用超级画板探究正多边形性质，本文主要内容关键词为：正多边形论文,画板论文,性质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
正多边形是非常优美的几何图形.它有什么优美的几何性质呢？通过对一道几何习题进行探究论证.从另外一个角度对该问题进行推广得出了正多边形的重要几何性质.
二、用超级画板探究正多边形性质
1.等边三角形性质探究
原题 如图1，正三角形ABC中，在AB，BC边上分别取点D，E，使得AD=BE，连接CD，AE相交于点O.则有∠COE=60°且CD=AE.
通过证明：△ADC≌△BEA得到CD=AE和∠BAE=∠ACD，再通过三角形外角公式即可得到∠COE=60°.
推广 首先作出满足上题的图形，如图2，然后在CA边上取点F，使CF=AD=BE，然后连接CD，AE，BF并作出它们的交点0，P，Q，利用其测量功能测量CD，AE，BF的长以及OP，PQ，QO的长和∠POQ的度数.发现无论D点在线段AB上怎么移动始终有CD=AE=BF，OP=PQ=QO并且∠POQ总等于60°.于是得到下述结论：
推论1 正三角形ABC中，在AB，BC，CA边上分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF，连接CD，AE，BF相交于点O，P，Q.则有CD=AE=BF且△OPQ为等边三角形.
证明 由上题中的结论显然可以得到CD=AE=BF以及∠POQ=∠OPQ=∠PQO=60°，故△OPQ为等边三角形.
2.正方形性质探究
原题是关于正三角形的命题及推论，那么关于正方形会有类似的结论和推论吗？同样借助超级画板作出正方形ABCD，然后在AB，BC边上分别取E，F两点，使AE=BF，接着测量∠DOF的度数和AF与DE的长度，发现当E点在线段AB上移动时，始终有∠DOF=90°，且AF=DE.因此可以得到下述命题：
命题1 如图3，正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取E，F两点，使AE=BF，连接ED，AF相交于点O，则有∠DOF=90°，且AF=DE.
证明 因为四边形ABCD是正方形，
所以有AB=AD，∠DAE=∠ABF=90°，
又由题知AE=BF，
所以△DAE≌△ABF（SAS），
从而有AF=DE，∠ADE=∠BAF，
又∠BAF+∠DAF=90°，
所以∠DOF=∠ADE+∠DAF
=∠BAF+∠DAF=90°.
既然关于正方形的类似结论成立了，那么关于其类似的推论是否也成立呢？仍然利用超级画板来探究一下：首先作出满足命题1的图形，然后在CD，DA上取点G，H，使CG=DH=AE=BF，连接BG，CH相交于Q，与AF，DE交于P，O，然后利用其测量功能测量AF，BG，CH，DE的长和OP，PQ，QR，RO的长以及∠OPQ的大小，发现当E点在线段AB上移动时有AF=BG=CH=DE，OP=PQ=QR=RO=RO，且∠OPQ=90°，故可得到四边形OPQR为正方形.从而得出下面的推论：
推论2 正方形ABCD中，在AB，BC，CD，DA边上分别取E，F，G，H四点，使AE=BF=CG=DH，连接AF，BG，CH,DE相交于O，P，Q，R，则有AF=BG=CH=DE且四边形OPQR为正方形.
证明 因为四边形ABCD是正方形，
所以有AB=BC=CD=DA，
∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH=90°，
又由题知AE=BF=CG=DH，
所以△ABF≌△BCG≌△CDH≌△DAE（SAS），
所以有AF=BG=CH=DE；
∠ADE=∠BAF=∠CBG=∠DCH，
所以由三角形外角公式可得
∠OPQ=∠PQR=∠QRO=∠ROP=90°，
所以四边形OPQR为矩形.
又∠APB=∠BQC=∠CRD=∠DOA=90°，
∠ADO=∠BAP=∠CBQ=∠DCR，
AB=BC=CD=DA；
所以△ABP≌△BCQ≌△CDR≌△DAO（AAS）；
所以有AP=BQ=CR=DO，BP=CQ=DR=AO，
又OP=AP-AO，PQ=BQ-BP，QR=CR-CQ，RO=DO-DR，
所以OP=PQ=QR=RO，从而四边形OPQR为菱形.
又其为矩形，所以四边形OPQR为正方形.
再提升一个思维层次，对于一般的正多边形也有类似成立的结论和推论吗？
同样借助超级画板探究发现当多边形是正五边形、正六边形、正七边形、正八边形时仍有上述类似成立的命题和推论，于是笔者对正多边形的这一性质进行归纳得出下面的一个命题和推论.
三、结束语
通过对上面的探究，可以看出超级画板在探究平面几何问题上的作用是显而易见的.通过上面的探究与推广可以为学生提供大量的感性经验，有利于学生对数学发现过程的体验，增强对数学学习的兴趣和自信心，促进学生全面、协调、和谐地发展.既培养了学生观察思维能力，也使学生掌握知识的内在联系，更培养了学生的创新探究意识及能力.