Mandelbrot 经济学25年，本文主要内容关键词为：经济学论文,Mandelbrot论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
许多体系完善的学术领域都十分荣幸地让B.Mandelbrot“自由游荡进出”于其中。可是很少有人注意到，至少涉及到分形时，第一个获此殊荣的领域并不是物理学，而是经济学。从1960年开始并延续到1972年，Mandelbrot写了一系列开拓性的文章，这些文章涉及到对收入分布的"Pareto"律的解释，价格时间序列的统计性质，关于资产价格的“鞅假设”，以及传统的套利思想的各种随机性含义。从那以后，Mandelbrot离开了经济学从未返回，此后，他因在物理学中大力应用分形几何而闻名。这件事情的异乎寻常之处普通人是难以体会出的。自然科学家尤其是物理学家，转移到经济学是较常见的；但是对某些人来说只是为了寻求名誉和财富而离开自然科学并开始在经济学中发表他们的思想，更不用说抵制将他们在自然科学上的成功来增加在经济学中的可信度的这种诱惑。我已在其它地方讲述这个故事的一部分。这儿我提供一份自从Mandelbrot经济学著作问世以来，在经济学领域内对Mandelbrot经济学著作反应的综述。
Mandelbrot在经济学中的工作经历了两个间断的高涨时期，一次为60年代末，另一次为80年代末。在第一个时期，它被认为是对当时占主导地位的计量经济学和资产定价理论的一个正面冲击，但在70年代初，人们普遍认为这两种理论是毋庸置疑的。而在80年代末，Mandelbrot的名字与非线性动力学中混沌理论联系起来，很多经济学家也开始对经济学中的混沌现象产生浓厚的兴趣，于是对Mandelbrot的工作的研究又悄然兴起。然而，由于传统的观点普遍认为混沌在经济模型或经济时间序列中是不可能找到的，到90年代中期，混沌理论就象经济学中的稳定Pareto分布一样过时了。现在仍能找到这样的一些翻新的文章，它们是批评早期关于稳定分布工作的。人们或许认为，把这件事作为评论文章的主题是不恰当的，除非他们承认这样的事实，即熟悉这些过去已发表的资料后，他们更加相信这两件事件都不是Popper的大胆假设与严格反驳理论的明显的案例。事实上我在1990年就预见新古典主义的正统学说，即后来的“新古典经济学”；将发现混沌理论和非线性动力学是难以接受的、有害的、且和它那研究经济学的完整方法是不一致的；我现在丝毫不为这一预见的成功感到高兴。当然，现在摆在我们面前的任务是用已有资料去证明这是怎么发生的，这可以对那些痴迷于经济数据分形特征的人起到启发和警示的作用。就我个人的看法，Mandelbrot的经济学仍有可观的潜在前景，只是在此之前一直被一时的学科惰性和一些奇特的经验所掩盖。
一、从Parero律到稳定分布
首先由语言学中的“Zipf律”引起Mandelbrot数学好奇心的是所谓的收入分布的。“Parero律”，它在经济学中远远够不上是一成熟完善的规律，相反，这只是十九世纪末的经济学家Vifredo Pareto的一个观测——根据大范围的欧洲情况，收入分布正好沿下列曲线变化：
log N=A-аlog x
这里N表示收入大于x的家庭的数量，A和а为参数。当Mandelbrot在1960～1962年间在一系列文章中接纳Pareto的观点时，这一观点在经济学中还处于被忽视的地位，一些经济学家坚持认为它与实际数据不符，而另一些经济学家则认为它需要某种微观经济理论的支持。由于熟悉Paul Levy的工作，Mandelbrot强调收入分布中的“胖尾”现象正表示了稳定分布而不是Gauss分布的存在，特别是当1＜а＜2时。它也表明了Mandelbrot开始对自相似过程以及在对数坐标图上绘制累积分布以估计分数维数的浓厚兴趣。基本上是在同时，Mandelbrot觉察到了将他的见解推广到其它物品的价格分布上（因为对一个经济学家来说，收入就是人类劳动的价格）的可能性。正是当Mandelbrot把股票价格的时间序列看成是稳定分布时，经济学家才开始给予关注。
1963年的两篇文章得到了迅速的回应。以前，经济学家建立了股票价格的时间序列模型，且认为这模型是“随机游动”或标准的布朗运动；但是Mandelbrot坚持认为实际记录与在传统的扩散物理中所发现的是不一致的。价格记录被巨大的不连续变化所打断，这些变化倾向于聚积在一起，违背了Gauss分布要求的平滑趋势。正如他后来所写，“连续性假设的唯一依据是许多科学研究有意或无意地倾向于模仿那些在牛顿物理学中被证明是成功的方法…，但是价格是不同的：两种结构不含可比性。”当价格记录逐渐变长时，均方差看起来并不稳定，更进一步，Mandelbrot认为无论时标是以星期、月为单位，还是以年为单位，时间序列的几何形状均保持不变。他的富有建设性的假设是将价格变化的边缘分布重新定义为稳定Levy分布类中的一员，那时他也称之为“稳定Pareto”。
既然以前被经济学推崇的Gauss分布是稳定Levy分布类中的一员，这个建议似乎是已有的经济学说的一个无关痛痒的改版；但是Mandelbrot([48],p.432)从一开始就意识到情形并不是这样。对除Gauss密度外的所有密度而言，当1＜а＜2时，除一阶矩外，稳定Levy分布的其它矩均为无穷；更糟的是，除Gauss和Cauchy分布外，其它分布不可能写出闭合式的解析密度函数。60年代计量经济学家的每一个统计学应用几乎都妥协于如下的修正：普通的最小二乘法，即60年代计量经济的有力工具，被认为是一种不很精确的估计，因为它太多地考虑外部因素了。时间领域中的相关应用，如谱分析和ARIMA模型，将失去他们的统计理论基础。最大似然方法必然陷于困境。然而经济模型的随机推导更糟。信息“经济化”的思想，在新古典主义的经济学中处于重要的位置，在稳定Levy领域中却是滑稽可笑的。通过投资组合多样化来分散风险的概念——从Markowitz开始在新古典投资组合理论中最重要的部分——将随着价格分布的稳定Levy参数а的值小于2而失去意义，а=2代表Gauss分布。([76],p.861-876)。
对史学来说重要的是注意到：对大部分经济学家来说，Mandelbrot的假设给传统的经济学带来的可怕后果和负面影响不是显而易见的，确实，他的起初的论断源自所谓的Occam剃刀，即Levy稳定分布为中心极限定理的更一般的形式，而中心极限定理是用于证明Gauss形式体系的，因而这两种分布的一致是十分合理的。这一论断产生了一代杰出的经济学家。这样必须承认：“自从Bachelier的开创性工作(1900)以来，在投机价格理论方面Mandelbrot的假设毫无疑问是最具有革命性的发展”([19],p.195)。例如，Eugene Fama在芝加哥开始了他早期的工作捍卫Mandelbrot的理念；Thomas Sarngant赞同用Levy稳定分布的估计比用最小二乘法估计更完善的看法；Paul Suamuelson阐述了这种新方法的重要性。然而，一些感觉敏锐的批评家对Mandelbrot的假设敲了警钟。“因为没有任何相信二次效用函数功能的理性人会投资于股票，故投机市场的效用方法中的规范工作过时了…几乎毫无例外，过去的计量经济工作已失去意义。诚然，在花费百年的工作化为灰烬前，我们应当确信我们一切工作已是真正无用的”([19],p.196-197,337)。
最早对Mandelbrot经济思想的抵制不是来自统计学家或计量经济学家，因为在60年代，统计理论和稳定分布之间并不矛盾。实际上，“毫不夸张地说，正是Mandelbrot的工作，使稳定分布律构造统计估计量的问题进入了数理统计学”([85],p.217)。相反的，那些首先被激起作出反应的是新古典经济理论家。Mandelbrot所引发的是一场隐隐约约的危机，即如何正确地将概率性融入确定性的新古典价格形成模型中去。虽然他的工作的大部分在“投机价格”的名义下进行的，但问题是深层次的。20世纪初，在新古典主义价格理论和随机性间的任何协调都会引起相当大的反对，但到20世纪40年代，新一代的Cowles委员会成员提出了一种折衷办法：经济时间序列的随机特征将由在确定性新古典主义方程中的白噪声的叠加来模拟。而“不确定性”或“风险”将用基于完美知识的线性二次目标函数的某种期望效用理论来度量。这样随机性和不稳定被描述为市场运行的“外部因素”，“震动”冲击着一个机械的确定性（通常为线性的）体系。新古典论者通常认为他们从物理学家那里获得灵感：“正如Ehrenfest和其他物理学家不得不把偶然性加进物理学的因果体系中去，以便处理古典力学的时间可逆性与热动力学第二定律的时间不对称性之间的不一致问题，我们必须基于现实考虑，把随机的或偶然的扰动加入经济的和生物的因果体系中去”([76])。
不幸的是，一些文献由于把资产价格时间序列看成是一种起源于热动力学的随机游动，正在威胁刚刚形成的和谐局面。随机游动文献的一种可能含意是价格波动中不存在确定性过程，另一种含意是对计量经济来说很少有或不存在可估计的东西。换句话说，这些文献对规律性的经济特性提出质疑，而新古典学家将他们的名声寄托在这些经济特性上。在这个关键时刻Mandelbrot的介入，由于他无限方差和无力区分价格时间序列的根本不同的统计描述，只会使问题雪上加霜。六十年代中期，认为Mandelbrot的假设不可能正确的主流观点至少分成如下两类：一些人试图更好地在统计的假说和理论格式中架桥，以便一种协调的检验测试程序能够产生，而其它人试图“证明”价格的随机现象。实际上与新古典主义理论一致，或许加入了与Mandelbrot相悖的其它随机假设。前者由Mandelbrot和Fama发起，后者由Povul Samuelson发起。
不幸的是在先前的记录中Mandelbrot和Samuelson是资产价格“鞅”理论的共同鼻祖，因为Mandelbrot第一次明确把它看成为稳定Pareto假设的一种定形，而Samuelson通过发现“有效市场假设”作出相应回应，Mandelbrot处理这一问题的方法与Samuelson的截然不同，这一事实容易从他的文章“早熟的分形宣言”看出。在文中，他把科学史中的非决定论区分成两个阶段：第一阶段，由统计量提供的附加信息是一种即使不完全也是很重要的修正量，即一个“误差项”，一种“围绕平衡状态的波动”；第二阶段，在古典中心极限定理不成立的地方，人们通常不能期待将波动还原为确定性的原因，甚至或者还原为确定性和不确定性间的一个恰当比例。毫无疑问，Mandelbrot并不重视经济学中那些连第一阶段都够不上的领域，更不会对第二阶段进行认真的考虑。至少物理学家已经认识到同气体分子一样复杂的动力学的确定性微观描述远远超越了他们体系的分析范围，因此在热动力学的宏观体系中革新了现象学方法。然而，Mandelbrot在哈佛大学遇到的大多数新古典经济学家仍然工作于单指标的确定性模型而缺乏正确性地专注于市场现象。实际上，这也是Samuelson使用“鞅论”的方法。
Samuelson和Mandelbrot有另一个明显的不同，这种差异最终将有更彻底的结果。为解释某些“基本因素”本身为何产生稳定的Levy分布，Mandelbrot提出了他的“鞅论”模型，因此，考虑更普遍的极限定理可以解释价格变化稳定分布的普适性。而另一方面，Samuelson是这样来说明了他的结论；价格的随机变化即使不考虑这些变化的边缘分布的二阶或更高阶矩，也可以“证明”市场是有效率的。当Mandelbrot希望突出经验稳定分布的理论意义；Samuelson想回避稳定分布以及熨平价格记录似乎可能的随机性。不用说是Samuelson式的“鞅论”占据了经济学界的主导地位。由于这个原因，当1975年左右人们认识到实际中的价格波动比“鞅论”模型显示的资产价格波动大，([44],p.1586)经济学家有些困惑。
在这点和其它许多情况下，Mandelbrot已经事先预见了这种可能性。在他1969年的文章[52]和1972年的文章[54]人们可以看到他的关注转向时间区域中的相关性，特别是长期的相关，例如1/5噪声和分数次积分噪声。计量经济学家和赞同最近流行的处理时间序列的Box-Jenkins方法的人似乎只考虑“高频”方差的序列相关和Markov相关性，它们与以前那种观点一致，即局部线性效应能逼近任何现象。Mandelbrot曾经断言经济时间序列“特殊的光谱形状”现象学和这种观点并不一致，他也表明经济学家应考虑“长期依赖”或低频方差，特别因为经济变量中非周期循环。在他1969年那篇还未受欢迎的文章中，他给了具有与纯粹无关或长期相关有关系的Gauss或稳定Levy边际分布的时间序列的所有可能组合的一个分类。而且得出结论，在很多例中，Gauss或长期相关组合非常像稳定的Levy或独立关系列。基于这种现象学的相似性，特别是基于经济学家事先刷新或修改他们数据的习惯，他最终非常怀疑作为描述经济现象的ARIMA模型的作用。
在最后这些工作中，人们可以观察到Mandelbrot在自然科学中日益坚持他的方法的一般可行性。——直到这阶段他才开始运用分形几何——这也许是他走出经济学的信号。虽然人们不可轻视他偏向于新面孔和新环境，但有一些“推动”因素解释了Mandelbrot的追溯到1972年的最终经济学出版物。要说明的是，1970年是经济学界接受Mandelbrot观点的转折点；然而，变化是巨大的，此处只能以一种半粗略的方式提及。一个重要的事件是Cowles式的计量经济学退出了历史舞台，它可以追溯到1969年11月份评价大型计量经济模型的一个会议。有两篇文章特别令人失望：第一篇Philip Howrey写的表明不能用检查线性滤波特征的方法的Wharton模型解释商业循环的一般特性。另一篇由Ronald Cooper写的表明简化的ARIMA模型能预测出许多美国大型复杂计量经济学模型。一些评论家急迫地想知道在过去二十年的花费昂贵的统计研究中到底取得了哪些成绩。计量经济学曾经有过的不好声誉现在已在经济学界清除了。更重要的是大型的宏观模型与Keynes经济学密切相关，后者在1973年以后的石油危机及其余波中名誉扫地，对所有反反复复的努力试验和失败的反应就成了为人所知的“理性出预期”运动；毫无疑问许多这一运动的主要倡导者已在我们的叙述中脱颖而出：Thomas Sargent,Engene Fama和Pail Samuslson。它对外行的人来说也许是古怪的，不协调的，但对合理预期理性化的抨击加强了对具有一个代表因素的确定性新古典经济学的保证。这种经济学结合了完全有效市场为特征Samuelson的“鞅论”解释，和对ARIMA时间序列模型的偏好。对Mandelbrot所认同的一切的拒绝是全方位的；稳定分布，长期相关性，完全套利的不可能性，经济时间序列的随机特征的不可区分性，模式化的现象学（热动力学）方法及科学非决定论的第二阶段。
然而，1970年是关于Mandelbrotl作的更为精确的分水岭。正是在这年Peter Clark完成了哈佛大学博士学位论文，该文认为从属随机过程比稳定Levy分布更能模式化经济变量分布的“胖尾”。在参考文献[59]中，Clark认为：从在贸易周期中“经济时间”没有平滑流动的意义上说，对时间序列分布的支持并没有得到详细说明。
按上段的框架中，如果价格P(T(t))“从属于”一个本身随机的X(t)的独立的直接过程T(t)，则标准Gauss过程的时间将导致一个更为精细的观察过程。用标准Gauss过程的时变方差逼近的稳定的Levy分布这一实践将成为下个十年经济学正统的标志。1970年也是对Fama的有效市场假设进行重大的检测的一年，这年他开始决心放弃对Mandelbrot假说的支持。Sargent从这一点出发也对稳定Levy分布妄加评论，根本不顾及这样做对自己随后的工作会造成什么后果。Blattberg和其他人也随后一道失去了对稳定Levy分布的热情。Chritother Sims和Clive Granger二位将在理性预期运动中成为举足轻重的计量经济学家，他们对稳定分布的鄙视，宁可用自回归条件异方差变量取代之。
虽然从一些出版物中可以看出Mandelbrot对经济正统观念的不耐烦，但大体上他不大愿意反驳这些观点。下面是他的反应([55],p.157-158)。
此文重新提出了我经常碰到的对我的科学判断的指责：或者Clark和其它许多评论家在感情上总是认为无穷方差是无法接收的，为了避免它，经济学家应该接受有限方差，即使它与一些事实相悖；而我却坚定的认为Levy的稳定分布既在数学上是方便的，同时也说明了真实世界。正如我相信科学模型不应该只是简单的去拟合一些曲线。一般说来，如果人们分别去拟合不同的现象，最好的结果应该是互不相关的，在其原始区域外是无法处理的。
或更近期的文章（见[58],p.12）：
抵押品和商品价格在60年代初已成为首先描述报道的主题，后来是分形。人们广泛假定价格是时间的连续可微的函数。我们可以断言这不仅不是显然的也不仅与事实相反，而且也与它本应具有的特性相矛盾。原因是竞争价格部分反应了预期的变化，这些变化具有任意程度的不连续性…我们对价格的研究引起了在水文学中已提及的评论，第三点可描述为“你们的模型看起来很好，但它们如何与经济理论联系起来呢？”在这个有些不悦的时刻，我们作出反应，“这些结果还有待于解释；事实上，解释不能合理地从现存的经济理论中得出。”
以我所见，这许多挫败充分证实，尤其在70年代。许多经验研究表明价格变化或股票收益的边际分布太微小而非Gauss分布，同时也表明稳定Levy分布参数а（依当天标准）的估计可靠地在1与2之间变动。这一研究对参考文献[12]、[18]、[37]的结果进行了挑战，因为它假定了某一“胖尾”分布的存在并且断言尽管没有直接证据，它比稳定Levy分布更适合某些数据。当时无人质疑Mandelbrot假说的可靠性：极限定理的考虑有益于稳定Levy描述支持随机游动的早期研究通过事先白化，消除走向和其它形式的方差检验而得到大部分的合适。总之，经济学界放弃Mandelbrot假说的理由主要的不是由于经验的充分性和简洁性。支持这一看法主要来自这一事实即涉及细微分布的反面的或可替换的假设从未进入普通的计量经济实践，这一实践满足Gauss分布。负面研究的唯一目标是“反驳”Mandelbrot。
从70年代中期直到最近，在正统经济学文献或计量经济学教材中无人进一步提及Mandelbrot的假说。的确，经济时间序列分布的本性问题只在一些诸如被统计学人群阅读的杂志或局限于商学院教师阅读的杂志中保持生命力。目前，有如此多的刊登金融时间序列的统计检验的杂志以致在一次报告中几乎不可能如此多包含所有这一切工作。或更糟的是人们疑虑同一股票价格数据被多次考虑后，是否会破坏任何合理的样本理论。然而，在发展股票稳定律参数的统计方法中已经取得了重大进步——例如，见文献[3],p.40,85——由于那种原因，对于Levy稳定分布的经验普适性问题现在比70年代有更多的争议。
随着计算机价格性能比的越来越适宜，测试大量的个股股票价格、未来走势和兑换率的时间序列成为可能。事实上，许多人主张对于验证Mandelbrot的假说这是更合适的地方，因为用单指标数字或其它集合的先前工作被一系列无关的考虑损害。然而，公平地说，大多数最近的统计实践与Mandelbrot的假说相矛盾，即使作者承认往好处说是好坏掺半，往坏处说是得不偿失。尽管正如一位作者承认的，“对稳定律没什么推断理论”([3],p.85)。检验稳定Levy分布的存在性的方式有四种方式。第一种是用(Koutrouvelis,1980)基于后回归的方法去估计参数а。结论是显然的：所有的工作承认估计落在区间1.5～1.9，很少会在2的标准误差之内，这个值表明了Gauss过程，第二种方法是检验稳定分布的存在性的方式是根据Mandelbrot强调的时间序列的自相似性，即问当把每日（或高频）变化累加而形成“周”或“月”样本条件下是否稳定，这里一致的是价格变化沿着时间轴相加不是稳定的，但时间越长а的估计值趋于上升。第三种方法试图集中于分布的尾部，尤其因为以上的供选方案以其它稳定分布参数为条件（稳定Levy分布有四参数的特征函数，不像Gauss分布的二参数）。这一工作在所有方法中是最不清楚的，但似乎发现经验尾部比稳定分布的那些要薄得多。最后，第四种方法是把对波峰和高阶矩的经验估计看成是各种稳定分布的模拟值（当1＜а＜2时在第一种方法中技术上不存在二阶以上的矩）；这儿结果又表明波峰和第六阶矩要比对经验样本的预期要小得多。
对这些结果的解释仍然悬而未决。由于上述已提到的原因。这些结果没有任何一种与Neyman——Pearson假设检验相似，在加法检验下的稳定性问题让位于如下结论即只能解决带有4个参数的完全相同的稳定分布而相加的问题；但许多人承认股价收益在很大程度上发生了偏斜；
值的向上的变化能被这唯一的事实解释。对于不充分的肥尾部的问题，无人提及各种机构和股票交易市场的操纵对价格变化的明显的干预；事实上，美国股市在1987年10月崩盘后引进的制动机制使这一点更为明显。最后，矩检验被弄得模糊不清不仅因为以上所提及的特别原因，而且因为对完全四参数分布矩的模拟缺乏标准化表。
实际上对以上提及的检验的批评进行得更深入。首先，利息变量的选择在实验方案中没有充分标准化。Mandelbrot自己有意地选择价格时间序列的一阶差分(P(t)-P(t-1))，因为他想强调在加法下稳定Levy分布的稳定特性。其它经济学家并不满意这种看法，他们引入比值收益[P(t)-P(t-1)+d(t)]/P(t)=P[*](t)，其中d(t)是股息，甚至对数收益logP[*](t)。更遭的是，许多研究仅仅使用比值收益P(t)/P(t-1)或者它的对数。其次依赖自我力量的方法值得怀疑，因为没有证据证明对稳定参数这一点是有效的。第三，非常糟糕的是，这些消极结果的支持者很少将他们的逻辑推到最后。如果稳定分布确实是价格时间序列的一个不正确的特征，则由此推出Gauss分布亦然。因为任何不同于稳定或Gauss收益的假定的资产组合分析是没有已知模型的，这种自反性的条文向真正的未知领域进入。
在这点上，我们应当说明的是大部分正统金融经济学家坚持能解释以上结果。这个传统开始于1972年的Clark和Barr Rosenberg的Berkeley大学学位论文，然后是Engle的Auto Regressive Conditional Heteroskedastic(ARCH)自回归条件异方差模型，以广义ARCH或GARCH模型告终([13])。这些模型，从属于随机过程模型，认为噪声大致上是属于Gauss分布，但通过某种熟悉的分布滞后或ARMA结构可修正成变化的二阶矩。这些模型能模拟稳定分布的许多特征，比如“胖尾部”、“剧变性”的聚集，当人们从收益时间序列中剥离信号时自相关性的呈现等等([22])。未被注意的是这种方法的许多开创者明确认为Mandelbrot的假设是要被取代或过时的。虽然直到最近GARCH在正统金融学中被认为是一种技术，但人们发现持这种主流看法的原因不是那么非常清晰的，首先，真实的GARCH结构从未在资产定价的任何包括的模型中所提及，认知新古典定价模型中。进一步，当理解传统的GARCH估计，显然，这种估计只不过是对过去易变性移动平均的拟会局部线性逼近，在ARIMA时间序列模型的一般思想中：它类似于具有足够多自由参数的任何数学函数的超度拟合。但最后与GARCH有矛盾的是在方差上的非局部或“长期相关性”，实际上，这一点被一些热情的支持者所承认。因此，此模型并不是一种惊人的经验上的成功。对它的广泛接受难以解释，除非这一模型被广泛认为是对于标准计量经济实践无多少威胁的Mandelbrot假说的唯一替代。
总之，虽然作为很适合经济时间序列的Mandelbrot的稳定分布的见解在鉴赏家那里作为一个“隐含的成功”充满活力，但在经济学家那里并没有得到最热烈的支持。若说有这种支持的话，它是最近才被一些计量经济学家和经验学家重新给予关注。然而这并不是Mandelbrot的名字获得大量经济学家认同的主要原因！相反地那是由于混沌理论。
（未完待续）
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