对抽象代数的哲学审视，本文主要内容关键词为：代数论文,抽象论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N03文献标志码：A文章编号：1000-8934(2008)09-0026-06
数学思想和方法的深刻变革发生在19世纪，尤其是发生在代数学中的深刻变革，极大地丰富了数学的内涵，拓展了人类理性认识的维度。19世纪20年代受伽罗瓦(Galois，E)思想的全新刺激，代数学摆脱了以讨论方程解法为中心的古典代数的套路，一跃成为以研究代数系统的代数结构为重心的近世代数。代数学的内容和形式转变为抽象公理化的系统，这种抽象的内容、抽象的方法、抽象的程度大大超过了所有自然科学中的抽象，是由概念去引出概念，在抽象之上去进行的抽象。高度抽象化了的代数学语言、符号、公式、定理实现了质的推广，使近世代数仿佛陷入了自给自足、自我封闭的想象和建构之中，掩盖了纯数学与应用数学的本质关联，把大多数人排斥到了数学王国之外，数学的美感也因高度的抽象化而消失殆尽，造成了数学与人文科学的割裂。我们拟以抽象代数中的几大代数系统，即线性空间、群、环、域、格、模为考察对象，探讨抽象代数蕴含的本体论和方法论，并由此揭示其高度抽象化掩盖的数学美与真理性，进而还原抽象代数的人文意义。
1 关系：抽象代数的本体
抽象代数，亦称近世代数，是与古典代数相比而言的。早在古希腊时期的丢番图(Diophantus)的算术书中，就用语句的方式记录下了某些数学问题以及相应的一些法则。到公元9世纪花拉子摸(al-Khowarizmi)将“代数”命名并找到了一次、二次方程的法则，韦达(Vieta，F)引入了符号、笛卡尔(Descartes，R)利用字母表示未知数以及通常给定的量，代数至此钻进了以讨论关于字母的代数方程的解法为中心的套子。直至19世纪20年代伽罗瓦在对高次方程可解性问题的研究中最先抽象地创立了群结构，随之多种代数系统逐步建立，使代数学转变为以研究各种代数系统的结构为中心的近世代数，实现了从研究对象到研究方法的质的飞跃，成为近现代数学研究的重要领域。我们先对几个重要代数系统的概念进行比较：
从上表可以发现，代数系统有3个共同的要素：集合、运算法则及公理条件。代数系统也就是在集合R的元素间，给出几个运算法则(P)以及运算法则必须满足的公理条件C，具有代数结构(P，C)的集合R就是一个代数系统。抽象代数的研究目的就是厘清代数系统的代数结构。而组成代数系统共同的3个要素的逻辑关系是什么？什么才是抽象代数的本体？
诚然，代数系统首先是一个集合。集合在数学中本身是一种不能精确定义的最基本的概念之一，描述性地讲是指具有某种特殊性质的东西的全体。线性空间是人们所处现实空间，或通常讲的物质空间的抽象化。在笛卡尔建立坐标系之后，物体的空间形式抽象为坐标系下的点，借助于坐标系表示为三元数组。继续拓展抽象，特别是康托尔创立集合论之后，空间的元素“点”扩展成数学的许多对象，元素是“向量”的就是向量空间，而抽象“向量”在空间的基底下可以表示为n元数组而成的线性空间。再如群，是抽象代数中最基本的一种系统，根据上面的定义，我们熟悉的整数集对于普通加法来说就是一个群，而且它是无限群的代表。再如数1在复数域上的n个根所成的集合就是一个有限群，而且任何抽象的有限群至少有一种形态与它有相同的代数性质。与群同样的环、域、格、模等代数系统的确立也是在长期的数学实践中找到的具有某种共同特质的东西的全体，是将熟悉的具体的系统抽象统一的结果。这样我们自然得到，代数系统首先是一种抽象化的集合，集合是由已经丧失了古典意义的“点”构成，但仅有这些抽象点而成的集合还不足以成为代数系统。
运算法则也称代数运算，是指集合S×S的任何一个元素(a，b)通过对应法则F，都能在集合D中得到惟一的元素d，那么这个法则就是代数运算，是一种具体化了的特殊映射，这时称a和b进行代数运算或a和b有了映射结果d，即称a和b有关系F或简称a和b有关系①。最简单的四则运算加、减、乘、除以及集合的交与并就是把两个“数”对应成了一个“数”(可以连续运算是因为结合律)。2+3=5就表明这三个数在法则“+”下有了关系，而2×3=6是这三个数在法则“×”下有了关系。可见运算理论的本质不是运算的对象，而是运算的法则，是对象间的关系。“空间”正是把凡是可以和初等几何中点与点的关系可以类比的某些对象的全体，抽去它们的具体内容，只考虑抽象点之间的关系而成的。群、环、域、格、模等定义中的运算法则就是某一抽象集合的元素之间建立的一定关系，可以抽象地叫做“四则运算”，虽然它们已经不是通常意义下的运算。这样抽象集合的“点”之间就以关系的形式扭结在一起，如何属于不同的代数系统，就完全由它的公理属性所界定。
公理条件是对系统所研究的对象的限制，是系统建立的前提条件，用以规范系统统一的结构。具体体现为运算律，它是系统元素建立关系的基础。最常见的有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法与加法之间的分配律这5个运算基本定律。从上表中可以看出，不同的代数系统各有自身所需的运算律，组成各自的公理条件，可称为群公理、环公理、域公理等。这些公理显然区别于为了体现纯粹逻辑地组建起来的数学理论中的无证明命题，而是组建代数系统时选取的前提条件和理论基础。给定一个抽象集合，定义了其中点的代数运算，同时要求这些点的关系满足特定的公理条件。以关系形式扭结在一起的点如果适合这些公理，它就必然适合从该系统推出的结论，在这个意义上约定了代数系统讨论的对象。抽象点就这样彼此刚性地结合在一起，成为特定的代数系统。
因此，代数系统以各种运算法则(映射关系)为基础，以满足的公理条件为限制，是抽象化的点在关系基础上规范化的结果。这样，关系就是抽象代数研究的内在基础，是抽象代数的本体。哲人科学家彭加勒在谈到现代物理学实在时指出：真实对象之间的真关系是我们能够得到的惟一实在；惟一的客观实在在于事物之间的关系；科学能够达到的只是事物的关系，而不是事物本身，在这些关系之外，不存在可知的实在。因此，“20世纪的科学的本体论似乎已经发生了从实体主义(entitatism)向关系主义(relationism)的转变，这种转变的趋势在21世纪好像还要继续下去”[1]2。物理实在的非实体化、关系实在论倾向，在抽象代数中体现为其研究对象的实在弱化，集合中的元素本身并不是抽象代数所关注的实在，它们的关系才是抽象代数的本体。
2 同型：抽象代数的研究方法
对于用抽象化了的语言、符号、公理条件界定的抽象代数，如何通过对它本身结构的认识，建立其简单经验的模型，还原代数系统的普遍性和简单性呢？这就要借助于现代数学最基本的研究方法——结构分析法。代数系统的同构、同态、同伦、同调等均是结构分析有力的工具，是结构分析法的目的与手段。在抽象代数的具体研究中就是利用这些工具找到简单的同类结构，即同型。而利用同构能得到系统最优的简单同型，下面就以同构为例来分析其重要的方法论意义。
这样看来，完全不同的两个集合N和K，伴有自身极不相同的运算——加法和乘法，在同构映射下它们具有了结构上完全相同的代数性质。尽管同一结构在不同的情况下出现，但就是因为有的事物好理解，而有的事物难把握，我们就可以利用简单的容易的事物来认识难以把握的事物，如上例的自然数N显然比K要简单，K的简单同型就是N。利用同构去比较代数系统的意义就在于渴望寻求到同一系统中的简单同型，从它来认识更加抽象的模型，化难为易，化生为熟，化繁为简，因为它们具备了共同的代数性质。接下来我们针对几大代数系统做深入的分析。
对于群结构的研究，最终目的是把所有的抽象群都找出来，具体讲是希望找到一共有多少个互相不同构的群。对于任意抽象群，在群同态基本定理基础上得到群第一、第二、第三同构定理，足以显示同构在群结构研究中的重要意义。如抽象的3阶群G=｛a，b，c｝，其乘法用运算表表示为(上图)：G的同构群H为1的三个单位根组成的，即H=｛1，ω，
｝，在G与H之间建立1—1映射使得a→1，b→ω，c→，可见G对于给定的乘法与H对于普通的乘法有完全相同的运算，如b·c=a对应于ω×=1。抽象的3阶群G的同构群H就是我们找到的简单同型。
当然，环、域、格、模这些代数系统的结构研究也各自有类似向量空间和群的同态、同构定理，只是它们的构造比向量空间、群的要复杂得多。如模的前身是向量空间，是向量空间的推广，F上的向量空间V就是F—模，所以其与向量空间的基本一致。再如很多关于域的问题可以化为域的自同构形成的群的问题来讨论，容易得到解决。由此看来，在同构、同态等意义下找到代数系统之间的简单同型是研究代数系统的方法论准则。抽象代数在本体论上以关系实在代替实体实在，“从方法论上讲也具有某种优越性：作为研究对象的不同实体及其现象尽管大相径庭，但是它们有时却是同构的，亦即具有相同的关系，完全可以用同一数学方程来描述”[1]2。即实现了同构就意味着具有了相同的代数性质，完全可以用同构下简单的结构来描述和认识复杂的结构。明显不同的抽象集合通过同构类比可以得到一个同型的简单的经验模型，来识别抽象的代数系统。
3 审美：抽象代数的价值实现
讨论了抽象代数的本体和方法，下面的问题是，抽象代数系统整体的真理性何在？这是抽象代数的价值论问题。科学真理的检验常常以美学标准、逻辑标准、经验标准、实用标准、客观标准为参照。下面我们从抽象代数的认识主体、理论结构、分析方法、物理意义四个层面，分析蕴涵在抽象代数中深刻的科学美，从而透视其真理性。
(1)数学家的审美意识
抽象代数的开拓者、挪威的天才数学家阿贝尔和法国卓越的青年数学家伽罗瓦，在数学家为寻求五次和五次以上的方程的根式解经过200多年的努力而收效甚微的情况下，阿贝尔(Abel,N.H.)最先抓住了问题的根本，实现了方程理论上的突破，证明了五次和五次以上的方程不能有根式解，并试图刻画能用根式求解方程的特征问题。伽罗瓦最终得出全新的超越函数值解法，彻底解决了代数方程可解性问题，创立了第一个抽象系统“群”。德国数学家高斯的学生库默尔(Kummer,E.E.)在对费玛大定理的证明研究中，构造了“理想数”，在他的启发下，戴德金(Dedekind,R)把“理想数”推广成“理想”，即实现了数到集合的推广，创立了抽象系统“环”。在“代数学之母”诺特(Noether,A,E.)的深刻扩张下，把“环”发展成为最基本的代数结构。这样的数学家群体惯于辨别事物的根本性质和特色，别人只见到部分，他们却见到了全体，抓住了其精神内核。这就是数学家最深刻意义下的审美意识。
诚然，我们并不否认数学家创造数学时带有的不可避免的非理性因素，并能满足数学家自身的审美情趣。但这并不是说抽象代数是纯粹的人造的智力结构，完全是人类心智的产物。事实上，认识主体的审美活动有着深刻的认识功能。首先，审美创造是认识主体在科学实践基础上思维的高度活动形成的对事物迅速的综合判断。对科学敏锐的洞察力是以科学实践为前提，是对先前科学思想、理论和方法的传承物，是历史语境的产物。而数学历史的源头必然是对表面的经验事实进行系统观测、归纳和总结的产物。其次，科学审美蕴涵着科学求真。求美求真、求真求美，对美的感受与追求促成了科学知识的真理性。因此，认识主体审美的、情感的、意志的、信念的因素或隐或现参与科学研究之中，并不防碍科学真理的获得。
(2)理论结构之内在美
从上文对抽象代数的几大系统的分析，得出抽象代数的本体是关系。而代数系统关系的逻辑起点是集合与映射。纷繁多变的系统在本体意义和逻辑基础上是一致的，这正是简单性原则在抽象代数建立中的具体体现。尽管不同的系统是基于不同的具体数学问题而产生的，但通过数学家群体继续的努力和建构，如若当(Jordan,C.)之于“群论”、诺特之于“环论”，使各大系统都建立在现代数学的逻辑基础——集合和映射之上，找到了各个部分之间的和谐对称，把几个原来彼此独立的系统整合成一个整体，这恰好实现了海森伯在谈精密科学中美的含义：“美”是部分同部分、部分和整体的固有的协调。井然有序、统一协调，即理性是抽象代数理论结构的内在美。
美国数学物理学家吉布斯(Gibbs)与爱因斯坦都认为“科学理论应当最为简洁地描述自然界的规律，科学的简单性应包括两方面的内容，一是理论体系的基础应由最少数目的相互独立的原理构成；二是基本概念、假说不但应该具有有效性和精确性，而且应该具有简单性”[2]。简单性原则被视为科学理论建立、评价与选择的一条重要方法论准则，是科学合理性的重要组成部分。法国数学家彭加勒也认为“那种深奥的美，在于各个部分的和谐秩序，并且纯粹的理智可以把握它。正是这种美是物体，也可以说是结构具有让我们的感官满意的彩虹般的外表”[3]。我们探讨抽象代数的本体，认识抽象代数的逻辑基础的简单一致，也正是在品味抽象代数的内在结构美，体验由抽象代数各系统之间的联系带来的深刻协调的理性美。
(3)理论分析之类比美
通过上文对代数系统研究的方法探讨，我们知道，试图找到同态、同构等意义下的简单同型，即实现系统之间的形式类比，是研究系统的方法论准则。虽然数学的发展必然越来越走向高深，虽然认识数学的确需要理论素养，需要对数学的皈依，但是有素养的数学家面对抽象的理论时，却总是怀着简化的、易于领悟的初始动因来处理数学的，试图找到简单的替代对象，澄清复杂问题的结构，实现简单、一致、和谐、整齐、明确的内在美，让更多的人欣赏领悟数学家求美求真的理想。抽象代数的研究就是一个例证，利用同构来实现对象向简单明晰化的转变，从而识别更一般意义下的结构。
马赫曾给类比下了这样一个定义：类比是概念体系之间的关联，我们在其中逐渐清楚地意识到，对应的要素是不同的，而要素之间的对应的关联是相同的。他认为一个还相当不熟悉的事实范围N，可以显示出与另一个比较熟悉的、直接的直觉较为可以达到的事实范围M的某种类似：我们感到立即被驱使以思想、观察和实验在N中寻求与M的已知特征或这些特征之间的关系对应的东西，通常这将揭示出关于N的迄今未知的事实，从而发现这些事实。我们最终更充分地了解N，从而丰富了我们对它的概念上的把握[4]。尽管马赫的类比观是在谈论一般科学方法论或对科学认知的意义，但映照到抽象代数中无疑就是代数系统同型的实质。本性基本上是异质的代数系统，利用同态、同构等工具却在它们之间建立起精确的对应，能使我们认出眼睛看不见而理性却能神悟的、真正的和深奥的类似，深刻领会了代数系统研究中理论描述之美。
(4)理论的物理意义美
正如大家熟知的群论的奠基人阿贝尔和伽罗瓦的理论，当时并没有得到关注，甚至他们自己都因为没有得到社会的认可而夭折了。但随后“科学的许多部门，如几何、结晶学、物理、化学等都弄清了对称规律的重要意义，群论的方法和结果得到了广泛的流传。既然每一个应用的部门都向群论提出自己特殊的问题，进而促使群论的分裂和新分支的发展”，因此，“为了研究像对称的规律这样重要的现实世界的规律，必须找到工具。由于这种必要性就出现了群论”[5]251。而“在20世纪20年代量子力学诞生之前，群论只是一个纯粹的数学专业。然而群论现在已经是量子物理学和量子化学的经常用到的工具了”[6]。抽象代数如此巧妙地描述了物理实践和现实规律，其美的品质就是不言而喻的了。
因此，源于高次方程的求解，以方程的根的对称性和平等性的解决为起点的纯数学理论已经在现代物理学中找到了成功的应用，因为抽象代数结构上的美如果没有实际的意义难免丧失了可靠性，而物理意义正好恰如其分地弥补了这一缺失。杨振宁指出“美妙的元素周期表把性质相似的按纵列排放在一起，这种现象之美到玻尔提供了他的物理学意义时找到了深刻的美，而进一步周期表中包含了长度是2、2、6的周期和数学中的“群论”描述的物理定律的对称性是紧密相关的。反之，用群论的深刻数学语言去描述基本对称概念时就能以毫不含糊、确切的方式得到这些数”[7]。群论可以看作是数学家纯粹的思维实现的数学体系内部逻辑的发展，但它又是数学物理学家用来揭示宇宙重要现实的工具。数学为其他各门科学提供可靠的形式化的语言、方法和思想的同时，实现了数学与“现实世界”之间最奇特也是最鲜明的联系，为数学把握了实在，回归了价值美。
4 人文：抽象代数的人性回归
抽象代数的概念和方法体现了前所未有的抽象性和思辨性，使其似乎失去了应有的人文属性。“数学家在这个自给自足、自我封闭的天地里充分发挥自己的想象力和创造力，促进了近代数学的腾飞，但为坚持纯数学的抽象方法所必需的手段——语言、符号、公式、定理等等掩盖了纯数学和应用数学之间的本质联系，抽象代数似乎走进了自给自足、自我封闭的概念创造之中。其结果是加大了数学和人文学科的割裂”[8]。其实，抽象代数的人文意义是非常深刻的，表现在以下几方面：
首先，对抽象代数的研究使数学家达到了高度的精神愉悦。数学家用他们毕生的精力去推进学术的发展，通过自由的学术创造，取得数学理论的突破，使人类在智力上达到了一个新的高度，从而获得了超乎寻常的智力上的愉悦感。科学正是人的精神和物质的解放者，直接或间接地提高了人类的精神境界，使人的精神得以自由发展。怀有精神的自由是科学家在科学研究的过程中所追求的最高境界，它充满着最高尚、最纯洁的生命力，充满着人类的激情。正因为我们坚信数学家在数学研究中，通过精神自由和智力满足体现了美的本质要求，从而回归了抽象代数的人文价值。
其次，建立在初等数论基础上的各大代数系统在数学家精致拓展下，实现了抽象代数本体意义、理论逻辑构建上一致、简单、整齐、和谐的深刻美。在对代数系统理论的解释中，利用形式类比，实践了简单性原则所体现的还原美，是一种极具综合品质的美。它使数学家本人及与数学有着千丝万缕联系的人们通过理解简单同型，到达领悟抽象理论而获得了精神上的满足，从而更加深刻地影响了人类理性认识的维度。
再次，抽象代数各系统总能找到它的物理意义。我们坚信数学虽然以其逻辑发展会推演到远离现实世界的境地，但无数的科学史事实表明，纯理论空间单独发明的概念一定会在未来找到现实的意义，即使许多概念是物理学家独立发展起来的，却一定能在纯数学的领域中找到已经抽象了的此类概念。所以，“归根到底，数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但却如我们坚信的那样，它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用”[5]3。这是抽象代数最直接的人文价值体现。
最后，抽象代数作为近现代数学的重要分支之一，与其他科学甚至艺术形式一样，都是人类的一种创造性活动，并构成了整个人类文化的一个有机组成成分。我们从抽象代数的内部感受了数学的历史过程，领会了数学的美学理想，伸张了数学的价值观念，领悟了数学创造受制于、服务于更高的人性之目的，从而回归了抽象代数最深刻、最广泛的人文意义。
注释：
①文中出现的“关系”专指一个基本的数学概念，指集合X中元素与元素之间的特定联系，记为R。关系R可视作笛卡儿积集X×X的子集。当X的元素x，y具有关系R时，记为xRy。
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