“数学精神”与数学教育，本文主要内容关键词为：数学论文,精神论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、“数学精神”教育研究的重要性
米山国藏指出：多数学生进入社会后，几乎没有机会应用他们在学校学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生毕业后不到一两年就忘掉了.然而不管人们从事什么工作，那种铭刻于大脑的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用（注：徐利治.徐利治论数学方法学.济南：山东教育出版社，2001）.
这段话深刻揭示了“数学精神”教育的重要性.但是在我们的数学教学中，对“数学精神”的教育与研究尚未引起应有的重视，相当多的数学教师不懂得什么是“数学精神”，更谈不上用数学精神铸造学生高尚的人格.以致使不少学生在数学学习中，会解题、能考试，却缺乏理性精神：唯书、唯师、唯上，却缺乏求真与创新精神：有追求，敢实践，却不知反思和自省，这种在“数学工具论”指导下的形式主义的数学教学，带给学生的是，既影响了他们的综合素质，又影响了他们的专业水平.
为便于开展“数学精神”的教育研究，本文先围绕“数学精神”的内涵、特点和作用等问题作些基础性的探索.
二、数学精神的内涵
数学精神是人们在几千年数学探索实践中所创造的精神财富.它积淀于数学史、数学哲学及数学本身之中.确切地说：所谓数学精神，指的是人们在数学活动中形成的价值观念和行为规范.数学精神的内涵十分丰富，主要有数学理性精神、数学求真精神、数学创新精神、数学合作与独立思考精神等.限于篇幅，本文先谈其中的前3种.
三、数学理性精神
1.理性精神的内涵
依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识称为理性认识.重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神.
2.数学理性精神的形成
数学的理性精神，并非与生俱来.比如中国古代数学就缺乏这种理性精神.在西方，虽然早在公元前6世纪，希腊数学、哲学之父泰勒斯就看到：仅仅以个别测量实例的需要为目标（如埃及人测量土地）的方法是笨拙的.并提出测地术应上升为建立在一般原理上的演绎的几何学（注：张祖贵.数学与人类文化发展.广州：广东教育出版社，1995）.
但直到公元前3世纪，欧几里得从已有的几何知识中抽象概括出23个定义、5个公理和5个公设，由此出发，按逻辑规则，将当时已知的几何知识全部推理出来，使几何知识以公理体系形式组成一个有机整体，才为数学初步地注入了理性精神.希尔伯特公理体系使这种精神更为完美、坚挺.
待到19世纪30年代，罗巴切夫斯基发现一个与欧氏几何相对、相容的几何体系——非欧几何.继之康托尔的无穷集合理论，可以证明自然数集与有理数集有相同的基数，直线上的点集与n维空间的点集有相同的基数.不仅澄清了“无穷”概念，还将“无穷”分出等级.
受非欧几何的影响，英国数学家匹考克提出，代数和几何一样，也可以进行从假设推演结论的纯形式的研究.此后，群、环、域、向量空间等代数系统相继出现.20世纪中期，法国的布尔巴基学派还用结构的构点把整个数学学科都建立在抽象的公理化基础之上.直到哥德尔证明了两个“不完备性定理”，使数学有了自知之明，理性精神也发挥到极致.
3.数学理性精神的教育功能
理性精神是数学对人类文明的最大贡献，关于这一点，著名数学家齐民友教授将作为数学文化核心的数学理性精神对人类精神生活影响最突出之处，概括为如下3点（注：齐民友.数学与文化.长沙：湖南教育出版社，1991）：
首先，它追求一种完全确定、完全可靠的知识.除了逻辑的要求和实践的检验以外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的勒令、流行的风尚，统统是没有用的.那种“说是就是，不是也是”的强权逻辑，那种权钱交易的腐败逻辑，那种见风使舵的哈巴狗逻辑，面对严正的数学理性精神，都只能是败阵的纸老虎.
第二，它不断追求最简单的、最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本.
第三，它不仅研究宇宙的规律，而且也研究它自己.在发挥自己力量的同时，又研究自己的局限性，从不担心否定自己，而是不断地反思、批判自己，并以此开辟前进的道路.数学这种本性决定了，在研究的同时，要考虑对象是否存在、怎样存在，在研究“可能性”的同时，也研究“不可能性”，在构建公理系统的同时，也要追问它的相容性、独立性和完备性，在进行严格推理的同时，也考虑如何面对悖论和“不可判定”的问题.而且越是在表面上看来没有问题的地方，越要找出问题来.到了最后，数学开始怀疑自己的整体，考虑自己力量的界限所在.
总之，数学深刻地影响着人类的精神生活：弘扬探索精神，促进人的思想解放，提高与丰富人类整体精神水平，从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有力量的人（注：郑毓信.数学教育之动态与思考.数学教育学报，2002.11 张奠宙，梁绍君，金家梁.数学文化的一些新视角.数学教育学报，2003.12 数学教育高级研讨班会议纪要.数学教育学报，2002.11 康武.关于我国数学教育研究的问题探讨.数学教育学报，2003.12）.因此，不难预见到数学理性精神的教育必定会使人类看到理性的力量，增强利用思维推理获得成功的信念和面对失败的承受力.提高思维的严谨性、抽象性、概括性、深刻性、探索性和反省的品格，使头脑更清醒，行为更文明（知道什么不能干），使人能更好地与自然和谐共处.
四、数学求真精神
1.数学求真精神及其意义
求真精神是不懈追求真理的精神.真理是人们在社会实践中形成的对主客观事物及其规律的正确认识.人类只有掌握了真理，才能自立于世界与自然和谐共处.因而，求真是科学的重要目的，求真精神是人的可贵的品质.
2.数学求真精神的特点
数学不同于其它科学，它是人类根据自己的需要而抽象建构起来的，它的真理性必须经受逻辑和实践的双重检验.
17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分.尽管实践证明微积分的运算法则是正确快捷的，但是因为它的许多概念缺乏严格的逻辑解释，它仍然受到很多人的怀疑和攻击.直到二百年后，柯西和维尔斯特拉斯等人从逻辑上建立了理论基础，微积分才得到数学界的公认.
19世纪，格拉斯曼创立了n维欧氏空间理论.虽然这个理论在逻辑上是正确的，但因它超越了人们的经验，仍然受到许多数学家的抵制，直到20世纪，n维几何在相对论和统计物理学中都得到应用，这个理论才得到社会的承认.
数学求真的艰难历程，磨练了数学人特有的求真精神.
首先，数学求真比任何学科都更重视逻辑.波利亚说：“对选择恰当的实例进行检验，这是生物学家肯定猜想的惟一方法.但是对数学家来说，对选择的实例进行验证，从鼓励信心的角度来看是有用的，但这样还不能算是数学证明了一个猜想.”（注：李浙生.数学科学与认识论.北京：北京师范大学出版社，1992）能使数学猜想在理论上确立的只有演绎证明.
其次，数学求真要不轻信传统和经验.非欧几何的平行公理和许多定理与我们的经验不相符合，但它却构成了一个相容的几何系统，并在现代物理学中得到应用.全体大于部分在常识中是当然的事，但在无穷集合中却不成立.这是因为经验有时只能反映事物的表象，不能揭示事物的实质.
第三，数学求真要勇于批判.非欧几何的诞生可以追溯到对欧氏平行公理的怀疑.勒贝格积分的建立是由于发现了黎曼积分的局限性.希尔伯特创立形式公理化方法，是因为认识到了欧氏公理系统的不严格……这说明，不同观点的论争同样是数学发展的重要动力.
还有，同所有科学一样，数学求真也离不开刻苦钻研.瑞士数学家欧拉一生忘我工作，在双目失明的情况下，还口述了400篇论文和好几本书（注：李浙生.数学科学与认识论.北京：北京师范大学出版社，1992）.正是这种精神才促成了他的丰功伟绩.
3.数学求真的教育功能
数学求真精神能够激发人们追求和坚持真理的勇气和自信心.养成独立地发现问题、思考问题和解决问题的习惯，不惧怕困难、不屈服挫折.教育人们客观公正地看待一切，不轻信经验，不迷信权威，不随波逐流.
五、数学创新精神
1.创新精神的概念
结合新情况，通过探索寻找新思路、解决新问题、创立新理论，这种精神叫创新精神.
2.数学创新精神的巨大作用
文明的历史大致上就是人类创新的历史（注：张楚廷.数学文化与人的发展.数学教育学报，2001.10）.从数学发展的历程看文明史这一实质，线条十分清晰.16世纪中期，是意大利数学家卡当首先研究赌博中的或然现象，并在《论赌博》一书中论述了他的研究成果，才揭开了人类研究概率论的新篇章.17世纪早期，笛卡儿首创了坐标几何，开创了几何代数化和变量数学的新时代.20世纪中叶，美国数学家扎德为解决电子计算机发展与数学工具局限性的矛盾而发表了题为“模糊集合”的论文，开拓了模糊数学的新领域.也是在20世纪中叶，波兰数理逻辑学家塔尔斯基从理论上证明，初等代数和几何的定理证明可以机械化，并提出创造证明机的设想.我国数学家吴文俊等把它付诸实施，创造了许多新方法，才展现出数学领域机器证明的广阔前景.上述事实足以说明创新精神对数学发展的巨大作用.
3.数学创新精神的几个特点
首先，问题是数学创新的起点.群论的创造是为了解决4次以上代数方程是否有根式解的问题.超限数的创立是为了进一步弄清数学分析的基础.为了解决画家怎样把立体的东西画在平面上，产生了射影几何……可以说，没有问题就没有数学创造.
再者，创造的自由性在近现代数学中表现得越来越明显.德国数学家康托说：“数学的本质就在于自由.”（注：李心灿，黄汉平.数坛英豪.北京：科学普及出版社，1989）他主张数学家自由创造自己的概念，而无需顾及是否实际存在.这个认识使康托有可能超越有限的世界，以数学家的严密性建立起集合论和超限数；这个认识使几何学家超越感觉想象的空间，去研究非欧空间、n维空间；使数学家有可能建立抽象的纯数学和种种特异的数学来……总之，这个认识使数学家始终具有创新精神，推动数学永往直前.
还有，灵活应用多种思维是数学创新成功的密诀.欧拉是世界上最伟大的数学家之一，他成功的原因之一就在于善于灵活运用多种思维方式.他将有限与无限类比，得出了
1+1/2[2]+1/3[2]+…=π[2]/6
的结论，解决了长期困扰伯努利的难题；他从研究立方体、三棱柱、五棱柱、方锥等图形中，归纳出凸多面体的面、顶点、棱之间的统一关系；他通过幂级数的演算推理，得出了联系指数函数和三角函数的优美公式：e[ix]=cosx+isinx.
4.数学创新精神的教育功能
创新是科学的本质，是社会发展的不竭动力.由于数学创新的典型事例多，创新实践对外界条件要求较少，创新成果易于展现，所以通过数学培养学生的创新精神是一条事半功倍的途径.通过数学创新精神的培养，能够克服学生唯书、唯师、唯上，照抄、照搬的陋习，增加学生探索研究问题的主动性，提高学生思维的创新性、广阔性、流畅性及灵活性.
六、开展“数学精神”教育研究的一些建议
笔者认为，“数学精神”教育研究可分为基础研究和普及研究两方面.基础研究包括：如何从数学认识论和数学实践中发掘“数学精神”的内涵、特点，如何从数学史、数学家传记中发掘“数学精神”的巨大作用和典型事例等.普及研究包括：如何实现教学数学知识与培养“数学精神”的有机结合；如何用教师崇尚理性、求真务实、勇于创新、团结协作的实际行动影响和带动学生；如何引导学生在多种数学实践中感受和磨练数学精神，等等.笔者相信，只要我们将上述基础研究和普及研究有机结合，在数学中始终不忘数学精神的渗透和身教就一定会使“数学精神”的教育取得长足的进步.