上面所说的意思，故摘抄如下：“对我们来说不可能有不是以地球为中心的物理学、化学、生物学、气象学等等，而这些科学并不因为说它们只对于地球才适用并因而只是相对的而损失了什么。如果人们把这一点看得很严重并且要求一种无中心的科学，那就会使一切科学都停顿下来。对我们来说，只要知道，在相同的情况下，无论在什么地方，甚至在离我们右边或左边从地球到太阳还远一千万亿倍的地方，都一定有同样的事情发生，那就够了”。[3]他还说：“当然，我们永远不会深悉，化学光线在蚂蚁眼里究竟是怎样显示出来的底蕴。谁要为这件事情苦恼，我们可一点帮助不了他”。[4]这就是说，一切科学都是以人为中心的，“人是万物的尺度”。尤其是非经验科学的数学更是人的心智的产物。我们所说的数学是人的数学，而不是蚂蚁的数学。至于蚂蚁有没有数学、有什么样的数学，人是无法知道的。作为人这个类，他所具有的生理系统的结构、功能决定了他的感觉、思维的一切。当然，具体是怎样决定的，这是由神经科学、脑科学、心理学、认知学等研究的问题。这里我们只是给出这样一种猜想。
通过以上的论述，我们不难认定，人是数学的创造者，并从这个意义上讲，人是数学的主体。这样我们便回答了前面的第一个小问题。
下面我们需要回答的是第二个小问题：是什么负载着数学？或者说，数学在（或存在于）哪里——现实世界还是独立自在？这是个数学本体论方面的问题。
尽管数学是人的心智的产物，具有鲜明的属人性、主体性，但一旦它的基本概念、基本公理和推理规则构造完成，它就立即获得了确定的自主性和客观性。也就是说，数学理论具有高度的自主性、客观性。所谓自主性就是存在数学自身固有的结构、特性和发展规律，就是意味着独立存在。如人们可以任意给出一个一元二次方程，但关于这个方程的解，人们只能去发现它，求解它，而不能随意地决定和指派。再如人们可以任意给出一组相对完备的公理，但不能随意地给出以这组公理为基础的理论中的定理，人们只能依此公理组逻辑的去构造。就如萨普所说：“一旦我们选定初始概念，我们就失去对推论结果的控制”。[5]它们潜在地既定地决定了以其为基础的全部结论，人们所能做的就是去发现这些结论。可以说，数学理论一旦在观念上存在就开始了自己自主的生命和历史。数学这种自主性是不以人的意志为转移的，因此也可以说是一种客观性，尽管它仅是数学客体或数学世界自身的客观性（观念或理念世界也具有其不以人的意志为转移的客观性）。也即萨普所说的，在最初的选择限制和在无法控制的推论结果方面，数学有它某种客观性和很大的明确性。数学理论是自主的，但不是自发的，离开了人的心智，数学理论的建构、发展是不可想象的。因此，数学的自主性主要是指数学建构、发展的一种潜在的尚未实现的逻辑必然性，把这种必然性转变为现实的是人的心智，故数学理论从发生学的角度讲，它是有主体的。正是在这一点上，我们认为，数学世界有别于柏拉图的理念世界，因为那是一个“没有认识主体的”世界，数学柏拉图主义无法解决发生学意义上的所有问题。我们以为.设想一个独立于人、超越于人的理念世界的存在是难以想象的；但接受一个由人创造的理念世界是自然的。
数学世界是人造的世界，因此，从发生学的意义上讲，数学只能是发明而不可能是发现——数学世界相对于人而言，它并不具有逻辑的先在性、完成性。只是相对于人发明了它的基底（基础命题集）或曰出发点、生长点（可比喻为“种子”），数学的世界才逻辑地潜在着，即未展开、未显现地存在着。这个出发点、生长点，即数学世界的“种子”、“基因”，蕴含着相应数学发展的基本内容。其中的有关内容（定理或命题）则是由人们发现的而非发明的——由于其逻辑的必然性或自主性，人们只能是去发现、探寻，而不能再自由地创造。可以说.数学之“种子”将长成什么样的树、开出什么样的花、结出什么样的果，那是由种子而决定的，人们只能为它的成长辛勤地耕作。但是，作为数学之种子本身，则是人类的创造物。人类——数学家，乃是数学之种子（乃至整个数学世界）的“上帝”。他创造了它，赋予了它旺盛的生命力。这生命一旦诞生，便开始了它自主的历史。仔细想来，数学真像一棵茂盛的参天大树，一棵盘根错节的古柏。
由上论述，可以看出数学世界是一个属人的且独立的理念世界。说数学世界是独立的，不仅是因为它具有高度的自主性、客观性，同时也还因为它是一门有别于一切经验科学的科学，这既表现在它的形式上的符号化，更表现在它的内容上的超验性，即数学世界是一个不具任何经验内容的纯理念世界。这也就是说，如果撇开发生学意义上的问题，那么并没有什么负载着数学，数学是自在的，也即数学不存在于现实世界。之所以这样说，是因为我们没有任何实际的可检测的根据来表明数学的现实经验性。从这个意义上讲，我们不妨认为数学是没有任何经验内容的（或许，更确切地说，数学世界是否具有现实经验性，是不可言说的或不知道的）。
哲学界有一些人，根据数学在自然科学中的成功应用，以及部分数学的现实来源（启示），认定数学是对现实世界量的关系和空间形式的正确反映。我们认为，这种观点有其需要探讨的地方。在我们看来，数学的成功应用只是也只能表明它的有效性，这与数学是否与现实世界量的关系是符合的，或者说与数学是否反映了现实世界量的关系，是完全不同的两回事。因为数学反映了现实世界量的关系的这种常识见解归根到底只是一种信念，我们实际上并不知道也无法判别我们的数学理论是否达到了与现实世界量的关系相符合，也无法判别数学在其发展过程中是否正在向现实的量的关系前进或逼近。因此，把数学看作是现实世界量的关系和空间形式的正确反映这种观点是不可检测和不可捉摸的，它只是一些虚设的目标。作为现实世界量的关系我们原本就是不知道的（这正是数学研究和科学研究最初的主观目的），我们又怎么能够知道由人的心智构建的数学是不是反映了本体事物量的关系。这里既没有本体的真实蓝本可作比较，也没有实际的可操作的检测标准和方法来说明数学反映了现实世界量的关系。在我们看来，可检测的具有实际意义的就是数学的有效性。另外，对数学理论的实践检验都是间接的，需要借助于其他各种科学的检验来检验。一门数学理论在某门科学理论中适不适应、成不成功，并不意味着它是否符合现实世界或具有现实意义。欧氏几何不适应于相对论，但它适应于牛顿力学。这也说明数学的有效性是不依赖于它的“现实真理性”的。其实，数学在科学中的应用总是作为一种方法、工具和语言出现的，因而无所谓真和假、对与错，更谈不上它们的现实意义或现实原型，而只有一个好用不好用、有效无效的问题，这只是一个与目的、需要相关的问题。
另外，那些人大都把数学中一些基本概念或公式来源于某种现实经验的启示看作是对数学具有现实意义的证实。从数学发生学的角度讲，数学的产生确实受到过来自外在经验和自然科学的启示和影响，然而启示不等于反映。关于这个问题，正如前面所提到的L.萨普的“神说和数学”，神话虽然常常是以现实中的日常概念为基础的，但是它却不具有现实的原型。数学与现实的关系就如同神话与现实的关系，一方面少数基本数学概念的产生受到过来自外部世界的启示，但另一方面它又是人的心智的建构。数学偶然所面对的与其说是直接的经验实在，不如说是这种经验实在的“神话”变型——启示性直觉。就是自然数、三角形等这些最基本的数学对象或概念，也没有根据说它是经验事实在人的心智上的反映，但却知道它是凭借人的心智（直觉和逻辑）而构造的。这些基础数学一经产生就立即得到了普遍而有效的应用，十分自然地就被人们赋予或强加给了面前这个真实的经验世界——把一种令人满意的、可理解的、属人的形式强加给了这个世界。很多人都认为“1”的概念就是所有单个事物在数量上的共同反映，“圆”的概念则集中表现了所有圆形事物在形式上的共同性，对此人们都认为这是不证自明的“事实”。说数学的“圆”反映了圆形的现实事物在形式上的共同性，那是因为有关圆的理论在现实中的应用是有效的。这里涉及的实际上就是数学的有效性，只不过由于基础部分的这种有效性有其更直接、更普遍、更直观的特性，人们便直接把这种有效性上升为一种“现实真理性”，并赋予相应理论一种现实的本体论意义。然而，如非欧几何在它刚刚诞生之际却没有人说它是对现实世界空间形式的反映，相反受到了众人的攻击，这是因为它在当时是与人们的直观和经验相抵触的，在实践中没有得到成功的应用。只是当它后来在相对论中得到了成功的应用，人们才普遍地接受了它，甚至认为它是比欧氏几何更深刻地反映了现实世界的空间形式。总之，从数学的产生受到过现实经验的启示并不能推出数学就具有现实真理性——与现实符合。人们之所以那样认为完全是基于这部分数学具有更直观更普遍的有效性，而有效性不等于现实真理性。
综合上述，我们认为，数学是一个由人的心智建构的具有属人性、自主性、客观性和超验性的理念世界。由此，我们便不难理解罗素的那前半句话了——我们永远不知道它说的是什么——因为纯数学是与现实无关的，它不具有任何现实意义，即数学理论只不过是个由一些没有实际意义的纯形式语句构成的集合。这样，我们自然不知道它说的是什么了。
“也不知道它说的是否正确？”罗素这后半句话涉及的主要是数学真理性问题。关于数学的真理观，我国许多学者都认为，数学具有逻辑真理和现实真理双重内涵，把逻辑证明和实践检验看作是确认数学真理性的两个不同层次的标准和手段。但是根据前文所述，我们认为，所谓数学具有现实真理性和相应的实践标准只不过是数学是现实世界量的关系这种观点在真理观上的一种反映。尽管如此，数学并非不具有现实的有效性，实践也并非不具有对数学价值的判断作用。应该承认，数学的成功应用是数学现实有效性的表现，而数学应用的有效性正是其价值的体现。实践则是检验教学应用价值的标准和手段。但价值不等于真理。数学的真理性只能是一种逻辑的真理性，即依“基本命题集”（基本概念、公理、逻辑规则）的真。判断这种真理性的手段就是逻辑证明。数学家、哲学家彭加勒也早就说过：“在数学中，当我们拟定了作为约定的定义和公设以后，一个定理就只能为真或为假。但是，要回答这个定理是否为真，就不再需要我将要求助的感觉证据，而要求助于推理。”显然，这种真理只是一种相对真理，是相对于特定数学体系中的“基本命题集”为真。有多少个不同的或独立的“基本命题集”，就有多少种数学，进而就有多少种真理。而“基本命题集”是人的心智（主要是数学直觉）的产物，因此它的真理性只能来自人的心智——数学直觉。但是由于人的心智和数学直觉极为复杂，我们至今也看不到“基本命题集”的真理性的深层根据，故只能暂且把它看作是人为的约定，或者说只是一个信念集。好在有了这么一组人类共同的约定和信念，就可以在其之上构建起如此丰富、深刻、实用的数学，人们也就暂可不去管它的真理性。另外，一个简单的“基本命题集”能够逻辑地派生出一个相当丰富而深刻的数学体系，这本身也就说明了它的合理性或可接受性，尽管这并不等于真理性。我们认为，“基本命题集”的真理性只有随着人类对人的心智、直觉等内容有了更深刻、更详尽的认识后，才可望获得突破性的认识。直觉主义数学和哲学为人们认识数学的“基本命题集”的真理性指出了一个方向，但远没有获得令人满意的解答。我们还需要不断地探索。
至此，我们需要补充说明的一句是，以上所言完全是针对通常人们熟悉的“演绎数学”，而不指20世纪80年代后悄然出现的“实验数学”。对于“实验数学”的认识，可参见文(8)。
基于上述，我们便也不难理解罗素那后半句话了。对于数学定理我们只能问也只需问它是否通过了正确的逻辑证明，至于它是否与现实世界相符那是不得而知或也无需要知。所以我们“也不知道它说的是否正确？”
三 “我们只知道它说的是否有用。”
“我们只知道它说的是否有用。”这是我们在罗素那句话之后接着想要说下去的一句话。
数学与现实世界没有直接的关系，没有任何实际的意义，但是它与研究现实世界的自然科学密切相关。那么它与自然科学有什么样的关系呢？为什么一再有人在感叹“数学在自然科学中那不可思议的有效性”呢？
关于数学与科学的相互关系，有一个流传十分悠久并不断被人们赋予新的涵义的观点：数学是科学的语言。这一观点我们基本上是赞同的。对此我们曾从数理逻辑中的模型论的角度做过一个解释。用一句模型论的话说，数学与科学的相互关系，就是语言、理论与解释、模型之间的关系。或者说就是语法与语义之间的关系。数学是科学的（形式）语言、理论，而科学则是关于数学的解释、模型。何以这么说呢？这可以从以下两个方面来谈。
首先，数学相对于科学和现实世界可以被看作是一种形式语言、形式理论。因为相对于具有实质内容或意义的自然科学和现实世界，数学是不具有经验内容或意义的，它是独立的超验的形式体系。在这个体系中，不存在有经验内容或意义的命题，只有一些形式化的符号、语句。严格地说，连语句都没有，只有“语句函项”——不具有经验内容、意义的数学符号和数学表达式（公式）。只有当给这些语句函项赋值（给予实质性的解释）以后，它们才能称之为语句或命题——具有经验内容和意义的科学命题。因此，严格地讲，如果不只限于数学的内部，那么数学只是一个非语义的语句函项集，亦即一个非语义的“理论函项”。当然，这并不妨碍人们可以在数学内部称有关的表达式为语句或命题。另外，数学在科学中的有效应用则从另一个角度表明了数学是科学的语言。科学尤其是科学的定律、模式，无不是由数学来表达、建构的。一条科学定律实质上就是一个数学公式或方程。科学的数学化，深刻而现实地表明了数学早巳实际地充当了科学的语言。
其次，反过来说，科学是关于数学的解释、模型。从毕达哥拉斯开始，到哥白尼、伽俐略、牛顿，无不认为自然界是按数学形式设计的，研究数学的根本目的是为了揭示大自然的奥秘和规律。直到现代，不少著名的自然科学家依然坚持这一信念，或受这一思想的影响。琼斯、爱丁顿、爱因斯坦等人均表述过这种想法。[7]然而数学并不直接对自然界做出解释，单纯研究数学，并不能了解自然界的奥秘。相对于大自然，数学只是一个没有意义的语句函项集或理论函项。即数学语句、理论是有缺陷的、不完整的，是需要通过实质性解释予以补充的，只有给出了相应的自然科学的解释，它们才成为一个完整的解释大自然的语句、理论。这种实质性解释，使得科学成了对于数学的解释或模型。数学是一个非语义的语句函项集或理论函项，这是模型论给予我们的重要启示，也是我们对“数学是科学的语言”这一传统观点的新认识。
不过，到此还有一个重要的问题我们没有谈到，它就是：怎样理解“任何一种事物乃至整个大自然都有数量关系和几何结构”这一基本的传统观念？确实，我们每一个人早就接受了这样一种观念；任何事物都有着自身内在的量的属性，就如任何事物都有着自身内在的质的规定性一样。然而真是这样的吗？如果真是这样的，那么这种大自然的数量关系和几何结构与数学家的数量关系和几何结构又有什么关系呢？非欧几何诞生之前，不存在这样的问题。那时大自然的数学与数学家的数学是一致的统一的，亦即数学家的数学被认为就是对大自然的数量关系和几何结构的正确反映。但是，非欧几何诞生之后，人们逐渐认识到，不是一种几何，而是几种几何；几何也不是现实的反映，而是人类自由悟性的产物。大自然的数量关系和几何结构是欧氏的还是非欧的？还是其他什么的？没有人能回答。从那时起，数学被分化了——数学家的数学和大自然的数学。人们常常困惑于二者之间，或为二者的关系所困惑。
大自然真有数学吗？没有。大自然的数学其实完全是由人所设定或假定的。谁认识了大自然的数学，谁知道大自然的数量关系和几何结构是什么？谁也不知道。人们用来描述大自然数量关系和几何结构的无不是数学家的数学。可为什么人们会具有“任何一种事物乃至整个大自然都有数量关系和几何结构”这一基本的传统观念？我们认为，深藏在这一观念背后的是人的需要。——需要有效地可操作地认知、控制和利用大自然及其客体。这也是一切科学研究包括数学研究的终极目的。而要做到这一点，必须对大自然及其客体给出数学的描述。更确切地说，是必须人为地赋予大自然及其客体应有的数量关系和几何结构。
大家知道，如果要求一个科学理论或模型是应用上有效的，那么这个理论或模型就一定要包含一些定量的成份，使我们有可能对它所描述的事物或现象进行时空的定位和预测。一个单纯的定性描述或预测，如没精确地指明时间和位置，在实践中就不会有多大作用。如石油勘探，若不能明确地指出石油储藏的地点、深度和储量，那这个勘探有什么价值呢？这就是说，能够用来做出预测从而采取有效行动的理论或模型必须是定量的、数学化的。对相关事物或现象赋予定量的、数学的描述，是人自身的需要——有效地可操作地认知、控制和利用大自然及其客体的需要。既然大自然及其客体的数量关系和几何结构只是人为地赋予的，那就无所谓对与错的问题，而只有有效与无效的问题。运用数学建立起的科学理论，如果能够合理地解释有关的自然现象，或有效地控制自然过程，或有效地利用自然客体，那么我们就说，人们赋予了相关自然现象、过程和客体有效的数量关系和几何结构。否则，有关赋予就是无效的。这也就是我们接着罗素那句话之后说出的“我们只知道它说的是否有用”这句话地意思。
至此，我们想对“数学是什么？”这一问题给出一个简要的回答：
数学是人类为了有效地认知、控制和利用自然界及其客体而创造的一种抽象的、逻辑可能的形式结构或模式。
【收稿日期】 2003-07-01
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