平面几何中的辩证法，本文主要内容关键词为：平面几何论文,辩证法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学充满了辩证法，在平面几何中也能充分体现。对这门古老的学科，要防止对其知识系统和方法的认识产生思想上的僵化，赋予其新的活力，才能真正培养具有逻辑思维和推理能力，分析问题和解决问题能力的人才，更好地为社会主义现代化服务。下面试用辩证唯物主义观点阐述平面几何教学中的一些基本内容：
一、相交与平行 平面上两条不重合的直线的相互位置关系，只可能有两种情形：相交或平行。它们是互相对立的，相交就不平行，平行就不相交。但又是互相关联的，经过转动，平行线与相交线可互相转化。又如，在实际应用中，接近平行的状态通常可作为平行来考虑，如太阳光，可认为是平行的。
孤立的两条平行线性质无几，而当利用第三条直线同它们相交，就揭示出平行线的一些基本性质，才能建立平行线的判定方法。假如没有“三线八角”的关系，平行线的性质：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补就无从认识；而利用同位角相等，或内错角相等，或同旁同角互补来判定两直线平行就不可能。所以，认识平行要利用相交，反之，认识相交直线间的关系要利用平行。例如，利用平行线的性质认识三角形三个内角的关系，认识三角形的相似，认识与圆有关的角之间的相互关系，等等。平行线与相交线的这种相互联系，说明了辩证法怎样从事物的相互联系中理解事物，而不是孤立地理解事物。
二、直线与曲线 直线与平几中的曲线（圆）的对立表现为：一是“直”；另一是“曲”（用“曲率”来描述即：直线上取任意一段，平均曲率都是零；而对于半径为R的圆，平均曲率恒等于1/R）。 没有一定的条件，直线不能用圆来表现，两者是不能通约的。
但直线与圆又联系紧密，它们在一定条件下可以相互转化。
纵观平面几何的基本内容可见，对直线和圆的研究总是交织在一起。研究直线形离不开圆，而研究圆也离不开直线形。直线形的性质是研究圆的性质的基础，而通过对圆的研究又能丰富和加深对直线形的认识。
例如，我们把直线形中的一个重要概念——角放在圆形中，并从中得到角的一种度量方法——度、分、秒制；对于“作一个角等于已知角”这样的基本作用题，也才有可能在只用圆规和直尺（没有刻度）这两种工具的限制下得到解决。而对于圆的性质的研究，则更是必须在与直线建立在直线形中两点之间的距离这个概念的基础上；单看孤立的一个圆也无多少性质可言，只有把圆与形的相互联系和相互制约的矛盾运动中进行。圆的定义就直线形联系起来，例如把圆与直线、线段（弦、半径、直径、割线、切线等），与角（圆心角、圆周角、弦切角等），与三角形及多边形等联系起来时，才能揭示出圆的丰富的几何性质。
三、直线与圆的相切与相交 由于直线和圆的交点的个数的不同，因此，直线和圆的相互位置关系有相离（没有交点）、相切（有且只有一个交点）与相交（有两个交点）之分。其中，相切与相交是相互对立的，然而又是统一的，在一定条件下还可以相互转化。
相交向相切的转化，可以从圆的割线向切线的转化来体现。转化的条件是：平移或旋转。
割线向切线的转化，可以帮助我们辩证地分析切线的一些性质。例如，“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质，不仅可用形式逻辑的方法给予严格的证明，也可以如上述那样从分析割线向切线的转化辩证地给予证明。这在开拓学生证明思路，寻找简便方法上会起一定的作用。
四、轴对称与中心对称 轴对称与中心对称是图形的两种不同的对称关系。一个是关于直线的对称，一个是关于点的对称，它们的性质各不相同，是相互对立的。
成轴对称的两个全等形是反向全等形。对于这样的两个全等形，如果只在平面内移动，一般是不能迭合的，要迭合，必须在平面内掀起并且沿着对称轴对折才能实现。
成中心对称的两个全等形是同向全等形。对于这样的两个全等形，要迭合， 图形用不着离开所在平面， 只要在平面内绕着对称中心旋转180度即可。
轴对称图形虽然与中心对称图形互相排斥，但又是互相联系的。当一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴时，这个图形就关于这两条对称轴的交点成中心对称。例如，矩形、菱形、正方形，它们都有一对或两对互相垂直的对称轴。因此，它们既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称中心就是两条对称轴的交点。圆的情况更为特殊，它有无数对互相垂直的对称轴，这些对称轴的交点就是圆心，也就是对称中心。所以，圆既是轴对称图形，又是中心对称圆形。
五、图形中的特殊与一般的关系 特殊与一般的对立统一关系通常反映在平面几何图形的相互关系或图形的性质之中。
例如，线段的等分与线段的成比例就是特殊与一般的关系。成比例的线段的特性是：对应线段的比值相等；等分线段的特性是：对应线段的比值相等且等于1。因此，等分线段当然是成比例线段； 而成比例线段只具有等分的线段性质的一部分。在成比例线段的比值等于1 的条件下，成比例的线段便转化为等分的线段。
等分的线段与成比例的线段可利用一组平行线来截得，这就是教材中的平行线等分线段定理与平行线截线段成比例定理。如果这一组平行线出现在三角形中，那末就在三角形中截得等分线段或成比例线段。特点是：“过三角形一边的中点而平行于另一边的直线平分第三边”以及“平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的线段对应成比例”这两个结果比较特殊和重要，前者得到了三角形的中位线，后者得到了两个相似三角形。
又如，三角形的全等与三角形的相似也是特殊与一般的关系。全等三角形当然是相似三角形，是相似比等于1的特殊的相似三角形； 而相似三角形只具有全等三角形的部分性质。在相似比等于1的条件下， 相似三角形便转化为全等三角形。
在平面几何里，如果给某图形增添某种特性，该图形就可转化为某种特殊图形；反之，如果把图形所具有的某种特性去掉，该图形也可转化为一般图形。
六、图形中的变与不变规律 自然界是处在永恒的运动中，作为反映客观世界空间形式的几何学，如何运用运动变化的观点去分析问题自然成为一个重要的课题。
例如，对于底边是公共的，顶点在与底边平行的直线上移动的三角形，显然它们的形状各不相同，但是在这种形状变化的过程中。由于顶点到底边的距离以及底边的长短都没有变化，所以各个三角形的面积也都是不变的。因此，我们把这种变形称为等积变形。在这里，不变是相对的，有条件的。如果改变“底边公共，顶点在与底边平行的直线上移动”这一条件，情况就会完全改变。
又如，对于相似形，也存在着变与不变的规律。两个相似形，一般给人们的印象是：形状相同没有变，但是大小不同而变化了。这里的“不变”，指的是角的大小没有改变，线段的比例关系没有改变。从而决定了图形的形状没有改变。这里的“变”，指的是边的长短有了改变，面积的大小也有改变。
再如，轨迹是研究物质存在的一种运动形式。按照辩证法的观点，运动完全可以从它的反面即从静止中表现出来。这条轨迹用几何图形画出来，显然表现在静止之中。这时，这个轨迹图形就成了具有某种特定条件的点的集合。因此，轨迹图形有两种不同的定义方法，即它既可以定义成由一个动点按某种特定条件运动所形成的一条路线，也可以定义成由无穷多个具有某种特定条件的点所组成的一个集合。
分析图形中的变与不变的规律，是证题过程中常用的一种思考方法。当要证的一个命题比较复杂。图形中的关系比较隐蔽，元素之间的关联不直接，就需要添设辅助线，使较复杂的元素转化为我们所熟悉或已掌握的问题，使图形中隐蔽的关系显现出来，使元素从间接的联系发生直接联系的时候，通常要运用平移、旋转、反射等全等变换来添设辅助线，从而实现从已知条件向所求结论的转化。
综上所述，在平面几何的教学过程中，渗透唯物辩证法的对立统一观点，运动变化的观点，掌握“特殊与一般”等关系，可使学生发现和掌握图形之间的一些内在规律，从而培养灵活思维和创新能力。