教学生学会“选择”：高三解题教学中培养学生解题能力的一个实例_思考方法论文

教学生学会“选择”——例谈在高三的解题教学中培养学生解题的选择能力，本文主要内容关键词为：培养学生论文,能力论文,教学中论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      有研究表明，中学生的数学学习选择能力是影响学习成绩的重要因素，二者有着比较高的正相关，并且相关性显著[1].而学生的数学学习选择能力的获得，需要教师的引导.那么，如何在高三的解题教学中教学生学会选择？本文结合教学中的一些实例，谈一些想法与同行交流.

      一、选择“好的”思考问题的角度

      俗话说，“不怕做不到，就怕想不到”，对于解决数学问题来说也是如此.选择好思考问题的角度，是解决问题的关键所在.思考问题的角度如果选择的合理，解起问题来就会顺畅自如，否则易陷入“迷雾”，难以自拔.

      

      思考角度一，借助几何图形进行观察.

      如图1，△FAB面积可分割为△FAO与△FBO面积之和.这两个三角形共用线段FO为底，其长度为

.若它们的面积最大，只需三角形的高最大.观察发现，当点A为椭圆的上顶点、点B为下顶点时，△FAO与△FBO的高同时取最大值1.所以，可求得△FAB面积的最大值为

.

      

      思考角度二，借助代数运算.

      

      思考角度一，借助直角坐标系.

      以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.则A（-1，0），B（1，0）.

      设C（x，y），由AC=

BC，

      

      思考角度二，利用余弦定理.

      

      根据余弦定理得

      

      从以上两个例题的思考角度可以明显看出，角度一均比角度二要简单许多.一旦想到，难题变容易.但关键是，如何才能让学生想得到？

      对于例1这样的解析几何问题，由于平时大量的训练，让学生养成了“解析几何就是靠代数运算”的思维定势，遇见题目连想都不想，就埋头运算.解析几何是用代数的方法研究问题的，但研究的是“几何问题”.既然如此，怎能忽略它几何图形中所隐藏的信息？思考问题的角度怎能不分“几何”与“代数”？如果在教学中，能让学生深刻的领悟到这一点，想到这样的思考角度并非难事.

      例2是解三角形问题，但利用几何图形却简单易行.这对于学生来说，是最难想到的，因为思考问题的角度往往会受题面的影响.而形成这种思维定势的原因，关键在于平时缺少多角度思考问题的意识.所以在教学中，要引导学生养成多角度思考问题的习惯，遇到题目不受题面的影响，学会在“代数”与“几何”、“正面”与“反面”等之间，寻找简单易行的思考角度.

      二、选择“恰当的”思想方法

      思想方法是解决问题的根本大法，学会选择利用思想方法解题至关重要.高三阶段常用的数学“思想方法”有以下四种：数形结合、函数与方程、分类讨论、转化与化归.可以说，很多问题的解决，都得以“思想方法”的合理选择和灵活应用.

      

      本题换元（令t=cosx∈[-1，1]）后是关于t的一元二次方程有实数根.若直接求解，则需要对根的情况进行讨论，即关于t的方程

-t-1-a=0在[-1，1]上有一解和二解.但此时的分类讨论并不“恰当”，有“小题大做”之嫌.

      那么，如何求解才“恰当”？

      解 由已知，得

      

      显然，例3利用的是函数与方程的思想.方程与函数本是“一家人”，而函数又是“统帅”，解方程有困难，当然要“求救”于函数.“

+cosx+a=0”是方程，但变为

则是函数，因为有一个自变量“x”，就会有一个因变量“a”与之对应.此时“x”的取值范围是定义域，“a”的取值范围则是值域，一旦想清楚了这层关系，问题则迎刃而解.

      例4 关于x的不等式xlnx≥ax-1在x∈[1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是

.

      解 由题设可转化为不等式

      

      所以，a的取值范围是（-∞，1].

      

      还有其他的构造函数的方法吗？原不等式可转化为xlnx-（ax-1）≥0，可令g（x）=xlnx-（ax-1），若不等式恒成立，只需

即可.但欲求函数g（x）的最小值，则需对参数a进行分类讨论.由此可知，“恰当”的构造函数是使用好思想方法的关键所在.

      可以看出，例1和例2使用了数形结合的思想方法，例3和例4则使用了函数与方程的思想方法.在教学中，我们要通过对具体问题的剖析，让学生领悟其中所蕴含的思想方法，遇到问题时能合理选择并熟练转化，做到游刃有余.

      三、选择“目标明确”的已知条件

      通常情况下，一道题目会存在几个已知条件.把那些化简方向单一、明确，不存在多种化简可能的已知条件，称为“目标明确”的已知条件.

      

      例5中可化简的已知条件众多.比如，cos40°与sin50°可以相互转化、sin70°可化成cos20°、tan10°可化为正余弦的比值、

可利用二倍角公式开根号.在这其中，将“tan10°化为正余弦的比值”是“目标明确”的.因为，除10°角的三角函数名为正切外，其余均为正余弦，根据化简的基本原则（同名同角），所以正切需化为正余弦；另外，将“

开根号”也是“目标明确”的，根号若不去掉，无法与其他式子化为同类，阻碍化简.

      如果先化简那些“目标不明确”的已知条件，比如，将sin50°化成了cos40°或将sin70°化为cos20°，则显盲目.因为“目标角”尚不明确，草率化简显然不合逻辑.

      所以解题时，首先要从“目标明确”的已知条件下手，先把它化简到某个“既定”的方向；然后再使用其他的已知条件，将它们转化为离最终的目标接近的等价形式.如此化简更符合逻辑，避免“徒劳”.如果使用已知条件的顺序不当，有时会影响到解题的难易程度，甚至会导致问题无法解决.真可谓，“一着不慎，满盘皆输”.

      四、选择“简捷”的化简方法

      教学中，教师往往看重的是解题思路.认为一旦帮助学生把解题思路分析清楚了，接下来的化简不再需要指导，只要算一算，就能将问题解决.但是，很多时候，学生的解题思路清楚，却陷于“复杂”的运算当中不能自拔，最后无功而返.问其原因，均归咎于运算粗心.

      事实果真如此吗？其实不然！“化简”并非易事，中间蕴含了许多方法，有很多“金子”可挖，使“蛮劲”不是解题的好方法.那么，化简时，哪些方面值得关注？

      1.选择适宜的变量

      看例1的第二个思考角度的解法.它选取的变量是直线AB的斜率，并以此变量来建立目标（△FAB面积）函数.但是我们发现，选取这样的变量并不“划算”.一方面，弦长AB和△FAB的高都需计算，且运算不简单；另一方面，还需对斜率进行讨论.那么，还有其他的变量可以选择吗？

      

      此解法选择的变量是点的坐标.看其运算量，显然要少很多.当然，即使要选择斜率为变量，也应该把直线AB的方程设为x=my，这样避免了斜率不存在时的讨论.由此可知，变量选得好，可以减少计算量.

      2.关注结构特征

      我们知道，如果想在最短的时间内记住某个人，首先要好好端详一番，然后找到他最突出的特点并记下来.化简同样如此，式子的结构好比是人的外貌，化简时首先要观察式子的结构，发现它的特征，进而选择合适的方法，而不能一味的“死算”.

      例6 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为

（a＞b＞0），点B是其下顶点，点F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P，Q两点.若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是

.

      此题的思路很明确.设出直线BF的方程，与椭圆方程联立，求出点P的坐标，再利用中点条件，列出等式求结果.

      接下来，关键的问题就是如何设直线BF的方程？如何联立方程组进行化简？

      

      还有其他的化简方法吗？

      

      所以，对化简方法的比较、分析、体会，在我们的教学中不能轻而易举的“滑过”.要让学生慢慢地进行“品味”，不断地比较化简方法与式子结构之间的联系，悟出其中的“门道”，久而久之，就会让“观察式子的结构”成为学生的“本能”，化简起来就会得心应手.

      3.善于运用换元

      换元法是化简的一种重要方法，是通过整体代换达到化繁为简的目的.比如例3，令t=cosx将原方程转化为关于t的二次方程；例6，把“

”当作一个整体进行消元，都使用了换元法.换元后易于发现问题的本质，同时也方便计算.在教学中，要让学生清楚使用换元法的条件，明白换元法的注意事项，掌握换元的常见方法.引导学生善于运用换元法，让学生体会到换元的好处.

      以上四个方面的选择，仅是教会学生选择的一部分内容.要想解决好一个问题，需要多方面进行综合考虑.在高三的解题教学中，教师要善于抓住解题过程中的每一个环节，不放过任何一个“有价值”的机会，引导学生进行对比、分析，反复琢磨，积累更多的经验、更多的解题途径，并能在各种途径中作出合理选择，少走弯路.

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