例谈研究高考数学试题的几种视角，本文主要内容关键词为：几种论文,视角论文,数学试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
高考数学试题是命题专家依纲靠本、科学设计的典型题，它不仅在一定程度上浓缩了课本重要的数学基础知识和基本技能，而且蕴涵着丰富的数学思想方法，能够折射出高考数学命题的基本走向和考查的深度与广度.选好视角是从事任何研究工作的前提和基本策略.本文以对2012年高考数学湖北卷解析几何解答题的研究为例，谈谈研究高考数学试题的几种视角.
题目 设A是单位圆
上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点Ⅳ，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
一、研究试题的立意
立意是试题的考查目的.高考数学试题的命制一般以立意为中心，以能力立意命题就是首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式.能力立意的试题以基础知识、基本技能和基本数学思想方法为载体，它体现了考试的目的和内容.
本题设计的七个动点（即A、D、M、P、Q、N、H）和两个参数（即m和k）之间相互制约，两问有机衔接，既反映了有心二次曲线间的轨迹相关性，又体现着曲线间的动静相宜，主要考查曲线与方程、椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查推理论证和运算求解能力，以及数形结合、分类讨论、转化与化归的思想和相关点法等方法.该题在学科基础知识、基本能力和基本思想方法的交汇处命题，要求考生推理细致全面，运算合理准确，能综合运用代数方法和几何性质进行转化与化归，具有较强的甄别功能.
二、研究试题的解法
研究试题的解法主要是指试题的一题多解.一题多解是指对一道试题从多种不同的角度进行分析与探究，进而得到多种解法.既有朴实自然的通法，又有巧妙简捷的巧法，这既能培养学生学习的兴趣，又能培养学生思维的发散性、选择性、灵活性、深刻性，还能培养学生的数学探究意识.
本题第（Ⅰ）问要求曲线C的方程，注意到点A在圆
上运动，点A的运动引起点M的运动.我们可由点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）得到点M与点A坐标之间的关系式，并由点A的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程.寻求点M与点A的坐标之间的关系，并由点A的坐标所满足的方程得到点M的坐标所满足的方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法——相关点法.
三、研究试题的背景
研究高考试题设计的背景，对于搞好高中数学教学具有十分重要的意义.高考数学试题设计的背景通过不同的载体来实现和依托不同的方式来呈现，常见的有：以课标为背景；以往年高考试题为背景；以国外高考试题为背景；以数学竞赛试题为背景；以经典数学名题为背景；以生活数学常识为背景；以高等数学知识为背景.
本题第（Ⅰ）问的背景是椭圆可以认为是把圆拉伸或压缩得到的，这也是椭圆生成的一种方式，在伸缩变换下，圆与椭圆可以互变共生.此问源于人教A版数学《选修1-1》第34页例2（也是《选修2-1》第41页例2），最早追溯到1979年6月版的全日制十年制学校高中教材《数学》第二册第131页第10题.此问的背景还可以追溯到2011年高考数学陕西卷理科第17题第（Ⅰ）问：
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
本题第（Ⅱ）问的背景是椭圆上一点与椭圆的一条直径（椭圆一组平行弦的中点）的两个端点的斜率之积为定值.此问源于人教A版数学《选修1-1》第35页例3（也是《选修2-1》第41页例3），最早追溯到1979年6月版的全日制十年制学校高中教材《数学》第二册第130页第5题.此问的背景还可以追溯到2011年高考数学江苏卷第18题第（Ⅲ）问：
（Ⅰ）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（Ⅱ）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（Ⅲ）对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.
四、研究试题的推广
研究试题的推广是将试题进行变式、重组、引申、拓展.前苏联数学教育家奥加涅相说过“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性……”不少数学题目本身似乎平淡无奇，但若能对条件进行适当的变化，并研究所得的结论发生变化的轨迹，常常会有许多意想不到的收获.
通过对本题拓展研究，可以得到以下性质：
五、研究试题的导向
一个问题的价值并不在于它的深奥，而在于它的示范作用；一道试题的编制并不在于它的精巧，而在于它的导向功能.“高考指挥棒”在当代中国是客观存在的，高考的导向作用始终是高中数学教学最关心的问题，无论从学生学的角度，还是从教师教的角度，高考都要起到积极的导向作用.
通过以上对试题的解法的分析、结论的引申和背景的解读，教师在高中数学教学过程中要注意以下几点：
本题有着深刻的数学背景，而解析几何的本质就是用代数方法研究图形的几何性质，只要抓住数学的本质和精要所在，就可把数学教得“精简实用，平实近人，引人入胜”，就能使数学“易学，好懂，能懂，会用”，也就能使数学教育在提升国民的思维素质和创造性上发挥应有的作用.因此，高中数学教学应该注重数学本质.
本题有着明显的教材背景，最早追溯到1979年6月版的全日制十年制学校高中教材《数学》第二册，且三十多年来，高中数学教材几度改版，但这几道背景题一直在高中数学教材之中.事实上，教材承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力的培养，同时也体现着高考改革的发展趋向.数学教材是数学知识和数学思想方法的重要载体，又是教师教学和学生学习的主要依据，更是几代人集体智慧的结晶.教材的结构是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是千锤百炼的，习题是精挑细选的，教材的每个素材的选取、问题的设置、规律的呈现等都具有极高的教学价值和育人价值.因此，高中数学教学应该注重回归教材.
本题有着清楚的考题背景，试题的两问分别源于2011年高考数学陕西卷和江苏卷的试题.事实上，高考试题是命题者依纲靠本、科学而精心设计的典型题，它不仅在一定程度上浓缩了教材重要的基础知识和基本技能，而且蕴涵着丰富的数学思想和思维方法，能够折射出高考命题的基本走向和考查的深度与广度.教师通过研究“考题”能够品味命题的理念，感受考查的意图，评价考题的优劣，洞察高考的要求，明晰教学的方向.因此，高中数学教学应该注重研究考题.
本题通过变式、重组、引申、拓展可以得出7个性质，研究试题的推广，有利于深化对问题本质的认识，完善和发展学生的认知结构，猜想数学命题，发现数学规律，并能培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，还能培养学生的数学探究意识和创新意识.因此，高中数学教学应该注重研究性学习.
六、研究试题的评价
研究试题的评价主要包括分析试题在一套试卷中的地位和作用，考查“四度”（难度、信度、效度、区分度）测量指标是否达到预期的目标，了解高考后学生和教师对该题的“满意度”，判断该题是不是一道好题.好的数学问题对巩固数学知识、强化数学能力、领会数学思想、掌握数学方法、提高数学素养等都具有重要作用.
本题是2012年高考数学湖北卷文科和理科的压轴题，两问采用的是“递进式”设问方式，衔接过渡自然，难度依次增加，既能让优秀考生脱颖而出，又能使一般考生不至于望题兴叹，各得其所，具有较强的甄别功能.本题文科实测难度系数0.11，区分度为0.66，属于难题，区分度优秀.其中第（Ⅰ）问实测难度系数0.20，区分度为0.67，属于难题，区分度优秀.第（Ⅱ）问实测难度系数0.02，区分度为0.34，属于难题，区分度优秀.理科实测难度系数0.23，区分度为0.73，属于难题，区分度优秀.其中第（Ⅰ）问实测难度系数0.43，区分度为0.73，属于中等题，区分度优秀；第（Ⅱ）问实测难度系数0.07，区分度为0.44，属于难题，区分度优秀.
从以上分析可以看出，研究高考数学试题可以从试题的立意、解法、背景、推广、导向和评价等角度进行.教师可以选择立意鲜明、解法多样、背景深刻、推广自然、导向明显、评价较好的试题作为研究对象.