孟祥国[1]2003年在《有关有理曲线曲面的多项式逼近问题研究》文中研究表明有理曲线和曲面作为一类重要的逼近函数，在计算机辅助设计与制造中有着广泛的应用。尤其随着NURBS被确定为国际的标准后，更奠定了有理函数在CAD中的主导地位。然而由于计算的复杂性和设计的需要，有时我们还需要用多项式函数来逼近有理曲线和曲面。 在逼近论中，用多项式逼近有理式的经典的方法是各种插值与算子逼近方法，如Lagrange插值、Hermite插值和Bernstein多项式逼近等。这些逼近方法或者收敛较慢或者收敛性难以保证。 基于实际问题的需要，提出了区间曲线和区间曲面的概念，用它来做逼近问题。区间曲线和区间曲面是数值分析领域内作为误差分析主要工具的区间分析方法在CAGD中的应用和推广。随着对区间曲线曲面的深入研究，人们开始用区间曲线曲面来逼近曲线曲面。 本论文中，第一章首先介绍了有理曲线曲面的多项式逼近研究工作的发展情况和区间曲线曲面一些相关知识。第二章主要介绍了这方面以前的工作。第叁章主要介绍了有理曲线的区间多项式逼近。第四章主要介绍了有理曲面的区间多项式的逼近，首先简单介绍了基于泰勒展开来做的区间曲面逼近，后面是本文的主要工作，我们基于优化方法得到了更好的区间曲面逼近，它也是本文的重要部分。
杨洁[2]2016年在《基于M(o|¨)bius变换的二次曲面的双四次多项式逼近》文中认为计算机辅助几何设计(CAGD)主要研究自由型曲线曲面,而以Bernstein为基函数的有理B(?)zier曲线曲面因其具有良好的几何特性,在实际工程中得到了广泛的应用。但是由于有理曲线曲面微分和积分计算的复杂度以及产品设计中不同系统之间数据交换和传递的需要,有时还需要用多项式曲线曲面来逼近有理曲线曲面,所以有理B(?)zier曲线曲面的多项式逼近目前依然是一个值得深入研究的课题。在以往的有理B(?)zier曲线曲面的多项式逼近方法中,大部分文章都是在L2范数下进行逼近研究。而本文提出了一种基于M(o|¨)bius参数变换的新距离函数来近似Hausdorff距离,并在该距离下探讨二次曲面(即双二次有理B(?)zier曲面片)的双四次多项式逼近问题。通过将逼近曲面的控制顶点分为边界点和内部顶点两部分,分别进行边界曲线及二次曲面内部的多项式逼近,将逼近曲面的控制顶点用M(o|¨)bius变换中的参数进行表示。然后,通过求解新逼近距离函数的最小值,得到M(o|¨)bius参数变换中的最佳参数值,以及双四次多项式逼近曲面的控制顶点。最后,用实例证明了该方法的有效性和正确性。
方燕[3]1999年在《有理曲线和曲面的分片多项式逼近》文中研究指明本文利用摄动的思想，以摄动有理曲线（曲面）的系数的无穷模作为优化目标，给出了用多项式曲线（曲面）逼近有理曲线（曲面）的一种新方法．同以前的各种方法相比，该方法不仅收敛而且具有更快的收敛速度，并且可以与细分技术相结合，得到有理曲线与曲面的整体光滑、分片多项式的逼近．
徐惠霞[4]2008年在《B样条多重乘积理论与有理曲线曲面多项式逼近技术的研究》文中指出NURBS(非均匀有理B样条)曲线曲面和有理叁角Bézier曲面是几何设计与造型中的常用工具。其中,B样条函数的多重乘积理论,NURBS曲线曲面曲率单调变化的条件和导矢界的估计,以及有理叁角Bézier曲面的多项式叁角Bézier曲面逼近,由于直接关系到计算机辅助设计系统的形状控制、绘制效率、算法的有效性、数据的交换和传递等而成为当前的研究热点,然而它们迄今未取得突破性的进展。本文围绕这些问题展开了深入的研究,取得了以下丰富的创新性理论成果:第一,创造了B样条函数的多重乘积理论,将B样条函数的多重乘积转化为B样条基函数的线性组合。借助于离散B样条理论,对样条空间的变换进行严谨细致的分析,求得B样条函数之乘积的阶数公式和节点向量公式,推广Marsden恒等式,给出了n(n≥2)个B样条函数的乘积表示为B样条基函数线性组合的各项系数的表达式,从而得到了n(n≥2)个B样条函数化积为和的公式,可直接应用于系统开发的软件。多重B样条函数乘积理论的创立,提高了设计系统的功能,丰富了NURBS曲线曲面的理论,推动了NURBS曲线曲面在计算机辅助设计中更为广泛的应用。第二,给出了NURBS曲线曲率单调变化的条件。借助于叁个B样条函数化积为和的公式,对工程中最常用的平面有理均匀叁次B样条曲线段,将其曲率单调变化的判别式转化为高次B样条函数的表达式,应用B样条基函数的正单位分解性质,得到了此曲线段为曲率单调变化的一个充分条件。该结果新颖、简易、实用,对曲线优化设计具有明显的应用价值,尤其对曲线的光顺性处理具有重要意义。第叁,对NURBS曲线曲面的导矢界进行了估计。利用离散B样条理论、齐次坐标点之间Cartesian向量的方向函数Dir、以及B样条函数化积为和的公式,给出了平面有理均匀B样条的倍式化速端曲线表示,导出了该类曲线导矢大小的界。作为以上结果的应用,进一步给出了平面有理均匀B样条曲线上任意两点间参数距离的一个上界。同时基于一些恒等式和不等式技巧,推导了节点向量更为复杂的NURBS曲线导矢大小的界。基于曲面是一条曲线在空间运动的轨迹的思想,最终得到了NURBS曲面导矢的上界公式。NURBS曲面导矢界的研究,有助于提高NURBS曲面各种算法的有效性,并填补了国际上这一工作的空白。第四,创新地研究了用多项式叁角Bézier曲面逼近有理叁角Bézier曲面的简单而又确保逼近收敛的新算法。将被逼近的有理叁角Bézier曲面升阶,以升阶后的有理曲面的控制顶点作为新顶点,产生一张与升阶曲面同次数的多项式叁角Bézier曲面。借助于不等式技巧,巧用无穷小的分析技术,证明了当升阶次数趋于无穷时,得到的一系列多项式叁角Bézier曲面逼近于原有理叁角Bézier曲面。特别地,逼近曲面任意给定阶的导向量一致收敛于被逼近的原有理叁角Bézier曲面的同阶导向量。此算法克服了有理多项式曲线曲面的Hybrid逼近算法所存在的表达式繁琐,逼近的收敛性不能保证等缺点,因而具有理论意义及实用价值,进一步提升了几何设计系统的功能。
杨连喜[5]2015年在《一种用多项式曲线逼近有理曲线的新方法》文中认为在计算机辅助几何设计(CAGD)、计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助制造(CAM)中,曲线曲面造型是一项重要的研究内容,并在计算机图像系统环境下研究对曲线曲面的表示、显示、设计和分析.多项式曲线曲面与有理曲线曲面在计算方法和几何性质上极其相似,根据这些相似性,产生了用多项式曲线曲面逼近有理曲线曲面以及圆弧的一系列工作,并取得许多很好的成果.本文主要研究了用多项式曲线逼近有理曲线的新方法,利用结式将有理曲线参数方程转化为隐式代数方程,然后将逼近问题转化为一个以多项式为目标函数的优化问题,求解该问题得到待定参数的值,从而确定多项式曲线.最后,通过实例验证了这种逼近方法的效果.数值算例表明,该方法计算简便,具有较好的逼近效果,且使得利用Hausdorff距离定义的曲线问逼近误差较小.圆弧是一种特殊的有理曲线,我们简单介绍了四次多项式曲线逼近圆弧的方法.
成敏[6]2008年在《外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究》文中提出本文围绕计算机辅助几何设计领域中的两类占有重要地位的图形处理技术——几何逼近技术以及图形转换技术展开深入研究．鉴于计算机辅助几何设计中的几何逼近问题主要针对特定的对象，采用逼近的方法用简单易操作的曲线曲面来近似代替原对象，本文主要涉及等距逼近、PH逼近、降阶逼近、合并逼近以及有理曲线多项式逼近．鉴于计算机辅助几何设计中的图形转换主要针对图形之间的渐变转化或精确转化，本文主要涉及手绘图形从首帧变到末帧的形状调配转换以及曲线在不同调配基函数下的互变转换．在系统地论述这两项技术的内容、特点、定义、研究成果的基础上，本文就以下几方面给出了创新的研究成果：(Ⅰ)几何逼近(1)针对目前逼近等距曲线大多采用多项式形式从而导致逼近曲线次数过高的弊病，我们抓住曲线参数速度这个影响等距曲线精确有理化的关键要素，基于Jacobi最佳最小二乘逼近理论，给出了有理Bézier曲线参数速度的有理多项式逼近，从而进一步导出了有理Bézier曲线的等距曲线有理逼近的新算法．该方法保持法矢平移方向，且所得逼近曲线插值原等距曲线端点．(2)针对PH曲线具有等距曲线可有理表示及曲线参数速度为多项式函数等良好特性，然而现有设计方法没有利用曲线的几何参数，因而缺乏几何内在特性导致应用困难的现状，我们以外形设计中最常用的叁次PH曲线为基本模型，提出并实现了基于几何参数的一整套PH曲线的插值与逼近算法，其中基本的几何参数包括控制多边形前后两个边向量的长度之比ρ及夹角θ，控制多边形首个边向量的长度L及其与首个控制顶点向量的夹角δ，以及曲线转向Dir．对于一条叁次PH曲线的端点插值，推导了其Bézier表示的条件方程．进一步，对于一条非叁次PH曲线的保端点逼近，分别给出了基于{δ，θ}，{ρ，θ}以及{ρ，δ}这三种几何参数的算法，导出了相应的逼近误差界．(3)针对NURBS曲面由于节点处理困惑表达形式复杂导致其降阶逼近研究明显缺乏的现状，我们基于NURBS曲面的显式矩阵表示，结合Chebyshev多项式逼近理论，提出一种NURBS曲面降阶新方法．分别对一小片NURBS曲面和整张NURBS曲面进行降多阶，并导出了误差界计算公式．对整张曲面降阶时先分别对各小片操作，再对各片降阶逼近曲面的控制顶点集中其下标相重的部分做加权平均得到最终的整张降阶逼近曲面．提出的算法可以一次降多阶，所得NURBS降阶逼近曲面具有显式表达式，实现了NURBS曲面降阶的最佳或近似最佳一致逼近．(4)针对多段曲线合并为工程急需但从未有人加以研究的现状，我们利用Bézier曲线离散后的矩阵表示，给出不同次数的若干段子曲线可精确合并的统一的矩阵表示．采用广义逆矩阵求解方法求出逼近合并曲线的控制顶点．在合并过程中，同时考虑了合并Bézier曲线在左右端点处与原Bézier曲线族插值或者达到高阶插值的合并．(5)针对有理曲线多项式逼近的精度与速度尚不尽如人意的现状，我们导出有理Bézier曲线多项式逼近的矛盾方程组，进一步基于广义逆矩阵理论，给出了矩阵表示的最小二乘解．结合对于由原有理曲线权因子为Bézier纵标生成的多项式升阶，实现在保持多项式逼近曲线次数不变的同时，有效地提高有理Bézier曲线的多项式曲线逼近的精度．(Ⅱ)图形转换(1)基于艺术图形应用价值高、然而传统手绘方法成本大的现实，我们提出一种新的关键帧动画方法来自动生成艺术手绘图形系列．引入圆域B样条曲线作为艺术手绘图形的轮廓线模型，并对首末两帧圆域B样条曲线的内在几何特征量进行调配．对于给定的艺术手绘图形的首末两帧，首先基于骨架线提取技术给出其骨架线，进一步生成其圆域B样条曲线表示，最后通过插值首末两帧圆域B样条曲线的内在量得到中间帧，从而快速有效地实现艺术手绘图形的形状调配．(2)基于B样条基具有标准全正性和局部支柱性，所构造的曲线兼具保形性及形状局部可调性的现实，同时也基于2003年Delgado和Pe(?)a提出的另一类用标准全正基(DP-NTP基)构造的新曲线虽具保形性及求值运算的线性时间复杂度，但没有形状局部可调性的现实，为了使它们实现优势互补，并在不同的造型系统之间进行数据的交换和传递，我们给出了均匀B样条曲线与DP-NTP曲线的相互转换，其结果可在CAD系统中，尤其在曲线曲面需要快速求值或形状局部可调的场合得到相当广泛的应用．
孟祥国, 王仁宏[7]2003年在《有理曲面的区间Bézier曲面的逼近》文中研究指明§1.引言 有理曲线和曲面作为一类重要的逼近函数,在计算机辅助设计与制造中有着广泛的应用。随着NURBS被确定为国际的标准后,更奠定了有理函数在CAD中的主导地位。然而由于计算的复杂性和设计的需要,有时还需要用多项式函数来逼近有理曲线和曲面。 在逼近论中,用多项式逼近有理式的最经典的方法是各种插值与算子逼近方法,如La-
吕静[8]2015年在《渐进迭代逼近算法及其在有理B样条曲线逼近中的应用研究》文中研究表明有理曲线曲面在计算机辅助几何设计与制造中有着广泛的应用,NURBS被定义为工业产品几何形状的唯一数学方法后,进一步奠定了有理函数在计算机辅助设计(CAD)领域的主导地位,然而由于计算复杂性和设计的需要,以及系统数据交换的需要,需要采用多项式函数来逼近有理曲线曲面。近年来,渐进迭代逼近(Progressive Iterative Approximation, abbr. PIA)方法在CAD领域有着广泛的应用,利用PIA方法不断迭代调整混合曲线曲面的控制顶点,从而得到逼近效果更好的曲线曲面。作为一种新的拟合方法,PIA有着很好的自适应性和收敛稳定性,并且规避了逆向工程中求解线性方程组的问题,因此在曲线或曲面的逼近问题上PIA有着很好的应用前景。鉴于以上两个方面,本文提出一种基于PIA的样本采样有理B样条的多项式逼近方法。给定有理B样条曲线,对其进行样本采样得到初始控制点集,同时保持节点向量不变,生成初始多项式B样条曲线,然后用渐进迭代逼近的方法逐次调整其控制顶点,得到一族逼近效果不断改善的多项式B样条曲线,在每一次迭代过程中,引入误差缩减因子,决定下一次迭代是否继续,直到迭代过程终止。本文工作安排如下：首先,回顾了PIA的发展历史,并介绍了两类有效的迭代方法：带权渐进迭代逼近(WPIA)和局部渐进迭代逼近(LPIA),实例表明两种方法具有较快的收敛速率,且逼近过程更具有灵活性；然后,又介绍了B样条的基本性质及其优点,并介绍了B样条曲线曲面的PIA性质；最后,本文重点介绍了基于PIA的有理B样条多项式逼近方法,数值实例表明误差缩减因子的引入使得迭代过程简单,快捷,经过一定的迭代步骤后,可以得到理想的逼近误差。
林贞[9]2014年在《有理Bézier曲线的多项式逼近研究》文中研究表明在CAGD中，有理Bézier曲线更加广泛的用于几何造型这一方面，它实现了圆锥曲线和多项式参数曲线的统一表示。一方面它拥有非有理曲线所具有的性质，另一方面，不需移动控制顶点，而仅通过修改权因子，就很容易改变曲线的形状。但是，有理曲线微分和积分的计算是比较复杂的，甚至可能无法计算出来。同时，想要获得有理曲线的诸如曲率，挠率等几何性质也是很困难的。因此，有理Bézier曲线的多项式逼近在CAD/CAM中是一项重要的、根本的任务。利用多项式曲线去逼近有理Bézier曲线显得越来越重要，找到一种良好的逼近方法，达到较佳的逼近效果，对解决有理曲线中的一些问题具有重要的意义和价值。文章讨论了有理Bézier曲线的多项式逼近问题，采用L2准则作为度量的标准，考虑将有理Bézier曲线表达式中的分母部分‘去掉’，将逼近的式子做变形。这种方法将有理Bézier曲线积分的问题转化为了多项式的积分，降低了运算的难度。通过相应的数值实例可以知道：在无端点限制时具有良好的逼近效果；插值端点时，可以通过提高逼近多项式曲线的次数达到较好的逼近效果。在端点处保持几何连续性时，相同次数的逼近曲线的逼近效果一般比要求在端点处保持同阶参数连续性的效果要好。
成敏[10]2003年在《曲线曲面的求值及降阶、等距变换的研究》文中认为本文围绕CAGD领域中的叁类占有重要地位的运算——Bézier曲线曲面求值运算、Bézier曲线及有理Bézier曲线等距变换以及NURBS曲线曲面的降阶变换问题展开深入研究．在系统地论述CAGD中此叁类运算的内容、特点、已有研究成果的基础上，就以下叁方面给出了研究成果： (1)基于广义Ball基的参数曲线曲面快速求值 以前英国航空公司CONSURF系统机身模线程序数学模型的推广为基础，定义了两类广义Ball基曲面，给出了求值的递推算法，推导了Bézier曲面到这两类曲面的转换算法． 根据以上算法，本文提出了对参数曲面快速求值的两种新方法．其一是直接应用广义Ball曲面，其二是把Bézier曲面转换到广义Ball曲面，再按后者来求值．同时给出了计算实例及相应的时间复杂性分析． 理论分析与实例试算表明，这两种新算法与de-Casteljau算法相比具有明显的高效率．特别当采用Wang-Ball曲面时，算法的时间复杂性将从曲面次数的立方降低到平方．如果在曲面显示、曲面绘制、曲面设计、曲面求交、曲面逼近及曲面等距计算中应用这一方法，可望取得明显的经济效益． (2)等距曲线逼近(Offset) 提出了曲线参数速度逼近问题，指出等距曲线逼近问题的关键在于参数速度的逼近．首先利用以法矢方向曲线的控制多边形边长为Bézier纵标的Bézier多项式来逼近曲线的参数速度，给出了相应的几何等距逼近算法，进一步结合法矢方向曲线的升阶获得了高精度逼近． 给出了曲线参数速度的Legendre多项式逼近，进一步给出了参数速度的插值区间端点的Jacobi多项式逼近，由此导出了保持法矢平移方向的两个等距代数有理逼近算法．并将以上的思想应用于有理曲线，给出了有理Bézier曲线的等距逼近算法． 以上关于等距曲线的几何逼近与代数逼近的算法改革了当前国际图形界只能对基曲线沿法矢方向平移定距离的点作近似逼近的固定模式，创造了利于交互操作，能有效地减少计算量及数据存储量的新方法，可在数控加工、浙江大学硕士学位论文机器人、形位公差学、计算机图形学中获得很好的应用(3)NuRBs曲线曲面降阶 应用NuRBS曲线的显式矩阵表示及Chebyshev多项式逼近理论，以实现NURBS曲线显式一次性降多阶的近似最佳逼近为目标进行了研究.推导出了NURBS曲线可退化的显式充要条件，并进一步详细地给出NURBS曲线降多阶的一种新方法，包括一段NURBS曲线的降多阶和一整条NURBS曲线的降多阶，并给出了相应的误差估一计公式及误差界.最后将其推广到曲面形式. 以上理论成果易于实现、计算便捷、精度高，为一直以来为数不多的NURBS曲线曲面降阶方法的研究增添了一点亮色.此法可望在图形和工业设计中获得广泛应用.
参考文献：
[1]. 有关有理曲线曲面的多项式逼近问题研究[D]. 孟祥国. 大连理工大学. 2003
[2]. 基于M(o|¨)bius变换的二次曲面的双四次多项式逼近[D]. 杨洁. 浙江工商大学. 2016
[3]. 有理曲线和曲面的分片多项式逼近[J]. 方燕. 工科数学. 1999
[4]. B样条多重乘积理论与有理曲线曲面多项式逼近技术的研究[D]. 徐惠霞. 浙江大学. 2008
[5]. 一种用多项式曲线逼近有理曲线的新方法[D]. 杨连喜. 宁波大学. 2015
[6]. 外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究[D]. 成敏. 浙江大学. 2008
[7]. 有理曲面的区间Bézier曲面的逼近[J]. 孟祥国, 王仁宏. 数值计算与计算机应用. 2003
[8]. 渐进迭代逼近算法及其在有理B样条曲线逼近中的应用研究[D]. 吕静. 合肥工业大学. 2015
[9]. 有理Bézier曲线的多项式逼近研究[D]. 林贞. 合肥工业大学. 2014
[10]. 曲线曲面的求值及降阶、等距变换的研究[D]. 成敏. 浙江大学. 2003