“直线与平面垂直的定义与判定”的教学设计与说明，本文主要内容关键词为：教学设计论文,直线论文,平面论文,定义论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教材分析
1.教学内容
直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。
课本通过让学生观察旗杆与它在地面上影子的位置关系引出直线和平面垂直的概念：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。而直线与平面垂直的判定定理是让学生通过折纸试验来感悟的：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定具有可操作性。课本中例1给出了判定直线与平面垂直的一个间接方法：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
2.地位作用
直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的轴心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
通过该内容的学习，进一步培养和发展学生空间想象能力、合情推理能力、一定的推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”。
二、学情分析
1.基础水平
之前学生已经学习了两直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质，有了研究方法的体验，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识。
2.认知困难
学生学习的困难之一，是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的。因为学生直观感知中的形象和定义中“直线与平面内的任意一条直线都垂直”的内涵是有距离的。教学中首先通过一些实例让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再利用“旗杆与变动的影子的关系”的情境，从中概括出定义，体会直线与平面垂直定义的合理性。
学生学习的另一个困难是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍。教学中可充分利用“折纸”试验，引导学生进行操作、观察、思考与说理，挖掘“折纸”活动的数学内涵，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认。
三、教学目标
(1)知识与技能：借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题。
(2)过程与方法：在探索直线与平面垂直判定定理的过程中进一步培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体验和感悟转化的数学思想方法。
(3)情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心。
四、重点难点
(1)教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
(2)教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。
五、教法教具
(1)教法：本课采用“引导—探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲。教师引导学生通过观察、分析、实验、讨论、说理等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，通过对例题和练习的思考、板演、交流与说理，体验思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法。同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率。
(2)教具：投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台，结合使用几何画板），三角板，教鞭（表直线）。学生自备学具：三角形纸片、笔（表直线）、课本（表平面）。
六、教学过程
1.直观感知直线与平面垂直的形象
在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形。
问题1 请举出日常生活中具有直线与平面相交的例子，你见到较多的直线与平面相交的情形是什么？
意图：基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题。
师生活动：学生举例，通过比较，引导学生先研究直线与平面垂直的情形，教师根据学生举例的情况适当补充，如旗杆与地面、跨栏的支架与地面的位置关系等。
问题2 在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？
意图：基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系。
师生活动：学生举例，如长方体的侧棱与底面，圆柱、圆锥的轴与底面位置关系等。
2.抽象概括直线与平面垂直的定义
问题3 根据我们已有的经验，对于直线与平面垂直的位置关系，研究的内容、方法分别是什么？
意图：明确研究的内容，通过对已有知识经验的回顾，引导学生用平面外直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形，体会知识形成的自然性。
师生活动：学生思考回答，在考察该直线与平面内直线的位置关系过程中，教师适时给出“旗杆与变动的影子的关系”的情境。
问题4 如图1，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC。
图1
(1)它们的位置关系是怎样的？
(2)随着太阳的移动，它们的位置关系会发生改变吗？
(3)AB与地面上任意一条不是影子（不过旗杆底部B）的直线B'C'的位置关系又是什么？
意图：第(1)(2)问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第(3)问旨在引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直。
师生活动：学生思考、分析与说理，教师可利用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程。接着引导学生思考：能否用一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，来定义直线与平面垂直。
问题5 若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你认为该直线与此平面垂直吗？
意图：通过观察、讨论与举例，引导学生认识定义的“充要性”与“合理性”，由此得出直线与平面垂直的定义。
图2
师生活动：引导学生继续操作、观察，如图2，当平面外的直线AB（用一支笔表示）与平面（用书本表示）不垂直时（直观感知），平面内就可以找到直线BC（可用另一支笔表示）与平面外的这条直线不垂直。接着引导学生给出定义。
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
画法 如图3，通常把直线l画成与表示平面α的平行四边形的一边垂直。
辨析1 命题“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直”是否正确？为什么？
意图：使学生明确定义中“任意”的要求。
师生活动：引导学生用笔表示直线，用书本表示平面来举出反例，教师可结合图4说明。
3.操作确认直线与平面垂直的判定定理
通常定义可以作为判定的依据。
问题6 如图5，标准的跨栏，其支架必须竖直立于地面（即支架所在直线与地面所在平面垂直），如何进行检验？
意图：引发学生认知冲突，激发探索判定定理的需要，将平面内直线条数从“无限”转化为“有限”。
师生活动：先让学生思考用定义判断不方便的原因，再讨论平面内直线减少到多少条才合适，排除一条和两条平行的情形，针对两条相交情形，引导学生进行折纸活动。
实验 请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如图6，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。
问题7 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？
意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面。垂直（如图7）。
图7
师生活动：让学生沿A点进行各种翻折，并充分观察、思考与讨论，教师参与活动，
问题8 当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后AD始终与桌面所在平面。不垂直吗？为什么？
意图：回归定义分析，明确判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直。
师生活动：学生继续观察并说理，如图8，当AD与BC不垂直时，翻折后AD始终与桌面内的直线BD（或DC）不垂直。
图8
问题9 当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折，
(1)翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？
(2)翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？
意图：问题(1)旨在让学生继续操作并确认AD始终与桌面所在平面。垂直的事实，问题(2)意在引导学生发现：当AD垂直于平面α内过D的任意两条相交直线时，AD就垂直于平面α。
师生活动：引导学生继续操作观察，进行合情推理并获得结论。
问题10 AD⊥BD,AD⊥CD，就有AD⊥α。它与直线与平面垂直的定义相符合吗？
意图：建立了定义与判定之间的联系，有助于学生发现判定的本质，也有助于深化学生对定义的理解。
师生活动：学生解释说明，如下页图9，当AD⊥BC时，固定BD，保持DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分绕着AD旋转，旋转过程中发现AD始终与平面α垂直（直观感知），同时AD与平面α内任意一条过点D的直线都垂直，因此AD与平面。内任意一条直线都垂直。
图9
问题11 根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？
意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理。
师生活动：学生叙述结论，教师可追问：上述平面内两条相交直线与平面外的这条直线是否一定要有公共点？以明确平面内两相交直线的任意性，接着指出前面的验证过程并非定理的严格证明，在后续学习中将借助空间向量的方法来证明，再引导学生给出文字、图形、符号这三种语言表示，明确定理中的五个条件。
定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（如图10）
图10
用符号语言表示为：
辨析2 命题“如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面”是否正确？为什么？
意图：强化定理中“相交”直线的条件。
师生活动：学生思考作答，教师强调“相交”条件。接着让学生给出检验跨栏的支架是否竖直立于地面的办法：只要与地面上两相交横杆垂直。
4.初步应用
例1 如图11，在正方体AC'中，下列结论是否正确，为什么？
①AD⊥平面DCC'D'；
②BD⊥平面DCC'D'；
③AD⊥CD'。
意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用。其中①是判定定理的应用，②是定义的应用，③是判定定理与定义的综合应用。
师生活动：学生思考作答，教师参与讨论。
例2 如图12，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α，
意图：能分别用判定定理与定义解决问题，会用证明问题的一般思维策略：由已知想可知（性质），由未知想需知（判定），合理选择辅助线。
师生活动：由学生分析思路并口述证明过程，师生共同评析，接着引导学生阅读课本，注意证明题书写的规范性，并用文字语言叙述：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。
练习 如图13，在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC，求证：VB⊥AC。（课本。
练习1）
意图：进一步领会问题解决的一般思维策略，合理选择辅助平面，体会转化思想在解决问题中的作用。
图13
师生活动：学生板演练习，师生共同评析。
5.总结反思
(1)通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
(2)上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？
(3)你还有什么收获与感想？
意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。
6.作业
(1)如下页图14，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。求证：PO上平面ABCD。
(2)课本
练习1。
(3)课本
探究题：如图15，直四棱柱A'B'C'D'-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，A'C⊥B'D'?
意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。其中第(1)题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第(2),(3)题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理。
七、板书设计（略）
八、设计说明
1.设计思想
本设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念，以情境认知理论和建构主义作为理论依据，体现“以学生为主体，教师是课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教学思想，不仅要关注学生“学会”，而且更要关注学生“会学”，让学生通过观察、思考、实验、分析、合作、反思等过程建构新知识，学会从数学的角度去观察事物和思考问题。整个教学设计将知识的发生、发展过程与学生的思维过程进行有效融合，体现高中几何的教育价值，合情推理与逻辑推理并重，几何直观能力与抽象思维能力并重，让学生在自主探索的过程中理解概念，掌握定理，感悟蕴涵其中的数学思想方法，
2.设计思路
高中新课标强调立体几何教学中用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质。本节课是在该要求的指导下，借助学生已有的研究经验，按照“感知实例—抽象定义—确认判定—初步应用”的研究主线展开。
直线与平面垂直是日常生活中常见的特殊线面位置关系，教学中通过引导学生举例，有助于学生直观感知直线与平面垂直的形象，通过在空间几何体的直观图中寻找线面垂直的位置关系，有助于从中抽象出线面垂直的直观图形，培养学生的几何直观能力。
直观感知后给线面垂直下定义是自然的事，为了帮助学生理解定义中的“任意一条”，本设计以概念的形成方式进行，教学中首先让学生回忆以往的研究经验，引导学生运用“降维”转化的方法思考问题，考察直线与平面内直线的位置关系，再通过分析旗杆与影子的位置关系这种学生熟悉的生活实例，让学生通过观察、实验、归纳、猜想等思维活动逐步概括得出线面垂直的定义，使定义教学自然、合理、准确，有助于学生对线面垂直本质的理解，也有助于提高学生的抽象概括能力。
对判定定理的教学，课标不要求在必修课程中进行证明，而强调操作确认并归纳出判定定理。但是怎样操作才能归纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不降低学生的思维水平，不仅体现合情推理，而且体现逻辑推理？本设计充分利用教材中折纸试验的素材，通过一系列问题的引导，给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入学生的学习过程中。同时让学生在操作过程中进行解释与说理，挖掘折纸试验所反映的数学本质，建立判定与定义的有效联系，体现了操作确认过程中-的逻辑推理成分，达到合情推理与逻辑推理并重的效果。另外，通过定理的探索过程，也培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力。
例题、习题的选择充分考虑到知识应用的层次性，从让学生理解、记忆定义与判定定理及简单应用，到灵活应用判定定理和定义进行线线、线面位置关系的转化等，巩固所学知识，体会蕴含的转化数学思想，丰富证明问题的思考策略。
3.问题思考
(1)怎样充分考虑学生可能给出的概念定义水平，要求学生自己给出直线与平面垂直的定义，然后通过辨别、解释等活动来促进学生形成正确的数学概念。
(2)怎样充分挖掘“折纸”活动的数学内涵，让学生充分展开思维活动，使学生明确折纸的目的、“观察”的角度、“确认”的途径。
(3)如何通过恰当的教学设计，组织学生的认知活动，在“直观感知、操作确认”中不降低学生的思维水平，不仅体现合情推理，而且体现逻辑思维。