例谈数学教学中问题串的设计与使用，本文主要内容关键词为：数学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
希尔伯特在《数学问题》的演讲中指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止.”由此可见，问题是数学的心脏.笔者认为，问题也应该是数学教学的心脏.因为只有问题才能引发学生思维活动，发展学生的数学能力.同时，“孤立的问题对学生思维的发展几乎没有什么作用，只有让问题以‘问题串’的形式出现，让学生进行系列的、连续的思维活动，学生的思维才能不断攀升到新的高度”[1].基于此，本文着重探讨数学教学中问题串的特点、设计与使用.
一、对于数学教学中问题串的认识
首先要搞清楚什么是数学问题？一般地说，问题就是矛盾，就是疑难.波利亚认为：困难就是问题.“哪里没有困难，哪里就没有问题”.他还说：“一个涌上脑际的念头，倘若毫无困难地通过一些明显的行动就达到了所求的目标，那就不产生问题.然而，倘若我想不出这样的行动来，那就产生了问题”.解决问题就“意味着去找出这样的行动”.在理解“问题”这个概念时，重要的是把问题和题目区分开来.用系统论的语言说，问题是由解题主体和题目构成的系统.只有解题者意识到面临的疑难，接受了题目提出的挑战，并打算解决它以后，题目才成为问题.因此，一个题目是否会成为问题，是由能不能激发起解题者的思维活动为条件的.正如1988年第六届国际数学教育大会的一份报告中提出的：“数学问题是指一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境.”
那么什么又是问题串呢？笔者认为，数学教学中的问题串是指在一定的数学学习范围内，围绕明确的教学目标，按照一定的逻辑结构精心设计的一连串数学问题.问题串也称问题链，通常具有以下几个特点：（1）指向一个目标或围绕同一个主题，层层深入，抽丝剥茧式追问；（2）由一连串子问题组成，各子问题之间符合知识间内在的逻辑联系，递进的或并列的；（3）各子问题存在一定的思维空间，学生能够循序渐进，符合自主建构知识的情境.
二、不同教学环节数学问题串的设计意图举例
苏教版高中数学教材的内容组织主要包括六个环节：问题情境、学生活动、意义建构、数学理论、数学运用、回顾反思.下面撷取几个典型的课例说明不同环节中数学问题串的设计意图.
（一）问题情境环节中问题串的设计意图是提出数学问题
例1 在“用二分法求方程的近似解”一课的开头，我市一位老师设计了如下的问题串：
（1）现有50个小圆球，其大小、颜色等完全相同，其中有一个小球比其他49个小球略重一点.现给你一个天平，在不使用砝码的情况下，请尽快将这个较重的小球找出来？
生1：在这50个小球中，选取2只称重比较，如果不一样重量，较重的就是这个小球；如果一样重量，再取2个小球进行比较……直到检测出这个小球为止.
（2）师：这个方案很容易理解和操作，还有其他的方案吗？
生2：将50个小球平均分成2组，每组25个，放在天平的两侧称重比较.将较重一侧的25个小球，再平均分成两组，每组12个，余下1个.如果两侧一样重，则余下的一个就是这个小球；否则再将12个小球平均分成2组，每组6个，放在天平的两侧称重比较……直到检测出这个小球为止.
（3）师：这位同学想法很有新意！请大家比较这两种方案，你更喜欢哪一种？请说明理由.
生3：从感觉上，我更喜欢第2种方案.这种方案至多需要5步就一定能检测出该球，速度很快.第一种方案中，至多要25步才能检测出小球.
生4：我不这样认为，第一种方案中，如果运气好的话，可能只需要一步！而第二种方案中，运气再好，至少也得2步才能检测出该球！
（4）师：我们处理问题的时候，能否仅仅凭借运气成分来评判方法的优劣呢？相比较而言，方案2的思维方式更具有研究价值.这正体现了我们靠生活经验使用二分法原理解决实际问题.那么，能用二分法原理来解决数学问题吗？
评注 问题情境通常包括实例、情景、问题或故事等.本案例采用实际生活中的具体问题来创设问题情境.通过问题串引导学生提出数学问题：能用二分法原理求方程的近似解吗？问题情境既发挥了先行组织者的作用，又达到了提出问题的意图.
（二）学生活动环节中问题串的设计意图是体验数学
例2 “数系的扩充”一课的学生活动环节，一位老师设计的问题串如下：
（1）数的历史源远流长，现在让我们追寻历史的足迹，看看数的家族是如何发展壮大的.请大家回忆一下数集经历了哪几次扩充？
（2）每一次分别是如何扩充的？每一次扩充分别解决了哪些问题？
（3）我们能否从数学内部发展的需要谈谈数集的扩充呢？譬如说，几种运算法则的使用范围.
（4）这几次扩充有什么共同的特点？
评注 学生活动包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、交流、互动等小组活动.本环节巧妙地设计了四个子问题，引导学生自主探究出数系扩充的两条原则：都引入了新数；原有的运算在新的数集中可以实施.这样设计为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础，让学生真切地体验了数系扩充两条原则规定的合理性.
（三）意义建构环节中问题串的设计意图是感知数学
例3 “向量的加法”一课，教师首先设计了如下两个问题：
问题1.游船先从景点O到景点A，然后再从景点A到景点B，这里的位移OA，AB，OB之间有什么关系呢？
问题1和2对学生而言并不困难，当学生正确地回答了两个问题后，教师又提出了新的问题串：
（1）这里的“+”是什么意思？
（2）“和”是什么意思？
（3）“合位移”是什么意思？
（4）OB的长度等于OA与AB长度的和吗？这说明了什么？
评注 意义建构包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等.这节课对于问题1和2设计追问的问题串迫使学生反思.问题串让他们认真地考虑“和”的意义，使他们注意到“算术的加法”并不是求“和”的唯一合理的运算.可以相信，如果不是教师提出上面的问题串，学生是不可能做出如此深入的思考.因此，这一个问题串让学生对于向量的加法的意义建构活动提供了动力，也提供了感知数学、感悟数学的契机.
（四）数学理论环节中问题串的设计意图是衍生理论
例4 “数系的扩充”一课，本环节设计的问题串如下：
（1）在成功地引入i后，你能写出卡当要找的数吗？你还能写出其他含有i的数吗？
（2）你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？
（3）a+bi（a，b∈R）一定是虚数吗？那么什么情况下是实数呢？什么情况下又是虚数呢？
评注 数学理论包括概念定义，定理叙述、模型描述、算法程序等.教者在建构复数有关概念这一核心环节中，采用设置高质量的问题串，引领学生合乎情理地建构新知.问题（2）具有概括性、抽象性和挑战性，为攻克“复数的代数形式为z=a+bi（a，b∈R）”这一难关奠定基础；问题（3）具有一定的迷惑性，让学生自然而然地想到要对复数进行分类.这一问题串让数学理论自然地出现在学生的头脑中，教师仅起到“助产士”的作用.
（五）综合运用环节中问题串的设计意图是拓展迁移
例5 在“直线与圆锥曲线”一课，笔者在本环节设计的问题串如下：
（4）回顾前面三个问题的解决过程，你认为应该如何求解圆锥曲线中的有关定值问题呢？
评注 数学运用包括辨别、解释、解决简单问题及综合问题等.这个综合运用环节问题串的设计既给学生留下了恰当的问题空间，引发学生类比地提出数学猜想——问题2，又不失时机地把问题进行了拓展与推广，提出了富有挑战性的数学问题3，激活了学生深层次的数学思维活动.教师还通过提出元认知问题4，发展了学生归纳概括能力.借助该问题串，通过学生的自主探究、猜想验证，以及教师的点拨引领、板书演示，学生较好地掌握了圆锥曲线中的定值问题的解决方法，达到了学以致用的功效.
（六）回顾反思环节中问题串的设计意图是理性思考
例6 “数系的扩充”一课，本环节设计的问题如下：
（1）回顾本节课的学习历程，你有哪些收获呢？
生1：我理解了数系扩充的两条原则，掌握了复数的有关概念……
生2：我感受到了数学家善于发现问题，在解决问题时遇到困难不放弃，以及数学家持之以恒、坚韧不拔的精神.
（2）再请一位同学谈谈，还有什么想法？
生3：我知道了什么是复数，那么我在想复数以外还有没有其他的数呢？
师：太好了！看来大家的收获真不少啊！不仅有知识上的收获，还有精神上的收获，更可贵的是还提出了新问题.
评注 回顾反思包括回顾、总结、联系、整合、拓展、创新、凝缩等.在本节课的小结环节中，第1位同学的小结重在对本节课学习的主干知识与思想方法的提炼，在意料之中.后两位学生的即兴小结则让笔者震撼，也出乎了教者的课前预设.第2位学生的有感而发不正是本节课的德育价值所在吗？第3位学生的提问多么顺乎自然而又富有创新精神！三位同学从不同角度诠释了自己对于本节课学习的理性思考.回顾反思环节中问题串的设计一般要具有开放性与兼容性，让学生能够有话可说，有感而发，让学生能够直抒胸臆，表达对数学的理解.
三、对设计数学教学中问题串的思考
在数学教学中，问题是引发学生思维与探究活动的向导.有了问题，学生的好奇心才能激发；有了问题，学生的思维闸门才能开启；有了问题，学生的探究活动才有载体.教师只有通过设计恰当的问题串，才能使教材中知识的逻辑结构转化为学生的认知结构，才能把教材中静态的知识呈现转化为课堂上动态的建构过程，引发学生的积极思考.因此，在数学问题串设计时，应该注意以下几点.
（一）问题串的设计要紧扣核心内容的认知
前面详细探讨了课堂教学的六个环节中问题串设计的意图与案例.其实在对一节课进行教学没计时，我们首要任务就是要把握好这节课的教学重难点内容与核心知识，并以此作为问题串设计的出发点与着力点.唯有如此，才能真正抓住主要矛盾，紧扣核心知识，提高课堂教学的效益.譬如，在执教“数系的扩充”时，这节课的教学难点应该是数系扩充的两条原则，因此才设计了四个子问题构成的问题串，通过学生活动来体验数系扩充原则规定的合理性；同时，有关复数概念的衍生是本节课的重点知识，为此又设计了一个问题串，让数学理论自然而然地诞生在学生的头脑中.
（二）问题串的设计要立足于学生的认知起点
奥苏贝尔认为：学生的认知起点是学生学习是否成功的前提.因此在进行问题串设计时，要调查清楚学生的认知起点，以及这个起点与所要学习的数学的逻辑起点是否吻合，把握好适宜性原则.问题串的设计只有以学生的现有知识、生活经验、能力水平为基础，并贴近所要学习的内容，才能有效地促进新知识的同化与顺应.
（三）问题串的设计要处理好预设与生成的关系
课堂是一个动态的、开放的、充满变数的师生共同活动场所.再充分的课前预设也不可能穷尽课堂上生成的一切内容，因此教师必须要能够随机应变，果断机智地处理好预设与生成的关系，要让问题串中各个子问题的呈现比较自然，合乎情理.上课时如果感觉到子问题低于学生的认知水平，可以直接跨过去或者提高其难度；如果感觉到子问题高于学生的现有认知水平，可以临时再增加新的子问题作为台阶，或者留给学生更多的思考问题的时间与空间，总之问题串要能够让学生在“现有发展区”内拾阶而上，达到“最近发展区”.问题串的有效性就是不断地把“最近发展区”转化为“现有发展区”.
（四）问题串的设计要把握好梯度性原则
问题串的设计要根据教学目标，把教学重难点内容设计成一个个彼此关联的问题，使前一个问题作为后一个问题的基础与铺垫，后一个问题是前一个问题的继承与发展，每一个问题都能成为学生思维的阶梯，一串问题形成一个具有一定梯度和逻辑结构的问题链.问题串中子问题的跨越梯度过大容易造成学生的思维困惑，影响教学的流畅性与节奏感；反之，若子问题的跨越梯度过小，容易造成思维量不足或思维价值缺失，不利于学生思维水平的提升与能力的发展.实践表明，问题串中子问题的个数一般以3～5个为宜，共同为解决一个核心问题而发挥作用.