证明物体是否做简谐运动的方法探究，本文主要内容关键词为：简谐运动论文,物体论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
简谐运动是最基本也是最重要的一种运动。许多物体的微小振动都可以近似看作是简谐运动；复杂的振动又可以看作几个简谐运动的叠加。但不少学生对于如何判断物体是否做简谐运动深感困难，本文拟结合典型案例，探究证明物体做简谐运动的思路和方法。
一、简谐运动的特征
当一个物体（或质点）在受到跟位移大小成正比，且方向总是指向平衡位置的回复力作用下的机械运动称为简谐运动。
1.动力学特征
二、证明物体是否做简谐运动的一般思路和方法
1.思路
分析物体在偏离平衡位置时的某一位置上所受的力是否满足
的特征，若满足物体就做简谐运动，否则便不是。
2.方法
采用微元法。先让物体偏离平衡位置一微小位移，进而探究物体在此位置所受的作用力与位移的关系。为此
(1)首先要明确研究对象，假设有关物理量；
(2)探究研究对象的平衡位置及其平衡条件；
(3)建立坐标系（以平衡位置为坐标原点，平衡位置指向物体所在位置方向为坐标轴正向）；
(4)让研究对象偏离平衡位置一微小位移x，分析物体在该位置上所受的作用力及回复力（指向平衡位置的合力）；
(5)判断是否满足，即可确定物体运动的性质。
三、案例分析
1.力学中常见的简谐运动
(1)弹簧振子类的简谐运动
例1.试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。
图1
解析：如图1所示，弹簧振子不振动时停在位置O，振动时将在O位置的上下运动，故位置O为平衡位置。设向下方向为正方向，此时弹簧的形变为
，根据胡克定律及平衡条件有
将(1)式代入(2)式得：，可见，振子振动时满足简谐运动的动力学特征。即弹簧振子在竖直方向的振动是简谐运动。
【拓展1】如图2所示，甲、乙两物体用细线相连后挂在弹簧的下端。剪断细线后，甲开始运动，不计空气阻力。试证明甲的运动是简谐运动。
【拓展2】将图2中的装置改放在光滑的斜面上如图3所示。现拿去乙物体后，试证明：甲的运动是简谐运动。
图2
图3
【点评】弹簧振子的振动是简谐运动模型，常见的有水平和竖直两种情况。竖直的弹簧振子平衡位置不在弹簧原长处，而在弹力等于重力处。找准平衡位置和准确计算出偏离平衡位置后振子所受合力是关键。
(2)单摆类的简谐运动
例2.证明单摆的小角度振动为简谐运动。
图4
上式表明：在摆角很小的条件下，使摆球振动的回复力跟位移大小成正比，而方向与位移方向相反。所以，单摆的小角度振动是简谐运动。
【点评】单摆的小角度振动是简谐运动的又一常见模型，证明过程中用到了sinθ≈θ和AB弧与AB弦相等的近似。特别值得一提的是当小球沿圆弧在其平衡位置O点左右往复运动时，线的拉力F'≠G，即小球经过平衡位置时的受力并不平衡，这里所说的平衡，仅是指
而言的。
由上面的证明还可以推出单摆周期公式
【拓展】如图5中，将体积为V、密度为ρ的木球，用长为l的细线悬于盛满密度为
的液体的容器的底部，不计液体的阻力。现给小球一微小扰动，求证此摆做简谐运动并求运动周期。
图5
(3)以简谐运动为背景力学综合题
例3.如果沿地球的直径挖一条隧道，求物体从此隧道一端释放到达另一端所需时间。设地球是一个密度均匀的球体，其半径为R，地面的重力加速度为g，不考虑阻力。
【点评】抓住两部分气体的等温变化，利用气体状态方程，求活塞稍微偏离平衡位置一位移后的合力是解题的关键，适时运用近似使结果简洁。
3.电学中简谐运动的证明
例5.（2007年江苏物理高考卷第16题）如图7所示，带电荷量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d。若杆上套一带电小环C，带电体A、B和C均可视为点电荷。
【点评】本题的前两问实际上是给考生解第3问作铺垫，掌握了证明物体做简谐运动的一般解题思路和方法，结合库仑定律、力的合成和近似运算，就能迅速求解。
4.光学中简谐运动的证明
例6.如图9所示，一个小球在竖直平面内做匀速圆周运动，在水平向右的平行光照射下，小球在竖直墙上的影子上下运动，请你猜想影子做什么运动？并加以推导与证明。
图9
解析：小球在竖直平面内圆周运动时，墙上的影子上下运动，小球通过最高点和最低点的投影点亦达到最高点和最低点，速度均为零，故影子一定往返做变速运动。可以猜想影子可能做简谐运动。
设小球圆周运动的半径为R，角速度为ω，小球通过轨道最右边投影点为O时开始计时，则经过任意时间t，小球到达位置P，半径O'P在这段时间内扫过角θ=ωt，小球在竖直墙上的影子位置距O点的位移为z=Rsinωt，可见小球在墙上的影子的运动学规律与质点的简谐运动的规律相同。因此，小球在墙上的影子在竖直方向做简谐运动，故猜想是正确的。
【点评】本题涉及影的形成、匀速圆周运动、简谐运动等多个知识点。猜想影子的运动，体现了新课程的探究理念。