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哥德巴赫猜想
世界近代最著名的数字难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想：
A:任何一个大于或等于6的偶数，都可以表示成两个奇素数之和。
B:任何一个大于或等于9的奇数，都可以表示成三个奇素数之和。
这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。后来数学家们引入了“殆素数”的概念。所谓“殆素娄”就是素数因子（包括相同的与不同的）的个数不超过某一固定常数的奇整数。例如，15=3×5有2个素因子，19有1个素因子，27=3×3×3有3个素因子，45=3×3×5有3个素因子，可以说它们都是素因子数不超过3的殆素数。这样，用殆素数的概念可以把命题改写成：
每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过M与N的两个殆素数之和。
这个命题可简记作"m+n"，而哥德巴赫猜想就是"1+1"。此后，沿着这条主线向"1+1"进军的攻坚战就打响了。科学家们于是从(9+9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：
“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为"1+2"的形式。
费马大定理
费马(1601～1665)是17世纪最卓越的数学家之一，他提出了一个数学难题。他在研究古希腊数学著作《算术》时写下了他最有名的挑战，即“费马大定理”。这个定理表达为：一个次数大于2的方幂不可能是两个同次方幂之和。即当n>2时，x[n]+y[n]=z[n]没有正整数解。
为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了，既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明，当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，费马在其批注的书页上留下了他让全世界数学家困惑了300多年的谜“我已发现此命题的一个真正奇妙的证明，但是这页边空白太小，写不下这个证明。”但是他没有公布结果，于是留下了这个数字难题中少有的千古之谜。
19世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在1815年和1860年两度悬赏金质奖章和300法郎给任何解决此难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家沃尔夫斯克尔在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期为100年。其间由于经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的“数学痴”。
1994年，美国数学家威尔斯宣布证明了300年来世界最大难题之一的“费马大定理”。1997年，他获得了德国专门为“费马大定理”证明而设立的沃尔夫斯克尔奖。
由于300年没有人能证明“费马大定理”，因此人们怀疑费马是否真的证明了“费马大定理”。尽管1997年美国数学家威尔斯已经获得了沃尔夫斯克尔奖，但是疑雾并未从数学家们心头驱散。美国物理学家西蒙辛和伯克利大学教授立贝特指出威尔斯的证明非常复杂，选用了许多最新数学概念如利用20世纪过去30年来抽象数学发展的结果加以证明，因此不可能是费马当年在书页空白处写下那段话时脑子里所想到的证明。要么是费马自己弄错了，他当时所想到的奇妙证明实际有问题，要么就真的是还有一个简单而巧妙的证明等待科学家们去发现。
几何三大问题
几何三大问题的第一个问题是化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆；圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)[2]=π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π[1/2]的线段（或者是π的线段）。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对于某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出20°的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年～公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤解决的。
1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多项式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。