分数布朗运动环境下上证50ETF期权定价的实证研究

程 潘 红^1,2

(1．上海理工大学 管理学院，上海 200093；2．滁州学院 数学与金融学院，安徽 滁州 239000)

摘 要 合理的期权价格是期权交易的前提.基于上证50ETF期权的最新数据，运用经典的Black-Scholes定价模型、蒙特卡洛模拟期权定价方法和分数布朗运动定价模型对上证50ETF期权价格进行实证研究.结果表明：分数布朗运动定价模型相比较经典的Black-Scholes定价模型和蒙特卡洛方法在接近期权的实际成交价格时均方误差和均方比例误差更小，能够较为准确地、有效地模拟出上证50ETF期权的价格，从而对投资者的期权交易行为具有一定的指导作用，也为国内其他品种的期权定价研究提供参考.

关键词 金融工程；均方误差；均方比例误差；上证50ETF期权；分数布朗运动

1 引 言

期权作为典型的金融衍生品(远期、期货、互换、期权)之一，具有悠久的发展历史.但现代意义上的期权是从1973年美国CBOE推出16只股票组成的股票期权开始^[1].期权具备良好的价格发现、资产配置、风险度量与管理等功能.因此，各国为推进资本市场更加健康有序发展，不断的进行产品创新、制度创新与技术创新.

中国金融期货交易所于2013年11月8日面向市场开展股指期权仿真交易，这是推出首个期权交易的关键一步.随后上海金融期货交易所、大连商品交易所、郑州商品交易所也陆续开展以期货为标的资产的期权仿真交易.上海证券交易所开展了股票期权的仿真交易，其中包括50ETF期权合约.该期权经过了一年的仿真交易，在众多仿真交易产品中脱颖而出.于2015年2月9日在上海证券交易所正式上线交易，这不仅宣告中国期权时代的到来，也表明我国典型金融衍生品已配备齐全.

上证50ETF期权基于杠杆性、风险对冲及套利技术等特点受到投资者的青睐，在金融衍生品市场中拥有举足轻重的地位.如：在2015年6月29日央行降准降息的背景下，上证50ETF期权并未出现大幅度反弹，交易依然活跃，流动性强，成交量与持仓量较前一个交易日均有所增加.但其标的资产上证50ETF，即上证50交易型开放式指数证券投资基金则约有0.97%的跌幅.期权作为市场上交易活跃的金融衍生品，是投资者进行套期保值、套利的有利保障，对完善资本市场体系具有重要作用.

2 文献综述

Black 和 Scholes (1973)^[1]提出了著名的B-S期权定价模型，该定价模型的诞生标志着现代期权理论的建立.纪琼(2015)^[2]运用GARCH模型和B-S模型对上证50ETF期权价格进行分析，得出GARCH模型对于小样本数据有着更好的拟合效果.乔克林和薛盼红(2016)^[3]分别用经典B-S模型和扩展B-S模型(即标的资产支付离散红利)对上证50ETF期权进行定价实证研究，将模型结果与期权实际价格相比较，认为扩展B-S定价模型更有效.方艳等(2017)^[4]运用IGARCH、蒙特卡洛模拟、B-S-M模型对期权定价进行分析，发现IGARCH模型比GARCH模型能更好地拟合上证50ETF的波动率，B-S-M模型和蒙特卡罗模拟方法均可以较为有效地模拟出上证50ETF期权价格.以上学者研究期权定价均基于其标的资产的运动过程是由布朗运动驱动的假设背景.但在实际的金融市场中，标的资产价格运动过程具有长程相依性、自相似性以及“尖峰厚尾”现象.Elliott和Hoek (2003)^[5]研究了赫斯特指数H在(1/2,1)情况下的分数布朗运动(fractional Brownian motion,简写为fBm).Hu和Φksendal (2003)^[6]通过Wick积分和分数白噪声进一步研究了分数布朗运动积分理论，并证明了It型分数Black-Scholes市场无套利和完备性.Bender(2003)^[7]将其推广到了任意赫斯特指数．Nualart(2006)^[8]提出了分数B-S模型，对经典B-S模型做了改进.刘韶跃和杨向群(2002)^[9]讨论了标的资产支付红利时分数布朗环境下欧式期权的定价公式及看涨看跌期权的平价关系.赵佃立(2007)^[10]研究了分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价.李金秀(2014)^[11]在假设无风险利率、标的资产红利均为时间的函数时，分析了分数布朗运动环境下欧式看跌期权的价格.李志广和康淑瑰(2016)^[12]考虑了标的资产价格服从混合分数布朗运动，短期利率服从Vasicek模型时，欧式期权价格满足的偏微分方程，并通过求解该方程得到期权的定价公式.刘文倩等(2018)^[13]研究了混合分数布朗运动环境下的欧式障碍期权定价，得到了欧式障碍期权看涨看跌平价关系式，并根据敲入敲出障碍期权关系式推出障碍期权所有类型的定价公式.程志勇等(2018)^[14]考虑次分数布朗运动环境下支付连续红利时欧式期权的定价，并对定价模型中的参数进行估计，讨论了估计量的无偏性和强收敛性.

由此，在分数布朗运动环境下对上证50ETF期权定价进行实证分析很有意义.运用分数布朗运动来刻画上证50ETF的运动过程，使用最新的上证50ETF期权高频数据，得到fBm环境下的期权价格.然后将3种定价模型得到的上证50ETF期权理论价格与实时市场价格进行比较，计算各自均方误差和均方比例误差，验证模型的有效性和稳健性.

3 期权定价模型

上证50ETF在2018.08.01至2018.09.27期间的交易收盘价如表1所示.

3.1 Black -Scholes 定价模型

经典B-S模型^[1]可通过风险中性定价方法或求解期权价格满足的偏微分方程来建立.

在近几年，我国开始加强基础工程建设方面的法律法规以及工程监理制度的管理工作，并对工程监理行业提出了更高的要求，文中通过对监理工程师的工作进行描述，明确监理工程师接下来的工作中的重点。

经典B-S定价模型的看涨和看跌期权的价格分别为

难道真的是杜朗吗？一个被刺穿心脏，火化之后的人，真能回来吗？罗恬不敢再想下去了，无边的恐惧让她浑身冰凉。

c =SN (d ₁)-Xe ^-rτ N (d ₂),

p =Xe ^-rτ N (-d ₂)-SN (-d ₁),

1.外部环境变化对党员的思想观念带来负面影响。伴随着经济全球化的迅猛发展，西方社会中的政治观点、价值观念、文化潮流冲击着企业党员的思想观念，世界社会主义运动遭受挫折，市场经济负面因素等情况的冲击和影响，势必使一些企业党员在思想认识上出现偏差，导致思想和行为背离党的先进性要求。

其中

c ,p 分别表示欧式看涨期权和看跌期权的价格，S 表示t 时刻标的资产的价格，X 表示其执行价格，r 表示无风险利率，τ =T -t 表示合约的剩余期限，T 表示合约的到期日，σ 表示标的资产的波动率，N (•)指的是累计标准正态分布函数.

3.2 蒙特卡洛模拟期权定价方法

蒙特卡洛方法在核物理、统计、金融等领域具有非常重要的应用.由于经典B-S期权定价模型的构建依赖于诸多假设条件，蒙特卡罗方法应用于期权定价更为现实.其目的在于B-S模型中的个别假设条件被放宽或者期权价格的解析解不易求得时，利用蒙特卡洛方法可以模拟标的资产价格的随机运动路径.

林雪川在广东东莞大朗从事贸易加工产业。根据广安当地媒体报道林雪川事迹的相关内容显示，林雪川在广东从一名毛织工人做起，在掌握了技术和管理流程之后，在广东创办了服装品牌“依哥弟”，“林雪川从一个打工仔摇身一变，成为拥有五六十号工人，年产值300多万元的毛织厂老板，走上了属于自己的创业之路。”

3.3 fBm 定价模型

由以上分析计算得到期权定价公式中相关参数.上证50ETF的现价为S _t =2.628，执行价格X =2.2,2.25,2.3,…,2.95，期权的剩余期限为τ =0.239837398，无风险连续复利率为r =3.4078646%，上证50ETF的年波动率为σ _year =0.223886884.

分数布朗运动属于高斯过程，它不再具备马尔科夫性，但具有长程相依性、自相似性与“尖峰厚尾”等特性^[6].这些良好的性质使其能够更好地描述金融资产价格的运动.标的资产价格服从几何分数布朗运动，即其中S _t 表示t 时刻标的资产的价格，μ 表示资产预期收益率，σ 表示标的资产的波动率，表示赫斯特指数为H 的分数布朗运动,特别地，当时，是标准布朗运动.

文献[10]给出了分数布朗运动环境下的欧式期权定价公式如下所示：

我为啥骗你呢？最近的事。王鲶鱼是个败顶的老头，像个秃鹫似的。我和俺叔两个人，给他捻船。这老熊，小媳妇好几个哩。

音乐课程资源库在构建完成之后是需要不断补充更新的，所以可以说资源库始终处于一种动态的状态。有效的管理资源库对于发挥其价值具有重要的意义，因此，在整个构建的过程中都需要充分地融入服务与管理的环节。那些已经在局域网上上传的资源可以由信息技术教师来对其进行专业的管理，同时，在上传的时候要设置链接功能，这样能够更加方便教师使用。对于那些还没有进行上传的资源，如DVD、CD以及文本等，可以直接储存到资料库来进行相应的管理。

c =SN (h ₁)-Xe ^-rτ N (h ₂),

p =Xe ^-rτ N (-h ₂)-SN (-h ₁),

其中为赫斯特指数.

冷落清秋：一个是大家公子，一个是小家碧玉；一个生于富豪，一个长于贫困；一个像炽热向日葵，招摇炫目；一个如清雅的百合花，温和贤淑；一个习惯歌欢舞悦，一个饱具才情诗意。经过爱情的轰轰烈烈，婚姻的平平淡淡，最终爱如潮水干涸，两个主人公形同陌路。初中初读《金粉》时，只是浅浅看过，却萌发了一个不解的疑问：金燕西和冷清秋之间的爱情，由浓转淡，经深变浅，是必然的吗？

4 实证分析

选择以2018年12月到期的上证50ETF期权为研究对象，其标的资产为上证50ETF，16个执行价格为X =2.2,2.25,2.3,...,2.95.(单位：元).

计算基于3种模型的上证50ETF看涨和看跌期权在不同执行价格下的理论价格，还需给出期权定价公式中的相关参数，如上证50ETF的现价S _t 、期权合约的到期期限τ 、无风险利率r 、波动率σ .

(1)

(2)

其中c _i ,p _i 分别表示上证50ETF看涨和看跌期权在不同执行价格下的市场价格，分别表示基于各种定价模型上证50ETF看涨和看跌期权在不同执行价格下的理论价格.

目前我国国有企业在内部控制活动中还存在一定的问题。比如：缺乏系统而有效的内部控制体系，特别是在岗位分工上缺乏明确性，并未将完善的、有效的绩效考核制度与监督体制融合在一起，部分国有企业内部感觉像一盘散沙，在内部控制活动中杂乱无章。再例如：有的国有企业虽然建立了内部控制制度但是并未落实到实处，虽然这些企业已经制定了纸质的文字东西，但是在具体实施与执行过程中并未实际利用这些制度；还有的国有企业倚仗自己的竞争优势，不认真研究市场环境变化，固步自封。

以均方误差(MSE)作为基准来衡量3种期权定价模型的精度，以均方比例误差(MSPE)作为基准来衡量3种定价模型的稳健性.相应的计算公式分别如式(1)和式(2)所示.

选取期权和标的资产在2018年8月1日至9月27日的交易数据为样本数据.

4.1 上证50ETF 的现价

选择合适的定价模型对上证50ETF期权进行实证研究是目前学术界的一个重要研究方向.下面简要介绍三种常用的期权定价模型，即经典B-S模型、蒙特卡洛模拟期权定价方法和fBm模型.

表1 上证50ETF收盘价 (单位：元)

注：数据来源于同花顺官网.

其中P _t 表示上证50ETF的收盘价.根据样本数据，考虑交易当日为2018年9月28日，上证50ETF现价为其前一日的收盘价，即S _t =2.628.

4.2 上证50ETF 期权合约的到期期限

由于选取的是2018年12月26日到期的上证50ETF期权，当前时刻为2018年9月28日，因此该期权的剩余期限为59天(交易天数)，即τ =59/246=0.239837398.

计算得到样本标准差为σ =0.014274506,也就是上证50ETF 的日波动率，其年波动率为

4.3 无风险利率

选择1年期上海银行间同业拆放利率(Shibor)作为参考利率^[15].查询Shibor官网得到相关数据如表2所示.

计算上证50ETF期权交易日期间1年期Shibor的算术平均值为

根据普通复利和连续复利的转换公式，无风险连续复利利率为

1.内寄生虫的长期存在，必须考虑其对养猪生产的经济影响。传染病在猪场内传播迅速，并因引起猪的死亡而容易被认识，内寄生虫，尤其是线虫也能引起动物死亡，但常见的症状是缺乏食欲、增重下降、饲料报酬降低及继发其它感染等。寄生虫的危害程度与地理区域、饲养方式、管理状况、营养水平、猪只品种和感染寄生虫的种类有关。有关文献对猪寄生虫的作用、研究的必要性及寄生虫所造成的经济损失等进行了综述。因寄生虫感染所造成部分或全部胴体的废弃是明显的，因而容易验证。但寄生虫所造成的损失更主要地表现在其内在的抑制作用，如采食量下降，增重减少，饲料报酬降低等。

表2 上海银行间同业拆放利率(2018.08.01-2018.09.27)

4.4 上证50ETF 波动率

估计上证50ETF收益率的波动率，采用历史波动率的方法^[1].根据表1，计算上证50ETF2018.08.01-2018.09.27期间的日对数收益率R _t ，其中

估计上证50ETF历史波动率，需要计算上证50ETF日对数收益率的样本方差，即

其中表示上证50ETF 日对数收益率的均值.

安全永远是家电产品最重要的一环，作为厨房电器更是如此，长期高频率接触水、电、燃气等环境，需要更严格的标准和技术来保障消费者的使用安全。

4.5 数据处理与分析

B-S定价模型和蒙特卡洛模拟期权定价方法都假设标的资产价格的对数服从布朗运动.但是实际的金融市场中标的资产价格运动过程具有 “尖峰厚尾”现象.运用分数布朗运动(fBm)来刻画标的资产价格的运动过程可能更加合适.

4.5.1 基于B-S模型、MC方法的上证50ETF期权价格实证分析

使用MATLAB中blsprice命令，即 [cprice pprice]=blsprice(S _t ,X ,r ,τ ,σ )，可得基于B-S模型的不同执行价格下上证50ETF看涨和看跌期权价格.应用MATLAB计算模拟次数为1000次时，上证50ETF看涨和看跌期权价格的有关信息如表3所示.

4.5.2 基于fBm定价模型的上证50ETF期权价格实证分析

考虑不同赫斯特指数H 和执行价格对上证50ETF期权价格的影响，得到表4和表5.

表3 B-S模型、MC方法定价信息表

注：上证50ETF期权的市场价格来源于同花顺官网.

表4 上证50ETF看涨期权价格表

从表4和表5可以发现，随着赫斯特指数的增大，看涨期权和看跌期权的价格都在减小；随着执行价格的增大，看涨期权的价格减小，看跌期权的价格增大.

4.5.3 三种模型的MSE与MSPE

“稻-油”轮作绿色高效机械化模式，配合水稻“双改单”实施稻油轮作，即在水田种植一季水稻和一季油菜，适当扩大油菜种植面积，确保农民收入稳定，既能合理安排农作物生产茬口，达到耕地休耕目的，又能利用稻、油秸秆还田技术，增加土壤有机质，提升土壤肥力，减少化肥施用量，提升农产品质量[1]。湖口县近年来推广“稻-油”轮作耕地休耕绿色高效机械化种植模式，水稻种植采用工厂化育秧+机插+机防+机收，油菜种植主要推广机械开沟免耕直播技术，基本实现稻、油生产全程机械化，降低了人工生产成本，从而获取最佳种植效益。

张仲平急了，忙问怎么回事。徐艺边跑边告诉他，说钱和拍卖推荐函他都拿下来了，我们得离开这是非之地，左达要跳楼自杀。

由式(1)和(2)计算基于三种定价模型的上证50ETF期权理论价格与实际价格之间的MSE和MSPE，如表6所示.

表5 上证50ETF看跌期权价格表

表6 均方误差与均方比例误差表

从表6可以得到：当赫斯特指数H 取值在0.51到0.53之间时，fBm定价比经典的B-S模型、MC模拟期权定价更接近期权的实际成交价格.即fBm定价模型能够较好地模拟上证50ETF期权的价格，精确度较高，稳健性较好.

给出了3种模型下上证50ETF看涨与看跌期权的理论价格与实际市场价格之间的比较图，如图1 和图2所示.

图1 看涨期权价格比较图

图2 看跌期权价格比较图

3种模型模拟得到的上证50ETF看涨期权价格基本重合，但fBm模型下看跌期权的价格更为贴近实际市场价格.因此，fBm期权定价模型更为准确地、有效地模拟出期权的实际价格，这与运用MSE、MSPE评价标准得到的结论一致.

5 结 论

将上证50ETF期权作为研究对象，运用分数布朗运动(fBm)刻画上证50ETF的运动过程，得到fBm定价模型，实证研究的结果表明相比较典型的B-S定价模型、MC定价方法，fBm定价模型能够更有效地接近期权的实际价格.研究结论对合理预测上证50ETF期权有参考作用，可以为投资者提供参考.

参考文献

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Empirical Research of the SSE 50 ETF Options Pricing in Fractional Brownian Motion

CHENG Panghong^1,2

(1．Business School ,University of Shanghai for Science &Technology ,Shanghai 200093,China ;2．School of Mathematics and Finance ,University of Chuzhou ，Chuzhou ,Anhui 239000,China )

Abstract Reasonable options price is the premise of options trading. This paper makes an empirical research of the SSE 50ETF option pricing by using the classic Black-Scholes pricing model, Monte Carlo simulation option pricing method and the fractional Brownian motion pricing model based on the latest data of the SSE 50ETF option price. The analysis results show that the fractional Brownian motion pricing model can more accurately and effectively simulate the SSE 50ETF options price because of smaller mean square error and mean square proportional error. The research can provide guidance for investors’ options trading behavior. In addition, it is helpful to study other varieties of domestic options.

Key words Financial Engineering; Mean Square Error; Mean Square Proportional Error; SSE 50 ETF Options; Fractional Brownian Motion

收稿日期： 2019-03-25

基金项目： 国家自然科学基金项目(11171221)；安徽省高校自然科学重点研究项目(KJ2018A0429).

作者简介： 程潘红(1988—)，女，安徽桐城人，博士研究生，讲师E-mail:hollycheng@sina.cn

中图分类号 F830.9; O211.6

文献标识码 A

标签：金融工程论文;  均方误差论文;  均方比例误差论文;  上证50ETF期权论文;  分数布朗运动论文;  上海理工大学管理学院论文;  滁州学院数学与金融学院论文;