数学学习中的概括，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
数学研究的对象是抽象的形式化的思想材料，这决定了数学具有高度概括性；数学的历史展示了数学理论的形成和发展也是一个不断概括的过程.这表明概括是研究数学的基本思想方法.从这个意义上可以说，概括是数学最本质的特征之一.因此，学习数学必然需要概括.这决定了，概括是数学学习的一个重要的基本方法.概括在数学学习中的基础性和重要性，使得概括在数学学习中成为数学能力发展的关键，概括水平也成为数学学习水平的重要标志.苏联著名的心理学家克鲁捷茨基等通过实验研究证实：“概括能力是数学能力最重要的指标，在数学学习中很容易成功的学生往往是因为他们具有较强的概括能力.”[1]
本着“教与学对应”的原则，数学教育要把研究“学生的学”放在首位；本着“教与数学对应”的原则[2]，数学教育则要把研究“学生对数学的学习”放在首位.本文以“数学学习中的概括”作为主题，正是遵循了这样的宗旨.数学自身的特点决定了数学的概括与其它学科的概括大不一样，数学的概括有其自身的特点和规律.目前对数学学习中概括的研究不仅为数不多，而且以心理学家和教育学家为众，主要围绕能力与思维2个方面，重点强调数学概括能力在数学学习中的地位和作用，较少涉及数学概括的本原问题，更难触及数学概括的本质.本文意在克服教育论述脱离数学内容、经验之谈脱离理论提升、抽象理论脱离具体实践的倾向，深入数学的内部，探索数学学习中概括的特征、内容、过程和方式，揭示数学学习中概括的规律.
一、数学学习中概括的特征
数学学习中的概括具有3个基本特征：二元性、过程性和层次性.
1.二元性
数学学习中概括的二元性体现在概括的关键因素、基本阶段和主要目标3个方面.
（1）共同特征和本质属性是概括的两个关键因素.本质属性是内含的，一般不能够直接观察得到.共同特征有内外之分，内部的共同特征一般也不能够直接观察到，外部的共同特征则可以通过观察获得；本质属性的主体是“类”这个单个对象，共同特征的主体是“类”中的多个对象.本质属性和共同特征是相辅相成、相互促进的关系.概括是在不断分析对象共同特征的过程中抽取本质属性，即是在对象的个性和共性中寻找区别与联系，达到对事物的本质认识.
以三角形和多边形概念的形成为例：
这2个概括过程表明，概括的关键是寻找共同特征和抽取本质属性.其中，概括A中的共同特征来自于若干具体事物原型的属性，本质属性则是这些具体对象所形成的“类”——三角形的本质属性；概括B中的共同特征来自于若干数学对象——三、四边形等的属性，本质属性则是这些三、四边形等所形成的“类”——多边形的本质属性.概括B中的共同特征来自于若干数学对象的本质属性，概括A的本质属性成为概括B的“具体事物原型”.
抽象和概括紧密联系.抽象是概括的基础，没有抽象就不可能认识数学对象的本质属性，就无法概括.概括是抽象的目的，没有概括，抽象也就失去了意义.概括不仅以抽象为基础，还是抽象的发展，通过概括，能够使抽象达到更高的层次.
（2）联系和推广是概括过程的两个基本阶段.由上述例子可以看出，概括的过程具有两个阶段：联系和推广.
概括A是把具有三角形形状的红领巾、三角板等事物联系起来，找出它们的共同特征，在共同特征中抽取数学中三角形所具有的本质属性，把具体的三角形形状的事物的本质属性推广为所有三角形的属性，从而概括得到三角形的概念.概括B是将三角形、四边形等的本质属性联系起来，寻找这些本质属性的共同特征，抽象出包含这些图形的多边形的本质属性，将三、四边形的本质属性推广为多边形的本质属性，得到多边形概念.“联系”表现在考察尽量多的对象，寻找和提取它们的共同特征；“推广”表现在扩大对象范围，把若干已有概括的结果作为对象，做出进一步概括.
（3）形成概念和获得规律是概括的两个主要目标.A、B两个概括过程的结果是形成概念.形成概念的概括大都可，以按照这样的模式进行：
这里的具体对象可以是事物的现实原型，也可以是抽象数学对象.
概括是追求共性的思维，因此，数学概括的另一个主要目标是获得规律.形成规律的概括大体上可以按照这样的模式进行：
例如由于在函数和圆锥曲线学习中经常要画出图像或曲线，从而概括出绘制函数图像或者方程曲线草图时的基本规律，即根据需要在定形、定位、定性、定量4者中的某几个方面的达到基本准确.
可见，概念的概括指向本质属性，规律的概括指向共同特征.
2.过程性
数学概括是思维活动的一种方式，是在对数学对象进行思维加工过程中所运用的一种思维动作，因此具有过程性.A、B两个概括表明，这种过程性表现为概括要经历若干阶段，每个阶段需要其它多种思维动作配合进行，逐步达到整个概括过程的完成.
数学概括是一种能力，能力只存在于人的特定活动之中，并在活动中形成和发展.因此，概括不是静态的，它是在数学学习活动中形成、运用并不断得到发展的思维动作.
数学概括的过程性还表现在，概括随着经验的积累而不断提高.随着年龄的增长，经验的丰富，概括的范围逐渐扩大，概括的水平逐渐提高，数学概括的能力不断发展.
3.层次性
概括的层次性主要体现在概括的方式和概括的结果两个方面.
（1）再认型概括和发现型概括是两种不同层次的概括方式.
数学学习中的再认型概括方式，是从特殊的、具体的事物中，看出某些一般的、已经知道的东西，即把一个特例纳入一个已知的一般知识.数学学习中的发现型概括方式，是从孤立的、特殊的事物中发现某些一般的、尚未为自己所知道的东西，即从一些特例推演出一般性结论.
再认型概括与发现型概括，是两个不同层次的概括，发现要比再认的水平高.比如，在问题解决的学习中，学生从具体的数学问题出发，概括出问题的特征，发现它与已知的某个模式相匹配，从而运用已有方法解决新的问题，这属于再认型概括的表现.学生从具体的数学问题解决中，概括出以前尚未知晓的一般规律与方法，并将其应用于新问题的解决，这属于发现型概括的表现.显然，后者需要更高的概括水平，即发现问题解决的规律要比再认问题的模式层次高，也就是发现型概括的水平高于再认型概括的水平.
（2）感性概括和理性概括是两种不同层次的概括结果.
数学概括的结果可以是感性认识上的，也可以是理性认识上.感性概括是在直观层次上的概括结果，是从对象中找出、提取的某种属性，这种属性是物化的或形化的，其抽象意义究竟是什么尚不十分清楚.因此感性概括的本质在于，其所获得的属性依附于对象，属性与对象相互没有脱离，这种感性概括结果的特点是认识仍然停留于事物的外表特征.
理性概括则是在抽象层次上进行，是由对象的属性进一步提炼出抽象意义，使得属性从具体的事物中脱离开来，可见理性概括的本质在于通过抽象使属性脱离具体对象，形成一类对象的共同属性，即本质属性，而这种属性是抽象化或形式化的，属性与对象是相互脱离的.这种理性概括结果的特点是，认识深入到事物的内部特征或抽象的关系.因而理性概括比感性概括是较高水平的概括.
二、数学学习中概括的涵义
根据对数学概括特征的以上分析，关于数学学习中概括的涵义可以得到这样认识：概括是指在数学学习过程中把具有共同特征的事物联系起来进行考察，抽象出数学对象的本质属性，将其推广为包含这一对象的更大范围的同类数学对象的本质属性；或是把具有共同特征的数学对象结合起来进行考察，寻找和抽取其中内在关系和规律的不断发展的思维活动方式或思维动作.
三、数学学习中概括的内容
形成概念和获得规律作为数学概括的目标，渗透在数学学习的各种内容之中.这里着重对数学符号的意义、数学关系、数学结构和数学思想方法的概括进行具体阐述.
1.数学符号意义的概括
数学符号是对数学概括结果的表示，它使进一步概括成为可能，也使数学概括朝着抽象化和形式化方向发展.符号的表示起到将具体内容转变为思想形式的作用，而对于数学学习来讲，更为重要的是将思想形式转变为具体内容，对符号的表现形式与其代表的意义之间的联系进行概括，从而能从符号上把握其所代表对象的本质属性.
对数学符号意义的概括建立在对数学概念深刻理解的基础上.比如，“-a是正的还是负的？”初学代数的很多学生都认为是负的.一个原因是学生没有掌握有理数及其相反数概念的本质，对字母表示数的认识仍然停留在“具体的数”的水平上，因而不能在符号的形式和符号所代表的意义之间建立非人为的联系.实际上-a表示a的相反数，因为a可正可负，所以-a也可正可负.如果继续对a概括，可知a不仅可以表示任意的“数”，而且还可以表示“式”，即各种数学表达式.比如，在学习平方差公式（a+b）（a-b）=a[2]-b[2]以后，就能利用“字母还可以代表一个‘式’”的概括，对诸如（2a[5]x[2]-3b[4]y[3]）（3b[4]y[3]+2a[5]x[2]），（3x+2y+4）（3x-2y-4）等一些新问题，直接运用平方差公式来解决.这种平时被视为“换元”的数学思维活动，本质上是经过数学概括而实现的.
2.数学关系的概括
数学关系的概括包括对不同数学对象之间的关系和同一数学对象不同表达形式之间的关系的概括.
（1）对不同数学对象之间关系的概括.
有效的数学学习常常需要对不同数学对象之间的关系进行概括，寻找共同特征或本质属性.
例1 关于由三角函数的大小关系判断角的取值范围问题.
i）sinα和cosα.
如图1，画一个图即可在单位圆周上根据sinα和cosα的定义作出概括：
图1
单位圆周（一）
直线y=x把坐标平面分成上下两部分.
ii）sinα和tanα.
如图2，用同样的方法，在单位圆周上根据sinα和tanα的定义做出概括：
图2
单位圆周（二）
表面看这些关系似乎不易记忆，但极易概括出一个简单的规律：按第Ⅰ～Ⅳ象限的顺序，依次是“小——大——小——大”.
需要指出，这些结论的概括一定要建立在根据定义推导的原理之上，而且应该是主体经过自己独立的推导而获得；即使是老师告诉的，也应通过自己的独立推导加以验证，这才能真正获得概括的意义，而不是仅仅记住概括的结论.
（2）关于同一数学对象的不同表达形式关系的概括.
数学中的同一数学对象往往有不同的表达形式，概括同一数学对象不同表达形式之间的关系是提高数学学习的有效方法.
例2 复数这个同一数学对象的3种表达形式.
如表1所示，复数通常有代数形式、三角形式、向量（几何）形式，这3种形式中的每种表达形式都反映了复数的本质属性——“数量+方向”：
表1
复数的不同表达形式
3种不同的表达形式之间可以相互转化：
在数学学习中，如果能主动地对复数各种形式之间的上述关系做出概括，就能进一步提高对复数概念本质的认识，并易于形成关于复数的网络型知识结构，易于实现复数不同表达形式之间的转换，从而有利于认识迁移的发生.
3.数学结构的概括
结构的概括包括对数学对象形状结构和形式结构的概括.
（1）对数学对象形状结构的概括.
对数学对象形状结构的概括，主要是指对几何图形或类几何图形结构的共同特点进行概括.
例3 如图3中5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，其中l⊥上面MNP的图形的序号是______.（2003年全国高考试题）
图3
正方体图形（一）
解决本题就是要对正方体中垂直于对角线l的截面的结构进行概括，主要是针对截面顶点所在的位置关系找出规律，从而作出选择.这可以利用图4，概括得到其规律是垂直于AC[，1]的截面必须平行于面BDA[，1]，于是可判断①、④、⑤符合要求.
图4
正方体（二）
（2）对数学表达式形式结构的概括.
对数学表达式的形式结构进行概括，主要是针对表达式形式结构的本质特征进行概括.
例4 求函数
最小值.
观察和分析函数解析式的特征，可以发现函数表达式的形式结构与两点间距离公式有相似之处，从而概括出该函数所反映的内容是动点P（x，0）到两个定点A（0，3）与点B（3，1）距离之和.
在此概括的基础上，就把原来代数的函数问题转化为几何的对称问题，使问题得到简便的解决.
数学知识结构的概括是指对数学知识之间的内在联系做出概括.数学学习的实质是把外在的数学知识结构经过学生积极主动的思维活动，转化为他们头脑内部的数学知识结构.在这个思维活动中，概括扮演重要角色.通过概括，揭示数学知识之间的内在联系，使数学知识结构形成网状分布，从而使每个知识点都不是孤立的，而是与其它知识紧密相连.概括后的数学知识结构更加有序、精练，易于巩固和掌握，便于记忆和迁移，利于促进形成性能良好的认知结构.
4.数学思想方法的概括
数学思想方法是以数学内容为载体，源于数学知识，又高于数学知识的一种策略性知识，比一般的数学知识具有更高的抽象和概括水平，比一般知识更本质、更深刻.数学思想方法的概括可以分为3类（涂荣豹.数学育心理学论稿.南京师范大学研究生课程讲义，1997.80，101）.
一类是概括获得解决某一类具体问题的方法.如分解因式的“十字相乘法”、“分组分解法”，求二次函数最值的“配方法”、“△法”，证明不等式的“做差法”、“做商法”，共面问题的“体积法”等，以及诸如“分母有理化”、“部分分式法”等，这些方法往往是从某一类型问题解决中概括而得到，仅在某种特定的情景下发挥作用，这些方法具有相对固定的“匹配性”，适用的范围较窄，操作性较强，有一定的程序或步骤，运用时只要按部就班进行即可.
另一类是概括获得解决数学问题的基本方法.如用于数形转化的“坐标法”、“几何图形法”，用于等价转换的“恒等变形”、“同解变形”，用于不等价转换的“放大缩小”、“相似变形”，用于数学变换的“平移、旋转、反射、伸缩、对偶”，以及换元法、消元法、降维法、割补法、待定系数法、数学归纳法、反证法、构造法等.它们并不固着于某一类型的问题，而是在若干类型的问题中都可以采用，其适用的范围扩大，操作性降低.
再一类是概括获得数学的思想观念.如等价转化的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想，数形结合的思想，以及解析几何的思想，向量的思想，随机的思想，极限的思想，公理化思想等.这些数学思想是关于数学的理论和方法的本质性认识，具有很高的抽象性，在数学活动中具有定向和指导性，有很大的适用范围.
对数学思想方法进行概括，能够挖掘出隐藏在不同表面下的统一性，达到对数学知识的深刻认识.正如米山国藏所说的：“在数学中，有相当多的东西，尽管它们是由同一的精神和思想所思索出来的，但由于其外表形式的差异，似乎一般多将它们作为单个独立的对象来看待.”[3]如果把这种“同一的思想”概括出来，就可以对数学知识有更深刻的认识，使得所学的零散知识形成有机的整体.
四、数学学习中概括的过程
对数学对象的概括，一般经过5个阶段：观察阶段、抽取阶段、筛选阶段、推广阶段、确认阶段.这5个阶段中的某些阶段在实践中或许可以简缩或甚至于不被主体自身觉察，但却是逻辑地存在于数学活动的概括的过程之中.这5个阶段并不总是线性进行，有时需要返回某个阶段，然后再依次进行.
1.观察阶段.观察就是从所给数学材料的形式和结构中，辨认出对解决问题有效的成分.数学概括需要敏锐的观察力，抓住事物的主要特征和关键之处，从而迅速地把握事物的本质和内在联系.
2.抽取阶段.是将属性或特征从对象中抽取出来的过程.抽取不同于抽象.抽取是提取、找出对象的特征，但这些对象究竟具有什么共同特征尚不清楚，而且属性依附于事物，相互没有脱离.抽象则是把共同特征提炼出来，把属性从具体事物上脱离开来.抽取出来的属性往往可能是数学对象的局部特征，未必都是数学对象的本质属性或共同特征.
3.筛选阶段.这一阶段要对在抽取阶段中用数学语言表述的属性和特征按照包含、并列、矛盾、相容、等价等各种逻辑方式去比较、区分，去除不合理的部分，选出合理的部分.
4.推广阶段.第三阶段所筛选出来的属性和特征通常仍带有具体的被概括的事物的痕迹.推广阶段要解决的是如何将特殊推广到一般，这种推广的主要逻辑途径是归纳与类比.
5.确认阶段.因为第四阶段的归纳和类比都是合情推理，带有假设的成分，所以概括出的数学对象的本质属性或共同特征，仍需要进行检验或证明，确定其是否符合数学学科的真理性标准.这时可能出现两种情况：确认了原来的假设或者否定了原来的假设，此时，主体只能再次重复以上的4个阶段，修正原来的过程中的误漏，直至成功.
五、数学学习中概括的方式
按照概括过程中所表现出来的主要特征，可以把数学学习中概括的方式分为6种类型：类比式概括、归纳式概括、演绎式概括、经验式概括、理论式概括和简约式概括.这些概括方式往往并不单独使用，而是结伴应用于概括过程中.
1.类比式概括.类比式概括，就是把某一个领域的规律类比到其他领域，从而扩大已知规律的范围.例如欧拉把n次代数方程有n个根的结论，类比到无限级数求和的问题中，设想无限次方程也有无穷多个根，从而提出这个级数和的猜想.又如立体几何中的一些公式、定理是把平面几何中的规律，通过类比式概括推广过来.
2.归纳式概括.归纳式概括是根据若干个别对象或情况的特征，概括出问题发展的规律或者一类问题的解决方法.归纳式概括有完全归纳概括和不完全归纳概括两种类型.完全归纳概括，穷尽了所有可能的情况，是精确的概括.而不完全归纳概括未必是正确的概括.
对解题学习中的某些规律可以通过归纳式概括获得.例如，在直角坐标系中，图像横向平移的规律“左正右负”，在极坐标系中图像旋转的规律“顺正逆负”，就是在解题学习的过程中，对若干个平移或旋转的具体问题进行归纳，概括出它们的共同特征而得到的，所获得的规律可以适用于其它平移或旋转的问题.
3.演绎式概括.演绎式概括是指在把握一类客体的本质属性基础上，识别新的客体的特征，利用这些本质属性把客体统一到这类事物中来.这是从一般到特殊的概括.例如根据偶函数的本质属性是“函数的图像关于y轴成轴对称图形”，将一些具体函数的性质与这一本质属性进行比较，把其中的某些函数纳入或统一到偶函数中来，从而达到对这些具体函数的深入认识.
4.经验式概括.经验式概括是指通过经验，对具体对象所表现出来的共同特征做出概括.这是从特殊到一般的概括.例如，学习函数的映射定义，是针对诸如“信件与邮箱”、“运动员与体育项目”、“观众与座位”、“学生与家庭”、“自然数与完全平方数”等对应关系，主体利用自己的经验，抽取其中某些对应的共同特征——“原象集合中每一个元素有且只有一个象”，进而概括出函数的映射定义.
解题学习中某些解题策略也是通过经验式概括而获得，其中具体事物是指若干具体解题过程，共同特征是解决这类问题的具有一般意义的规律.
5.理论式概括.理论式概括是，由对某些事物的抽象认识上升为一种具有普遍性认识的概括.数学思想方法多由过理论式概括获得，它们是在解决各种数学问题的经验基础上，通过分析问题的结构系统，揭示蕴涵在问题解决过程中规律的认识而概括出来的.
6.简约式概括.简约式概括是指对数学知识加以提炼、整理，获得简约的、概括的认识.简约式概括在数学学习中是必要的，即所谓“博学详说，由博返约”，博学而不能返约，那就变成知识的堆积，用处不大，华罗庚先生所说的“由厚到薄”亦指简约式概括.
例如，对直线方程的4种形式之间的关系可以做出如下简约式概括：
上述概括表示：其它3种形式的直线方程都可以由点斜式导出.如斜截式是把点斜式中的“点（x，y）”换成特殊“点（0，b）”；两点式是把点斜式中的“斜率K”换用“两点（x[，1]，y[，1]）、（x[，2]，y[，2]）”来表示，而当这两个点为特殊的“两个点（a，0）、（0，b）”时，就得到截距式.通常，一条直线可以由点和方向确定，也可以由两个点确定，点斜式与斜截式是前者的反映，两点式与截距式是后者的体现.
由于篇幅的关系，凡涉及数学具体内容只能点到为止，有些甚至未能触及，敬请读者原谅.