关于高考普通试题的几点思考_高考论文

关于高考概型试题的几点思考，本文主要内容关键词为：试题论文,几点思考论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

概型试题是近年高考的必考内容，在2009年的37份高考数学试卷中多以综合题（中低难度）出现，是一般考生能够得分的地方。不过，概型试题也有丰富多彩的内容和形式，解题时需有合理的思维。本文以例题为载体，对概型试题几个常见问题进行了深入的思考，以飨读者。

一、要准确理解题意，巧破题设“陷阱”

高考概型试题出题环境大多是应用题，题面表述具体，语言比较规范、简洁。一般情况下，只要准确理解了题意，用相应的概率知识解决是不会很困难的。但是部分考生由于语言文字能力没有过关，或在考试时对题意只是大概的理解，没有深入思考等，不能破解命题者故意设置的思维障碍。

例1 体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每一位同学有5次投篮机会，若投中三次就算达标。为了节省时间，同时规定：若投篮不到5次已经达标，则就停止投篮；若当后面投篮全中，也不能达标（例如，前三次都未投中的情形），则也停止投篮。同学甲投篮的命中率为，且每一次投篮互不影响。

(1)求同学甲投了4次才达标的概率；

(2)设测试中甲投篮的次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ。

这是浙江省台州市2009年的一道模拟试题，从考试结果来看，得分很不理想，大大低于一般模拟时概型试题的得分，究其原因是学生对条件“若当后面投篮全中，也不能达标（例如，前三次都未投中的情形），则也停止投篮”理解不到位出错，这个条件就是本题的难点。本题用到的基础知识主要是等可能事件概率公式与独立重复试验中事件的概率公式。

什么是等可能事件的概率公式？等可能事件是指每一个基本事件出现的可能性都相等，常用的概率公式是；在具体的应用中，要灵活、准确地运用排列组合的知识计算公式中的m、n。

从这个例题可以看出：概型试题实际上就是应用试题，既然是应用试题，理解题意本身就是一个难关，所以教师在概型知识辅导时，应该做到：培养学生优良的阅读习惯（如对题目层次的合理分析，对句子的准确理解，对词语的正确把握，对题意的等价翻译等）；培养学生审题时要有确定题意中的重点和难点的习惯（如用反复阅读、正反理解、冷静反问等“啃硬骨头”方法去破解）；培养学生有归属归类的习惯（即思考这道概型试题归属哪类概型知识，用相应的知识去解决它）；培养学生检验的习惯（即解后还要通过各种方法去检验的习惯）。

二、分类准确合理，切忌重复遗漏

准确、合理的分类和分步是解决排列组合问题的一个数学基本技能，概率计算的基础是排列组合知识，因此分类和分步错误的主要根源在于排列组合的知识基础不扎实。

作为概率部分的内容，容易混淆的还有下面两类概率知识。

互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率。解决此类问题时，首先要分清事件是互斥事件还是对立事件，然后选用以下两种方法：一是将可求事件的概率化成一些彼此互斥的事件，利用概率的加法公式，即A、B是一个试验中的两个互斥事件，则事件A、B有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B)；二是利用对立事件和的概率公式，即A、B是一个试验中的两个对立事件，则有概率公式P(A)+P(B)=1。在利用这两个公式时切忌分类的重复遗漏。

相互独立事件同时发生的概率。解决此类问题时，首先要清楚事件是互斥事件还是相互独立事件，然后，选用对应的概率公式解决问题：若A、B是一个试验中的两个相互独立事件，则事件A、B同时发生的概率P(AB)=P(A)+P(B)。

关于如何合理、准确分类是一个基础问题，本文限于篇幅，只谈下面的两点。请先阅读下面的高考试题，看看能给我们一些什么启发。

例2 （2009年高考数学全国卷Ⅱ理科）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样的方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。

解析：(1)甲、乙两组抽取人数分别为2人，1人。

分布列及数学期望略。

在计算P（ξ=2)时，采用间接（作差法）的分类方法，若用直接法也可，但较繁琐。因此，间接分类方法是避免分类出错、使解题过程简捷的一个重要方法，这就要求教师在教学时应对学生增强灵活变通能力的培养。

其实，大多情况下，高考的概型试题分类并不是很复杂（类型种数小），每一类的步骤也不多，有的时候只要把每一类每一步的内容逐一排列出就明确了（如例3），这样就可以避免分类出现错误。

例3 （2009年高考数学山东卷理科）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次。某同学在A处的命中率为0。25，在B处的命中率为，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

(1)求的值；

(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；

(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

该同学选择(1)的方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72。

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大。

由上例得知：为使分类和分步不出错，逐一分类或逐一分步是做概型试题的一个基本技巧和习惯。

三、古典概型与几何概型的区别

古典概型是指试验结果是有限个、等可能的，几何概型是指试验结果为无限个、等可能的。共性是等可能的，区别是有限与无限。

由于几何概型的“无限”性，考生往往分不清楚是否为等可能的。另外，对于几何概型试题，在具体计算时，一些比较浅显的问题往往不容易抽象出变量来，也无从求出与变量有关的测度。

例4 已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，如图1所示。

图1

(1)在线段BC上任取一点M，求使得∠CAM＜30°的概率；

(2)在∠CAB内任意作一条射线AM，求使得∠CAM＜30°的概率。

解析：无论是什么概型，首要清楚“试验”是什么，才能清楚“结果”是否为“等可能的”以及“基本事件空间”是什么。

(1)中的“试验”是“在线段BC上任取一点M”，“结果”是“点M（不是∠CAM）在线段CB上均匀分布”，即这种分布是等可能的；其“基本事件总空间”的测度是“线段CB的长”，事件“∠CAM＜30°”所包含的基本事件空间的测度为“线段CM长度的最大值”。所以，设CA=CB=a，当∠CAM=30°时，所求的概率为。

(2)中的“试验”是“在∠CAB内任意作一条射线AM”，“结果”是“射线AM（不是∠CAM）在∠CAB内均匀分布”，即在上CAB内以点A为端点的所有射线分布是等可能的（可以看成是以AC为始边逆时针方向等角速度旋转）；其“基本事件总空间”的测度是“∠CAB的大小”即为45°，事件“∠CAM＜30°”所包含的基本事件空间的测度为30°，所求的概率为。

在第(2)问中，有些读者认为点M与射线AM成一一对应，作一个点M就是作一条射线AM，这样第(2)问中的概率就与第(1)问中的概率一样了。两种答案是不同的，问题出在哪里呢？就出在“等可能上”。容易看出，当射线AM在∠CAB内逆时针等角速度旋转时，点M在线段CB上从左到右加速运动，所以这时点M不是等可能的，用作点M来代替作射线AM是错误的。由此再次强调，解概率题首先要弄清楚所做的“试验”是什么，不要随意转化为其他的试验，其次要弄清楚“结果”是什么，不要把所求的“事件”当作“结果”。

例7 有一车队在公路上行驶，车距20m，车长4m，车宽2m，车速10m/s，一人从路的一边以2m/s的速度随机横穿公路，问此人安全通过的概率是多少？（限于篇幅，本例题只给出答案不给解题过程。答案：）

四、条件概率与事件的条件

条件概率虽然在考纲中没有要求，可它的影子或多或少在试题中出现，考生也应该掌握一点。所谓条件概率就是事件A在另外一个事件B已经发生的条件下发生的概率，条件概率可以记为P(A/B)，读作“在B条件下A的概率”。例如，根据大量的统计，大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是多少？答案是0.75。

所谓事件的条件是这个事件空间的外围条件，不是一个数学名字，而“条件概率”却是一个数学名字。

例8 把圆周分成四等份，A是其中的一个分点，动点Q在四个分点上按逆时针方向前进。现投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写着1,2,3,4的四个数字，Q点从A点出发。按照正四面体上的数字前进几个分点，转一周之前继续投掷。

(1)求点Q恰好返回点A的概率；

(2)在点Q转一周恰好返回点A的所有结果中，用随机变量ξ表示点Q返回点A的投掷次数，求ξ的概率分布列和数学期望。

解析：(1)记“点Q恰好返回点A”为事件X，“投掷i次返回点A”为事件，i=1,2,3,4。我们采用逐一排列的分类方法。