云南衡水实验中学西山学校 云南 昆明 650100
摘 要：数列（增幅）规律主要运用了等差数列的公式来解题，但在给学生讲解的过程中，学生理解相当困难，计算上也相对复杂，老师和学生都非常头疼。本文将对数列（增幅）规律加以探究并归纳，希望能为学生的学习带来帮助。
关键词：数列 简便 规律
俗话说的好，“授之以鱼不如授之以渔”。在教学的过程中，尤其是理科的教学，教师教会学生解一道题，不如教会学生解一类题，更不如教会学生更好的解题方法。初一的学生在学习数列规律的时候，由于认知能力不够成熟，逻辑思维能力也比较薄弱，导致对数列规律理解不透彻，对一列数的特征辨识度也不高，因此记忆模糊，运用起来相当困难，错漏百出，只有你想不到的错误，没有他不出现的错误。这不仅让学生的学习非常困难，甚至痛苦，老师也为学生忧心忡忡。因此，对数列规律的探索研究显得尤为必要和紧急。为此，本文将展开对数列（增幅）规律的探索。
一、规律的发现
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中强调数学教学要注重对学生数学思想方法的教育，其中化未知为已知的化归思想是初中阶段数学教学中非常重要的一种思想。生物学也告诉我们，人的生理，认知发展是循序渐进的，每个人对接触过的、熟知的事物的理解能力、接收能力都较陌生事物容易、简单。因此，若能把学生感到陌生的等差数列转化为他们熟知的小学数列规律，那么学生对该知识的理解和掌握就会变得非常简单、轻松。
“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：基本方法——看增幅。
1.如增幅相等（实为等差数列）：
对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：an=a1+（n-1）b,其中a1为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a1+（n-1）b。
例1：4、10、16、22、28……，求第n位数。
【法一】
第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+（n-1） 6＝6n－2。
基本思路是：
（1）求出数列的第n-1位到第n位的增幅。
（2）求出第1位到第n位的总增幅。
（3）数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
【法二】
第一步，第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位位数是：6n+a或者6n-a。
第二步，确定a，当n=1时，6n>4,6n-a=4，即6×1-a=4，解得a=2，所以第n位数是：6n-2。
检验:当n=2时，6n-a=6×2-2=10；当n=3时，6n-a=6×3-2=16.当n=4时，6n-a=6×4-2=22；当n=5时，6n-a=6×5-2=28。……，所以法二的推论正确。
通过以上两种方法我们会发现：第一种要通过推导等差数列公式，属于初一年级的考试内容，而等差数列是高一的内容，不便于学生理解掌握，而法二通过观察后确定n的系数，在通过赋值法确定a值，便于学生理解和操作。
2.如增幅不相等,但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）。
如：增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加，此种数列第n位的数也有一种通用求法。
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例2：2、5、10、17……,求第n位数.
【法一】
数列的增幅分别为：3、5、7……,增幅以同等幅度增加，第1位3到第n位只有（n-2）个数，那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×（n-2）=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×（n-1）÷2＝（n+1）×（n-1）＝n2-1。所以,第n位数是：2+n2-1=n2+1。
【法二】
通过观察法会发现数列2、5、10、17……。第一位数：2=12+1，第二位数：5=22+1，第三位数：10=32+1，第四位数：17=42+1，……，第n位数是：n2+1。
通过以上两种方法我们会发现：无论采用法一还是法二，最终都能求出求第n位数，但运用的两种不同的方法形成鲜明的对比，我们发现：利用方法一求解，在运算过程中出现了比较繁琐并且很难理解，所以往往基础较弱的同学无从下手。使用法二简便的发现规律，我们可以轻轻松松的避免繁琐的推论和计算，直接转化成学生熟悉的规律即可轻松获取最终答案。
二、规律运用的先进性
马克思主义理论告诉我们，检验理论的唯一标准就是实践，在具体的数学实践之中真正能够使得某些运算更加简便、精确的方法才会得到全面的推广，下面我们通过几个例子，将课本方法和运用规律运算的简便方法进行鲜明对比，感受一下此规律在实践中的可操作性和先进性。
练习1: 3、5、7、9、11……，求第100位数。
【分析】第一步，从第二位数起，每位数都比前一位数增加2，增幅都是2，所以，第n位位数是：2n+a或者2n-a。（数列的第一个数3大于n的系数，因此本题应该是2n+a）。
第二步，确定a，当n=1时，2n<3,2n+a=3，即2×1+a=3，解得a=1，所以第n位数是：2n+1
【检验】当n=2时，2n+1=2×2+1=5；当n=3时，2n+1=2×3+1=7；当n=4时，2n+1=2×4+1=9；……
所以数列3、5、7、9、11……，第n位位数是：2n+1，第100位数：2n+1=2×100+1=201
练习2：3、6、11、18、27……，求第n位数。
【法一】数列的增幅分别为：3、5、7……,增幅以同等幅度增加，第1位3到第n位只有（n-2）个数，那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×（n-2）=2n-1,总增幅为：［3+（2n-1）］×（n-1）÷2＝（n+1）×（n-1）＝n2-1。
所以,第n位数是：3+n2-1=n2+2。
【法二】通过观察法会发现数列3、6、11、18、27……
第一位数：3=12+2，第二位数：6=22+2，第三位数：11=32+2，第四位数：18=42+2，……，第n位数是：n2+2。
很显然，在探索出新规律之后，数列（增幅）规律变得非常简单，运算过程中不再出现繁琐的多括号、符号正负不同等问题，为学生解决了烦恼，大大降低了运算的错误率，学生也能很好地理解和掌握，最后运用于实践来解决实际问题。
人教版教材中，初一的知识以数与代数为主，学生每天都需要跟本来就很枯燥无味的数字打交道，还要在原本非常简单的数字中去理解、分析、掌握它们之间形成的变幻莫测的公式，这对初中生而言是有一定难度的，尤其在数列的找规律题型，学生恐之惶之，严重地打击了学生的自信心和学习数学的兴趣。本文数列（增幅）规律的探究和归纳，在投入到教学实践推广运用的过程中，绝大部分的学生能够正确理解并掌握精髓，还能在实践中屡试不爽，极大的激发了学生对数学研究的热情，激发了学生学习数学的兴趣和自信心，也给予学生更多坚持下去的力量，充分体现了《课程标准》中强调的学生为本的人文主义精神，让学生快乐学习。
通过文中例子以及实际的教学效果来看，本文所探究归纳得出的数列（增幅）规律的实用性很强，把学生感觉陌生的数列（增幅）规律非常巧妙的转化为他们非常容易理解的数列（增幅）问题，通俗易懂，可操作、可推广，希望对学生的学习有所裨益。
论文作者:张如超
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年7月总第306期
论文发表时间:2019/6/17
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