李丽花[1]2007年在《二阶椭圆方程的解的凸性研究》文中提出二阶椭圆方程的解的几何性质是偏微分方程研究中的一个经典主题,其中凸性的研究是重要组成部分.讨论了处理二阶椭圆方程解的凸性的若干方法,并结合具体实例,对这些方法的应用进行了比较.
蒋飞达[2]2013年在《几类Monge-Ampère型方程的Dirichlet问题》文中研究说明Monge-Ampere型方程是一类重要的完全非线性偏微分方程,这类方程来源于最优运输问题、几何光学和共形几何等。本文考虑的Monge-Ampere型方程形如：det[D2u-A(x, u, Du)]=B(x, u, Du),其中A为矩阵函数,右端函数B>0。当矩阵函数A叁0时,方程变为标准的Monge-Ampere方程。本文主要有两方面的研究内容,一方面通过构造闸函数得到解的直到二阶导数的先验估计,并运用连续性方法证明了Monge-Ampere型方程Dirichlet问题经典解的存在性。文中的闸函数是在最少的假设条件下利用光滑下解构造出来的,构造的过程有具有一定的技术性,这正是本文克服的一个主要难点。在这方面的研究中,我们假设矩阵函数A仅满足正则条件(即A3w条件)且假设光滑下解存在。另外,在相同的假设条件下,类似的Dirichlet问题经典解存在性的结论还被推广至一类增广的Hessian方程,其中Hessian算子的各种性质得到了充分运用。另一方面考虑了一类特殊而有着重要应用的最优运输方程,给出了这类方程Aleksandrov广义解和粘性解的定义,并证明了这两种弱解之间的等价性。在证明此等价性结论时,也运用了上述建立的Monge-Ampere型方程Dirichlet问题经典解的存在性结果。本文中,我们由下解的存在性得到解的存在性,这种处理Dirichlet问题的方法被称为下解方法,这种下解方法可以不依赖于边界的几何性质而直接运用假设存在的光滑下解来构造闸函数。因此,我们研究的Dirichlet问题是在边界光滑的有界区域上,而不需要对区域加凸性等其他几何性质的要求。在讨论Dirichlet问题的解的二阶导数估计时,我们仅仅假设矩阵函数A的正则性和Dirichlet问题一个光滑下解的存在性。由于矩阵函数A的正则性是保证方程解的c1正则性的必要条件,假设下解存在又是运用下解方法所必须的,因此,可以认为本文所建立的解的二阶导数估计在某种意义上是最优的。由于最优运输问题、几何光学和共形几何等方面的应用中都有各种不同的具体形式的Monge-Ampere型方程,它们的形式都满足本文所讨论的一般形式的Monge-Ampere型方程,因此,本文讨论的一般形式的Monge-Ampere型方程的Dirichlet问题经典解的存在性结论,可被用于许多应用问题中产生的各种不同的方程。
张伟[3]2011年在《一类椭圆偏微分方程解的水平集的高斯曲率估计》文中认为凸性作为一个重要的几何特征,长期以来一直是椭圆偏微分方程研究中的重要主题.本文的主要研究对象是椭圆偏微分方程解的水平集的凸性.利用经典的极大值原理,本文给出了p-调和函数水平集高斯曲率的最佳正下界估计,也给出了Rn：极小曲面水平集高斯曲率的最佳正下界估计和一类半线性方程解的水平集高斯曲率的正下界估计.另一方面,本文还研究了p-调和函数水平集的高斯曲率关于函数高度的凹性.具体地说.本文的主要结果如下Ⅰ.p-调和函数水平集高斯曲率的正下界估计定理0.0.1.设Ω(?)Rn(n≥2)是一个有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω)是定义在Q上的p-调和函数,即u满足p-调和方程div(|▽u|p-2▽u)=0in Ω.设1 晏华辉[4]2014年在《退化椭圆方程解的研究》文中研究表明本文主要研究一类涉及p-拉普拉斯算子非线性椭圆偏微分方程在全空间的鞍形解.我们通过应用上下解方法、单调迭代方法等,得到了这类椭圆方程在偶数维空间R2m(2m≥p>2)鞍形解的存在性结果.并且研究了最大鞍形解与最小鞍形解的存在性问题,得到了在所有鞍形解中必定存在最大与最小鞍形解,即所谓的准最大与准最小鞍形解.进一步我们应用单调迭代方法得到了严格意义上的最大鞍形解,即在所有在Simons锥C上等于零而且具有与表达式s-t相同符号的有界弱解(不一定是鞍形解)中必定存在所谓的最大鞍形解.我们通过对双稳扩散方程鞍形解的二阶偏导应用一个极值原理,得到了这类方程鞍形解的凸性结果.然后利用所得到的鞍形解的凸性结果,结合鞍形解的性质建立了二维空间情形鞍形解的水平集的单调性与凸性结果.最后我们证明了一类具有线性的加权的Neumann边界条件的退化椭圆问题非常弱解的存在唯一性.第一章,我们简单介绍了所研究问题的背景及本文的主要结果.交代了文中需要用到的一些概念与基本定理等预备知识,包括全文结构的简单安排介绍.第二章,我们考虑一类涉及p-拉普拉斯算子非线性椭圆方程在全空间的鞍形解一△pu=f(u), x∈R2m.我们应用上下解方法得到了这方程在更多偶数维空间R2m(2m≥p>2)鞍形解([39]中已经得到在偶数维空间R2m(2m≥2p>4)鞍形解的存在性)的存在性.其中我们需要引入所研究问题在某个区域Ω(有界或无界)内的有界弱解为半稳定的概念.然后我们得到了准最大与准最小鞍形解的存在性,即证明了所研究问题的所有鞍形解中必定存在最大与最小鞍形解.其中关键的地方是需要证明在某个区域内正解的半稳定性性质,以及找到合适的上下解,并且说明所得解必为非平凡解(即非常数解).其中我们用到了所研究问题对应的ODE方程的解是该问题在Simons锥内的上解这一事实.第叁章,我们应用单调迭代方法,首先定义uR,0,然后说明所得到的解序列{uR,k}单调有界等事实,再说明它们的极限就是我们所要找的解.总之我们得到了原方程的最大鞍形解,即在所有在Simons锥C上等于零而且具有与表达式s-t相同符号的有界弱解(不一定是鞍形解)中必定存在所谓的最大鞍形解.第四章,我们通过对鞍形解的二阶偏导utt应用一个极值原理,得到了双稳扩散方程一△u(x)=f(u(x)), x∈R23,鞍形解的部分凸性,即得到二阶偏导utt在H={s>t}中的符号保持不变的性质,从而得到uss在{t>s}中也保持符号不变.利用二阶偏导utt在H={s>t}中的符号不变的性质,结合鞍形解的性质建立了二维空间情形鞍形解的水平集的单调性与水平集跟坐标轴交点处的凸性结果.第五章,我们得到了具有线性的加权的Neumann边界条件退化椭圆问题非常弱解的存在唯一性结果与一个估计式.其中α∈(-1,1),且 朱静勇[5]2017年在《关于几何偏微分方程的若干研究》文中研究指明本文的主要内容有两个部分,分叁章.第一部分包括第二章和第叁章,分别研究了二阶椭圆方程中做先验估计的两种方法——下解方法和P-函数方法.第二章以四元数Monge-Ampere方程的Dirichlet问题为例,利用下解方法我们推导出解在一般区域上的先验估计,并以此得到一个存在性定理.从而,我们可以回答S.Alesker在文献[4]中提出的第四个问题.第叁章主要考虑叁维Minkowski空间中常平均曲率方程的Dirichlet问题.基于解的临界点的唯一性,我们利用P-函数方法改进文献[14]中的梯度估计,从而,获得解的高度估计.最后,在本文的第二部分(即第四章),我们集中讨论双曲空间中的浸入超曲面和球的区域上共形度量之间的关系,并将文献[17]中的整体对应关系推广至二维。作为应用,我们得到一个Liouville型定理和一个新的更强的Bernstein型定理. 李丽花[6]2004年在《二阶椭圆方程解的凸性研究》文中指出二阶椭圆方程解的几何性质是偏微分方程研究中的一个经典主题，其中凸性的研究是重要组成部分，本文介绍了处理解的凸性的若干方法，并且利用构造凹包的技巧，证明了如下定理： 定理 设Ω为R~n中有界凸域，λ＞0，p＞0，若u∈C((?))∩C~2(Ω)为 (?) (0.1)解，则u~(1/2)为Ω中凹函数，特别地，u的水平集凸。 问题(0.1)由Kawohl[23]提出，当p=1时，Kawohl[23]证明了arcsin(1-λu)在Ω中为凸函数，从而u的水平集凸，但当p＞0且p≠1时，Kawohl的方法不再适用。 徐金菊[7]2004年在《二阶椭圆方程解的几何性态》文中进行了进一步梳理本文主要用凹包方法证明了以下结果：考虑如下问题Ω(?)R~n为有界凸区域。 另外，我们还给出了拉普拉斯方程和一般方程的Pinching-估计以及Hamilton张量极大值原理的一个应用。 侍述军[8]2012年在《一类椭圆偏微分方程解的凸性估计及其应用》文中研究说明解的几何性质是偏微分方程理论中的一个基本问题,而凸性作为一个重要的几何特征,长期以来一直是椭圆偏微分方程研究中的重要主题.本文的主要研究对象是椭圆偏微分方程解的凸性估计.利用经典的极大值原理,本文给出了有界凸区域上Saint-Venant扭转问题解的凸性估计以及Laplace算子第一特征函数和格林函数的凸性估计.另一方面,本文还研究了Monge-Ampere方程解的水平集的高斯曲率和平均曲率估计.具体地说,本文的主要结果如下.Ⅰ. Saint-Venant扭转问题解的凸性估计定理0.1.设Ω是Rn中的光滑有界凸区域,n≥2,u是Saint-Venant扭转问题的解.如果v=-(?)是严格凸函数,那么函数满足如下的微分不等式:Δψ1≤0mod ((?ψ1) in Ω,这里我们模掉了含有局部有界系数的梯度项.进而,函数φ1在边界aQ达到其最小值并有如下估计.其中K是(?)Ω的高斯曲率.最后,函数φ1在Ω内部达到其最小值当且仅当Ω是椭球(圆).推论0.2.设Ω是Rn中的光滑有界严格凸区域,kmin,kmax和Kmin分别是边界aQ的最小主曲率,最大主曲率和最小高斯曲率.如果u是Saint-Venant扭转问题的解且v=-(?),那么v的图的高斯曲率KG满足如下的最佳估计:当Ω是Rn的标准单位球时,上式中的等号在原点处成立.Ⅱ. Laplace算子第一特征函数的凸性估计定理0.3.设Ω是Rn中的光滑有界凸区域,n≥2,u>0是Laplace算子第一特征值问题的解.如果v=-log u是严格凸函数,那么函数满足如下的微分不等式:Δψ2≤0mod ((?)ψ2) in Ω,这里我们模掉了含有局部有界系数的梯度项.进而,函数φ2在边界达到其最小值.因而,我们得到这一问题解的如下估计其中K是aQ的高斯曲率.Ⅲ.格林函数的凸性估计定理0.4.设Ω是Rn中的光滑有界凸区域,n≥2, x0∈Ω, u>0是Ω上奇点位于x0的格林函数,即如下问题的正解,其中δ(x-x0)是在点x0的Dirac测度.当n=2时,令u=e-αu,α>2π,当n≥3时,令v=u1/2-n.如果v是严格凸函数,那么函数ψ=v2-n2det D2v,即,或满足如下微分不等式:△ψ≤0mod((?)ψ) in Ω{x0),这里我们模掉了含有局部有界系数的梯度项.进而,函数φ在边界aQ上达到最小值.对n≥3,我们有如下估计其中K是(?)Ω的高斯曲率.推论0.5.设Ω是Rn中的光滑有界严格凸区域,n≥3,x0∈Ω,u>0是Ω上奇点位于x0的格林函数且v=u1/2-n.那么v在Q{x0}上是严格凸的.Ⅳ. Monge-Ampere方程解的水平集的高斯曲率和平均曲率估计定理0.6.设Ω是Rn中的有界凸区域,n≥2.若u是如下Monge-Ampere方程Dirichlet (?)问题的严格凸解,则函数在边界aQ达到它的最大值.定理0.7.在上述定理相同的假设下,函数在边界(?)Ω上达到它的最大值.而且,φ在Ω内部达到它的最大值当且仅当n=2时,Ω是椭圆而n≥3时,Ω是球.推论0.8.设Ω是Rn中的有界光滑严格凸区域,n≥2.若u是上述定理中Monge-Ampere方程Dirichlet问题的严格凸解,则函数K|(?)u|n+1和H|▽u|3仅在边界aQ上达到它们的最大值.从而对x∈ΩΩ',我们有估计其中Ω'={x∈Ω|u(x) 王楠[9]2014年在《扭曲刚性方程解的水平集的凸性估计》文中研究指明方程的解的几何性质是椭圆型偏微分方程中的基本问题之一,而凸性作为几何对象的一个重要特征,长期以来都是椭圆型偏微分方程中重要的研究主题Saint-Venant扭转问题是材料力学和弹性力学中常见的问题,而解决Saint-Venant扭转问题的关键就是求解它的应力函数所满足的偏微分方程Saint-Venant扭转问题应用的范围很广,小到螺丝钉和金属丝的扭转,大到工程构件和桥梁建筑的扭转,都和人们的日常生活密切相关.因此,研究Saint-Venant扭转问题有着重要的意义及必要性.而本文所研究的对象就是与Saint-Venant扭转问题有关的一个方程.水平集的凸性是一个非常精细的问题,本文对方程△u=2的解的水平集的凸性作了一系列的研究.首先说明方程△u=2的解的水平集是凸的,然后利用常秩定理说明方程△u=2的解的水平集是严格凸的,从而对方程△u=2的解的水平集做一个定量估计.最后一部分是本文最核心的部分,主要说明是凹的.本文主要的定理表述如下：定理1.1.设Ω是R2中一有界的光滑区域且u是椭圆偏微分方程△u=2在Ω中的一个解.另设在区域Ω上有、▽u、≠0,并且u的水平集沿外法向▽u严格凸.进一步可设K是u的水平集的曲率.那么函数、▽u、5K在(?)Ω上达到极小值.定理1.2.设Ω是R2中有界的光滑区域为方程在Ω中的一个解.假设在Ω上有|▽u|≠0,令且u的水平集是严格凸的,对于函数有 韩菲[10]2010年在《半线性椭圆方程k-凸解的常秩定理》文中进行了进一步梳理解的几何性质是椭圆偏微分方程理论中一个基本的问题.对方程解的凸性的研究,既是分析研究的重要内容,也是研究方程本身的需要.方程的解是否凸;若非凸,是否为部分凸,这样的凸性问题是一个长期以来倍受关注的话题.本文讨论的是解的一种部分凸性:k-凸,即解的Hessian矩阵的任意k个特征值的和在何种条件下为非负.在微分几何与偏微分方程领域,对解的k-凸性质的研究都很感兴趣.本文利用强极值原理,给出了Rn上半线性偏微分方程k-凸解的常秩定理,并利用常秩定理和连续性方法得到预定平均曲率的k-凸超曲面的存在性.全文共四章.第一章介绍了凸性研究史上的一些经典结果,并为后面要用到的一些名词和符号进行必要的说明.第二章给出了Rn上Poisson方程的k-凸解的常秩定理.分两部分,第一部分讨论了2-凸解的常秩定理,基本的想法都蕴含于其中.第二部分讨论k≥3的情形.第叁章得到了Sn上半线性方程k-凸解的常秩定理.第四章给出了Rn上预定平均曲率的k-凸星形超曲面的存在性. [1]. 二阶椭圆方程的解的凸性研究[J]. 李丽花. 上海电力学院学报. 2007 [2]. 几类Monge-Ampère型方程的Dirichlet问题[D]. 蒋飞达. 南京理工大学. 2013 [3]. 一类椭圆偏微分方程解的水平集的高斯曲率估计[D]. 张伟. 中国科学技术大学. 2011 [4]. 退化椭圆方程解的研究[D]. 晏华辉. 湖南大学. 2014 [5]. 关于几何偏微分方程的若干研究[D]. 朱静勇. 中国科学技术大学. 2017 [6]. 二阶椭圆方程解的凸性研究[D]. 李丽花. 华东师范大学. 2004 [7]. 二阶椭圆方程解的几何性态[D]. 徐金菊. 华东师范大学. 2004 [8]. 一类椭圆偏微分方程解的凸性估计及其应用[D]. 侍述军. 中国科学技术大学. 2012 [9]. 扭曲刚性方程解的水平集的凸性估计[D]. 王楠. 曲阜师范大学. 2014 [10]. 半线性椭圆方程k-凸解的常秩定理[D]. 韩菲. 中国科学技术大学. 2010参考文献：