数学实验：一种重要的数学学习方式，本文主要内容关键词为：数学论文,方式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
新课程明确提出了让学生“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，能清晰地表达自己的想法”的“数学思考”目标.数学实验，作为一种常见的数学活动存在于学生知识技能形成的过程之中，是学生获得数学基础知识、基本方法、基本数学思想和基本数学活动经验的一种重要的学习方式.数学实验，在初中数学教学中“从未离开过”——当学生在学习过程中不可避免地出现一些“疑惑”时，提供充足的时间开展数学实验，有助于学生“探求数学真理、发现数学真理”.数学实验不似理化实验那么复杂，实验工具简单（有时甚至不需要准备工具），但操作流程却是非常清晰的.
一、数学实验的两个案例
【案例1】这个图形稳定吗？
教学人教版初中数学七年级下册《三角形的稳定性》一课，在对学生已经获得的“三角形的稳定性”和“四边形的不稳定性”的知识的应用环节，笔者设计了这样的数学活动：
如图1，在六边形ABCDEF的木框中，至少添加几根木条，才能使整个木框保持稳定？
学生经过自主探究，画出了4种添加方法，如图2～图5所示.
观察发现，这4种方法可以分为两类：图2～图4为一类，都是添加了3根木条，将原有的六边形ABCDEF分解成了四个三角形，根据“三角形的稳定性”，此时，木框是能够保持稳定的；图5则是另一类，只添加了两根木条，没有形成固定的三角形，所得的图形显然是不稳定的.
正准备对图5中的方法加以纠正，突然，一位学生站了起来，说道：“如果我在两根木条AD与BE的交点O处钉上一个钉子，整个图形不就稳定了？”此话一出，全班争论声顿起，有学生赞同他的说法，也有学生认为图形仍然是不稳定的.
该生的突发奇想已经偏离了预设的教学活动.因为，根据活动要求，是不可以加“钉子”的.但是学生的争论不休源于没有与之关联的生活经验，经验的缺失导致了争议——是“稳定”还是“不稳定”，仅凭言语是无法让人信服的.
稍加思考，我做出决定，用数学实验来给出有力的回答：
将小组中的原有学具拆开，钉出一个如图1所示的六边形木框ABCDEF，并用两根木条分别固定A、D两点和B、E两点.设AD与BE的交点为O，请在O点处不钉钉子和钉上钉子这两种情况下，分别拉动六边形，看其形状是否会发生变化，并试着去说明稳定与不稳定的理由.
10分钟后，学生经过探究、交流，归纳得出如下结论：
（1）在O点处不钉钉子时，整个图形能够拉动，图形不稳定；在O点处钉上钉子后，整个六边形木框ABCDEF无法拉动，也就是说图形是稳定的.
（2）当O点处不钉钉子时，拉动六边形的过程中，AD与BE的交点O在AD和BE上移动，随着O点的移动，图5中的四边形，如AOEF、BODC，它们的形状都在发生变化，整个图形自然就不稳定了；而如果在O点处钉上钉子，图5中的AO、BO、EO、DO的长度和∠AOE、∠BOD的度数等都已经固定，虽然图5的AE、BD没有连起来，但实际上其长度也已经固定，这样一来，原六边形被分成了多个三角形（根据全等三角形的判定方法，图中形成的三角形都是唯一的），如△AOB，△DOE，△AOE，△AEF，△BOD，△BCD等，这些三角形的存在使得整个图形必然是稳定的.
在这个数学实验的过程中，学生将六边形ABCDEF引发的问题化归为三角形问题，进一步巩固了本课所学的新知“三角形具有稳定性”；同时，更加深了对数学思想方法的领悟，如“钉钉子”与“不钉钉子”体现的是分类讨论的思想，将六边形转化为三角形体现的是化归的思想，而最终通过三角形来说理则是模型思想.值得一提的是，实验过程中，学生在“行”和“不行”之间反复探究，在“是”与“非”之间充分辨析，积累下了无形财富——数学活动经验.
【案例2】这样能证明“三角形的内角和定理”吗？
人教版初中数学七年级下册《三角形的内角》一课，在探究“三角形的内角和等于180°”这一定理时，教材设计了如下的数学实验：
在纸上画一个三角形，将它的内角剪下来拼合在一起，就得出了一个平角.从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
课堂上，学生通过实验探究，给出了4种拼图（如图6～图9）.通过图中的辅助线l，学生很快就得出了证明“三角形的内角和等于180°”的方法.
我追问：“还有其他得出辅助线的方法吗？提出你的猜想.”
学生围绕辅助线的情况，提出了两个问题：（1）如果只撕下一个角，还能得到直线l吗？（2）如果不撕角，是否可以将∠A翻折下来，使A点正好落在BC上的A'处，而且翻折后得到的∠A'的两边正好分别与原三角形的AC，AB边平行？
围绕这两个猜想，我安排了如下的数学实验：（1）撕下三角形纸片的一个角，将其与三角形的另一内角拼合到一起，探究证明“三角形内角和等于180°”的思路.（2）将∠A翻折下来，使A点正好落在BC上的A'处，翻折后∠A'的两边能否正好分别与AC，AB边平行？如果能，请探究出证明“三角形内角和等于180°”的思路.
接下来，学生实验探究.在各学习小组组长的组织下，通过拼合、折叠等方法，得出了如下实验结果：
如图10，通过只剪下一个角构造出平行于AB的直线l，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，便可证出“三角形的内角和为180°”.如图11，在BC边上找到了一个符合猜想（2）的点A'——形成的四边形ADA'E为菱形，其中A'D//AC，A'E//AB，所以∠B=∠CA'E，∠C=∠BA'D，所以∠A+∠B+∠C=∠DA'E+∠CA'E+∠BA'D=180°.
弗赖登塔尔说：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的.”作为获取数学认知的一种重要手段，数学实验也是学生获取新知的重要途径，它能帮助学生发现结论，并找出“严格”证明结论的途径.这则数学实验就是很好的例子.在两轮“剪角拼图”的数学实验中，学生按照“剪下的角的个数”，分两种情况进行了探究，发现了多种拼图方法，并从中抽象出用于证明定理的辅助直线L这样的实验过程，为“三角形的内角和定理”的证明铺平了道路.
二、关于数学实验的思考
（一）数学实验是重要的数学学习方式
数学实验，源于学生数学学习的需要.无论是新知探究还是旧知回顾，抑或是知识的综合应用，学生通过动手操作、合理猜想，拓宽了学习道路，发展了几何直观和推理能力，感受到数学的魅力和价值.
本文中的两个案例仅是数学实验中的“沧海一粟”，但就是这样的“一粟”，也足以吸引学生的眼球.学生通过反复实验探究，在不断试误后，最终得出了正确的结论.学生通过实验、理性辨析提出的设想——否定错误的猜想，并为正确的结论找寻出严格论证的路径.这种具体的、可视的数学实验，为学生提供了切实可行的数学学习方式，让他们突破了“埋头死读书”的数学学习困境.
（二）数学实验需要充足的时间做保证
在充满着教学期待的数学实验中，多一分钟的等待，就可能会多出一份别样的精彩.数学实验一般都要经历“提出设想—实验探究—观察思考—推理说明”的过程，在这个过程中，充足的实验时间将会让学生的探究和生成更加充分、到位，有助于结论的形成和接下来的推理说明.在两个案例中，笔者都留给了学生10分钟的实验探究时间.在这10分钟的时间里，有些学生经过了多次反反复复的实验探究，得出了自认为准确的结论，而在与同伴交流后却又发现自己的失误，于是实验不得不重来一次.“重来一次”，这就又需要时间.只有有了充足的时间，学生才可以有效地调控实验进程，正确地调整影响实验成果的数学因素，减少实验中非数学因素的干扰，避免无谓的实验失误，确保实验成果准确有效、合乎规律.由此，数学实验顺利展开，在旧知识的“提取”和新知识的巩固中，学生思维的深度和广度都得到了拓展.
（三）教师要参与实验并提供必要的帮助
课堂上的数学实验，有的探究过程简明扼要，有的则要绕很大的“弯子”，但都是源于学生认知需求的即时生成，都绽放着个性的光芒，凸显着个体探求未知领域的激情.作为课堂教学的“组织者、引导者、合作者”，教师应参与到数学实验中去，指导实验方法，协助学生发现实验生成.尤其在学生实验遇到困难时，教师应及时指点迷津，让学生脱离“困境”.这种处于实验关键时点的“帮助”，不是为了“锦上添花”，只求实现“雪中送炭”，促成实验的高效推进和成果的及时生成.
（四）数学实验成果要及时“数学化”
这里的“数学化”，是指将“实际问题转化为数学问题”.弗赖登塔尔认为，“在‘一浪接一浪’的数学化进程中，学习者经历了一个又一个由现实的情景问题到数学问题，由不那么严格的数学体验到严格的数学系统的学习过程”.数学实验无论实验成功与否，其生成都是丰富的，都一定会产生众多的实验“成果”.这些实验“成果”紧贴学生的认知基础，非常接“地气”.教师应及时带领学生梳理实验中形成的成果，并使之“数学化”，赋予数学的图形语言、符号语言和数学化的结论，以引导学生学会“数学地”发现问题、分析问题和解决问题.数学实验成果的“数学化”，一方面体现了数学知识的应用价值，让学生进一步感悟“数学是有用的”，形成数学建模的意识和思维惯性；另一方面，将数学知识和生活情境紧密联系了起来，让学生“学会数学地认识和解决问题”，促进认知网络的建构与完善.