注重过程，揭示背景，提升素养，本文主要内容关键词为：素养论文,注重论文,背景论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“平面向量的线性运算”是人教版高中数学必修4（A版）第二章“平面向量”的第2节（共3课时），其中“向量的数乘运算及其几何意义”属于第3课时.从学生的角度来说，在平面向量的加、减法运算及其几何意义之后，安排学习向量的数乘（乘法）运算是一件顺理成章之事.从教师的角度来说，向量的数乘运算与加、减法的学习方式与过程几乎相同，学生的理解与接受也会是顺理成章的.因此，向量数乘运算的教学并没有引起大多数老师的关注. 对于“向量的数乘运算及其几何意义”的学习，应该说教材的安排也是顺理成章的. 首先，通过相同向量之和的探究，先形后数地得出数乘的概念（数与形两方面）. 其次，给出数乘运算的运算律（不加以证明），并引导学生思考其几何意义，继而给出数乘运算的例5加以巩固. 再次，引导学生思考数乘向量与原向量的位置关系，从而得出平面向量的共线定理，继而给出向量共线判断的例6（从形到数）加以巩固，然后给出向量线性运算的运算律. 最后，给出向量线性表示的例7，以及相关的练习（包括作图、求值、表示、化简等方面）. 可以说，上述安排既符合向量数乘运算中相关知识的逻辑顺序，也合乎一般的学习套路，又充分突出了数形结合的基本思想. 但是，如果把数乘运算放到平面向量章节的总体构架中，可以发现容易被人所忽略的几点问题. 其一，向量的加、减运算主要源于物理中的力的合成，学生对向量所蕴含的数形结合思想的感受并不全面和深入.可以这么说，学生感受向量中的数形结合思想主要从数乘运算开始. 其二，尽管向量的加、减法也涉及运算，但这种运算比较单一（以形为主）.向量能类似于实数进行运算，应该说也是从数乘运算真正开始的. 其三，紧接着向量的线性运算之后，就是平面向量的基本定理的学习.如何奠定向量基本定理的学习基础，尤其是与线性运算之间的联系，也需要在数乘运算的学习中加以适当地延伸与铺垫. 其四，教材的安排总的来说有点平铺直叙，学习过程也太平顺，学习套路有些单调.如果“照章办事”的话，学生可能难以探究数乘运算的背景，难以看透向量共线的内在本质，难以真正触及数形结合的思想深层，难以真正形成数形互助的思维视角，也不利于若干数学核心素养的发展. 为此，对于“向量的数乘运算及其几何意义”的学习，给出如下的教学设计与实践. 一、类比引入定义，确立数形视角 问题1 学习了向量的加法与减法运算后，接下来该学习什么运算？ 预设 向量的乘法运算. 问题2 我们知道，乘法实际上是一种累加.如果a≠0，那么a+a+a=？（-a）+（-a）+（-a）=？它们的长度与方向呢？ 预设 a+a+a=3a，3a的大小（长度）是3｜a｜，方向与a相同.（-a）+（-a）+（-a）=3（-a）=-3a，-3a的大小（长度）是3｜a｜，方向与a相反，如图1.
启示1 同一个向量的累加可以类比同一个数的累加，这就是一种乘法运算.当然，确定一个向量自然要考虑它的大小与方向. 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记为λa，这种运算叫做向量的数乘运算. 问题3 如何确定向量λa的大小与方向？ 预设 （1）｜λa｜=｜λ｜｜a｜； （2）若λ＞0，则λa与a同向；若λ＜0，则λa与a反向；若λ=0，则λa=0. 启示2 解决向量问题要从数（大小）与形（方向）两个视角入手. 问题4 向量λa与向量a什么关系？ 预设 共线（当然也是平行关系）. 练习1 （教材练习2）点C在线段AB上，且
，则
反馈评价1 在向量加、减法运算之后学习向量的乘法，应是学生自然的想法.类比实数的乘法，则是学生合情的推理.从数（大小）与形（方向）两个视角来定义向量的数乘，更是学生合理的思维.顺应学生的思维可自然切入新知的学习，为整节课的走向奠定思维方向与思想基础.设计问题4的目的是为了向量共线定理的引入而设伏，设置练习1的目的在于牢固确立数形视角的思维. 二、形而数引冲突，回定义出定理 问题5 （教材例6）已知任意两个非零向量a，b，设
能否确定A，B，C三点之间的位置关系？ 预设 画出图形，如图2，根据平面几何知识易知A，B，C三点共线. 启示3 利用图形来判断或确定点的位置关系，这是形的思维. 不知大家是否还有别的想法？
问题6 已知任意两个非零向量a，b，若
能否确定A，B，C三点之间的位置关系？ 预设 无法画出准确图形，只能猜测三点共线.能否通过计算来确认？ 问题7 如果能用计算来确认A，B，C三点共线的话，那么判断的依据是什么？ 预设 若A，B，C三点共线，则
，就有
启示4 图形虽直观，却难以精确，这是形的思维的不足.而数的思维却能通过计算加以精确判断. 练习2 对于向量a，b，思考并判断下列命题是否正确： （1）若存在一个实数λ，使b=λa，则b//a，即a，b共线； （2）若向量a，b共线，则存在唯一实数λ，使b=λa. 预设 （1）正确；（2）若a=0，则实数λ不唯一或不存在，故不正确. 利用向量数乘运算的定义与上述思考，可以得到 平面向量共线定理 向量a（a≠0）与b共线，当且仅当存在唯一的实数λ，使得b=λa. 反馈评价2 事实上，利用向量数乘运算的定义，得出平面向量共线定理，其思维难度并不大，学生接受起来也很容易.但从问题5来看，学生对三点共线的第一反应是形的视角——通过画图来直观操作确认，而非数的思维.因此，适当强化数的思维视角很有必要.为此，通过变式（问题6）来引发认知冲突，迫使学生回归定义，主动引发数的思维，从而引出共线定理与（后续的）运算律的探索学习，产生学习的心向（必要性），奠定知识的逻辑基础，揭示知识的背景. 三、先判断后探索，数与形相统一 问题8 回到刚才的问题5与问题6，如何更快地判断A，B，C的位置关系？ 预设 计算
，考察
是否成立？若成立，则共线；若不成立，则不共线. 问题9 计算
的依据？也就是进行向量数乘运算的依据是什么？ 预设 向量数乘的运算律. 启示5 运算律是实施运算的基本准则.判断位置是形的思维，运算确认是数的思维，这里体现了以数助形的思想. 练习3 设λ，μ为实数，判断下列结论是否成立？ （1）λ（μα）=（λμ）a； （2）（λ+μ）a=λa+μα； （3）λ（a+b）=λa+λb；
预设 上述四条结论都成立. 上述四条都是向量数乘运算的运算律，其中（1）是结合律，（2）是第一分配律，（3）是第二分配律，（4）是向量线性运算的一般法则（包含上述）. 练习4 （教材例5与练习5选编）计算（口答）： （1）（-3）×4a； （2）（x+y）a-（x-y）a； （3）3（a+b）-2（a-b）-a； （4）（2a+3b-c）-（3a-2b+c）. 预设 （1）-12a；（2）2ya；（3）5b；（4）-a+5b-2c. 启示6 通过运算可知，向量的线性运算与实数运算无异.当然，书写时注意别丢写了箭头. 问题10 对于上述运算律，大家实际上只是直觉上的默认它们是否真的成立？该如何证明？ 师生探究 可以从形的角度进行证明.当然，相应的参数需要分类讨论（考虑特殊与一般，正数与负数）. 以λ（a+b）=λa+λb为例，尝试探索如下： （1）特殊的情形，如参数λ=0或1，向量a或b为0； （2）考虑向量方向，如λ＞0且λ≠1，或λ＜0； （3）构造几何图形，运用相似性质可获证明，如图3. 启示7 向量的运算是数的思维，但运算法则的证明却是形的思维，这里体现了以形助数的思想.
反馈评价3 上述过程中，问题8确立了向量共线判断的一般套路，问题9与练习3奠定了数乘运算的逻辑基础，练习4完成了数乘运算与实数运算的类比.相关的判断与计算完全遵从学生的直觉感知，进而形成一般的数学问题研究、分析与求解的程序化思维.之后，引向运算依据的探索，在教师的适当启发与引导下，主要由学生相互合作探究完成.这样的处理突出了学生直觉上的认定以及主观上的体会与感悟，更利于学生从感性思维的层次上升到理性思维的层次. 四、模型化表向量，多角度促融合 问题11 （教材例7改编）如图3，平行四边形ABCD中，
，试用a，b表示相关向量.从图形中能得到什么重要结论？
预设 以a，b为基础向量，易知
而平行四边形的对角线互相平分，故
重要结论：△ABD中，M是BD中点，则
（中线模型）. 启示8 以三角形与平行四边形为基本图形，确定基础向量，即可从中提炼出一些基本模型. 练习5 求解下列各题：
（2）D是△ABC的边BC的中点，则
（3）若Ｏ是△ABC所在平面内一点，且满足
，则△ABC为（ ）. A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
启示9 盯住结论的形式，联想相关基本模型，从不同的视角入手，即可获得不同的思维方法. 反馈评价4 在向量加、减法的基础上，提炼出了关于三角形中线向量的重要结论（中线模型），然后将其模型化以方便应用.之后给出3个练习题，涉及三角形中线向量、首尾相接向量的和等基本模型，融合向量加法、减法、数乘三种运算，其中既有数的处理，也有形的构造.通过基本模型的归纳、提炼与应用，不同视角的思维转换（一题两解），数与形思维并重，也隐含着基（础）向量的运用（为下节课设伏），进一步促进了学生对于数与形两个思维视角的融合与灵活运用. 五、生交流为升华，网格化作铺展 问题12 通过学习，你掌握了哪些知识？ 学会了什么方法？获得了哪些感悟？是否还有什么想法？ 师生交流 可能的要点有： （1）主要学习了向量数乘的定义与运算（律），向量共线定理及其判断方法，向量的表示等； （2）类比的思维方法，包括实数的累加与向量的累加，向量的数乘运算与实数的乘法； （3）从数和形两个思维视角去研究向量是向量的本质体现如向量数乘运算定义的数形视角，向量共线判断的数形视角与灵活选用，向量数乘运算律的证明； （4）向量表示要注意基础向量与基本模型的灵活运用； （5）运算律是数学运算的基本准则，基本模型的识别与运用是解题的重要保障； （6）平面向量是数与形的天然结合体，是数形结合思想的自然产物，故从数、形两个角度去思考与解决向量问题既合情又合理； （7）图形处理问题形象直观，运算解决问题精确打击； （8）向量的运算与表示体现了数与形的完美统一. 本节课在概念学习过程中，顺应学生思维，展开合情类比，确立了两个思维的视角.在向量共线定理与数乘运算律的学习过程中，从合情感知到合理思维，从形到数、从数到形，揭示了知识的背景与逻辑基础.在向量的表示中，强化了基（础）向量、基本模型与基本图形的运用，强化数形两个思维的自然融合，进一步提升了学生的思维与素养.在整个学习过程中，始终以问题为线索，引发学生的认知冲突与主动思维，实现形数思维的灵活转换.通过学习，不仅强化了相关方法与基本套路，而且突出了向量的基本思维方法.同时，在向量的表示过程中，隐含着基向量的概念，为后续平面向量基本定理的学习设下伏笔.而在向量运算的几何解释中，通过网格化（实质为斜坐标系）为后续向量的坐标化作了铺垫.纵观整个学习过程，直观想象与数学运算比翼齐飞，数学抽象与逻辑推理并驾齐驱，数学核心素养的培养与渗透无处不在，思维层层深入，数学思想逐步升华，学生的数学意识与素养不断得以提升.
标签：关系运算论文; 数学论文; 平行向量论文; 实数论文;
