论数以及数字符号的产生，本文主要内容关键词为：符号论文,数字论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[中图分类号]N02;N09 [文献标识码]A [文章编号]1001-6201(2000)06-0031-05
一、引言
这是一个被人们称作知识经济的时代。经济是左右历史行程的杠杆，于是各种知识蜂拥而至，使人目不暇接。这使我们想起哲学家培根，他始终想使自己成为一个预言家，今天终于实现了他的预言：知识就是力量，knowledge is power。然而，蜂拥而至的知识也使我们感到了一种无序，感到了一种杂乱无章。我们似乎需要重新审核一下已经得到的知识，去寻找知识的根基和合理的内核。我们借助的工具是抽象和逻辑。
这篇文章的主题是讨论数字符号。在此之前，我们先考虑一个更为基本并且非常有趣的问题：“人类在什么时候产生了语言？如何利用考古的发现为证明？”进一步，问题还可以引申为：“人类从学会使用语言到发明文字经历了多长时间？”这个貌似简单的问题其实是很难回答的，这是因为飘逸的语言无法变为化石保留下来，成为现代人类进行推断的依据。我们必须变换一个角度来思考这个问题。首先我们应当明确的是，除了先天具有的、能够发出复杂声音的器官之外，语言的产生还依赖于什么。可惜的是，关于这个问题的解答，语言学家们也是众说纷纭。但是我想，无论如何，劳动工具的制作是语言产生的要素之一，甚至是最为本质的要素。关于这一点，在恩格斯的《自然辩证法》、利基的《人类的起源》（吴汝康、吴新智、林圣龙译）中都有所阐述。如果这个前提成立的话，那么批量的规范的劳动工具的出现则意味着语言已经产生了，因为这些工具的制作是需要较为深刻的交流的，而深刻交流的基础便是语言。如此推断，至少在三万五千年前的旧石器时代的晚期，在人类的生活中已经产生了语言，甚至可能是相当成熟了的语言，因为在那个时候已经出现了批量的规范的劳动工具。
注意到，罗马文字的雏形楔形文字大约发明于五千年前，那是至今发现的最早的文字（见塞根著《宇宙的奥秘》，史宁中等译）。因此我们可以看到，把语言进一步抽象成为文字符号，人类至少用了三万年的时间，这是一个相当漫长的历史。我们再看一个事实。当代的人类学家几乎公认，现代人类是由距今至少700万年前南非一带的直立猿演变过来的。那么，现代非洲的语言与文字状况是怎样的呢？依然是民族众多语言各异，并且大多数语言都没有形成文字。由此可见，把语言进一步抽象成为文字符号实在是一件不容易的事情。学会抽象，是人类从经验走向理性，从荒蛮走向文明的根本标志。
很显然，数字符号是关于数的抽象。现在，我们回到本文的主题，我们将要思考的问题是：数的本质是什么，数字符号是如何产生的。
二、数的本质
数与数字符号是两个不同的概念，比语言与文字之间的差别还要大。数是一种感官，是人类对于生存环境的一种悟性。对于“多少”的分辨也许是最为原始的关于数的感官，就象对于“颜色”的分辨也许是最为原始的关于美的感官一样。就人类生存的必要性来说，关于数的悟性要比语言更为直接。因此，在产生语言之前，人类就应当有了关于数的悟性。甚至许多生物学家认为，某些动物也具备这种悟性。1938年出版的丹齐克的书《数：科学的语言》（苏仲湘译）中记载了这样一件事情：有一只乌鸦在一个庄园主的望楼顶上建了个巢，庄园主很生气，决心杀死这只乌鸦。可是当庄园主一走进望楼时乌鸦就离巢而去，直到庄园主走出望楼才回巢。庄园主想了一个办法，他找来一位朋友两人一起进去，然后走出一人，希望留下一个人去杀乌鸦。但是乌鸦并没有上当回巢。后来是三个进去两人出来，四人进去三人出来，依然如故。直到五人进去四人出来，乌鸦才分辨不清了，回巢了。这说明乌鸦关于数的悟性至少可以分辨到四。我们不知道人类在学会计数之前关于数的悟性是怎样的，我直观地想大概不会超过五。或许我们应当对还没有学会计数的幼儿作一下这方面的实验。
人类学会计数之后就变的聪明多了，计数是人类关于数的悟性的第一步抽象。之所以称其为抽象，是因为关于数的悟性紧紧依赖于数的背景，如果离开了数的背景，关于数的悟性将无从谈起。而计数则不同，计数可以脱离背景而独立存在。应当看到，这种抽象的能力是只有人类才可能具有的。无论刚才谈到的乌鸦多么聪明，乌鸦是不可能从数的悟性中抽象出计数的。也就是说，离开了实际背景乌鸦大概不会有关于数的概念；另一方面，乌鸦可能会感悟到三个人与四个人之间的差别，但是乌鸦绝不可能创造出包括三和四在内的计数规则。
如果说，语言的产生依赖于工具的制作的话，那么计数的产生所要依赖的要素或许会更广一些，比如狩猎的数量等等。因此，在语言产生之前，人类应当已经学会计数了。当然那时的计数只能限于正整数，因为这是与人类生活最为密切的数。
我们现在使用的正整数是以10为进位的，这显然是最为自然的进位方法，因为人有十个手指头。虽然历史上曾有过以12,16,20以及60为进位的，但因为不方便而得不到广泛的应用。与10相对应，10以后的进位是10×10＝100，然后是10×10×10＝1000等等。这些数又被称为基数或者基底，因为所有的正整数都能被其表出。比如268可以由
268=2×(10×10)+6×10+8
来表出。从现在数学的角度来看，以10为基数不一定是最好的，其原因就在于10不是质数，除了1和本身之外，10还能被2和5整除，于是处理分数时会遇到麻烦。据说关于这一点，大数学家拉普拉斯曾经考虑过，可惜我们已经不知道他是怎样思考的了。其实，在我们身边也会出现这样的问题。例如1/2和5/10表示同一个数，但是在生活中这两个数却不仅不相同：一个篮球运动员两球进一与十球进五给人的印象是不一样的，后者更具有稳定性。
在现代生活中，一个越来越重要的计数规则是二进制。二进制被应用于计算机的运算，也用于信息量的刻化。二进制顾名思义是以2,2×2，2×2×2等等为基底的。也就是说，考察对象的数量是2或者是2的倍数则要进位。有一个东西记为1，有两个东西记为10，有三个东西记为11，有四个东西记为100，如此类推。容易想像，二进位的数是由一些0和1表示出来的。与十进位一样，二进位的数也可以用基底表示出来。比如，1011可以用
1011=1×(2×2×2)+0×(2×2)+1×2+1
表示出来。通过基底容易算得，上面的数换算为十进位是11。在二进制中，每个数位上的数字只涉及到0和1，因此只需要设法制造出两种不同的状态（比如正向电流和负向电流），并指定其中一个表示0一个表示1，就可以利用二进制来表示一切数了，实在是简单。如果用十进位，则必须要制造出十种不同的状态才能表示一切数，这在电磁学上几乎是不可能实现的。这就是在计算机的运算中普遍采用二进制的主要原因。
可以看到，二进制是最为朴素、最为简单的进位方式，因为一进制是无法建立的。二进制最初出现在《周易》这本书中。《周易》是中国古代的一部关于占卜的书，大约成书于春秋战国，其中记载几百年甚至上千年的占卜经验。这种占卜的逻辑出发点是非常简单的，即阴阳之说，认为万物是由阴阳而生的。这种思想是非常独特的，也是非常自然的，这是把人与大自然溶为一体的结果。如果“万物是由阴阳而生”这个命题成立，那么“通过阴阳可以推知世间任何事情”就是自然而然的了。为了记叙方便，在《周易》中，用长横表示阳，用两个短横表示阴。有放回的在阴阳中取三次合成一卦，容易算得共有2的3次方8种不同的卦象。八卦中每两个又分别叠合，又可组成8的平方64个别卦。《周易》就是通过这些别卦来解释现实，预测未来的。且不谈利用八卦是否可以进行预测，一个明显的事实是，如果把阳记为0，阴记为1，则64个别卦表示了所有的6个数位的二进制数。事隔两千年以后，德国哲学家兼数学家莱布尼兹看到了《周易》，大为惊叹。他系统地研究了八卦，建立了二进制及其算术运算法则。后来，英国数学家布尔借鉴了二进制的运算法则，在他的1854年出版的《思维规律研究》一书中，成功地把形式逻辑归为一种代数运算，建立了布尔代数。现在，布尔代数已经成为计算机专业的一门必修课。
三、数字符号的产生
在上一节中，为了讨论问题的方便，我们借用了数字符号。但是，计数的出现并不意味着数字符号的产生。事实上，计数的出现到数字符号的发明所经历的时间，可能要比语言的出现到文字符号的发明所经历的时间还要长，也就是说数字符号的发明可能要比文字符号的发明更晚一些。有些人会不赞同我的说法，并且可以举出刻木计数或者结绳计数的例子。我想说的是，那只是一种计数的形式，与用手指计数一样，在本质上，那仅仅是表示了一种“对应”而已。就像《鲁滨逊漂流记》中鲁滨逊刻木记载天数一样，仅仅表现了木痕与天数的一种对应关系。
我们可以在甲骨文中发现有许多数字出现，但是那不是数字符号，也就是说，并不意味着人类已经把关于数的悟性抽象到数字符号。仔细看一下甲骨文就会发现，所有数字的背后都有着具体的背景：或者是后面跟有田亩、牛羊等名数，或者是代表着某一种卦象。甚至在周朝铜器上保留下来的数字运算中都跟有名数。这足以说明那只是关于与数字有关的事件的文字记载；或者说，那只是一种语言符号而已。正如《易-系辞》中说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。在现代汉语中，有一些关于数量以及其后缀名词的形式已经被根深蒂固地保留下来了。比如，一粒米，一条鱼，一只鸡，一个蛋，一匹马，一头牛，一支笔，一顶帽子，一件衣服，一条裤子等等。其中的“一”并不是数字符号，我们只能把这些理解为与数字有关的事件的记载。一粒米与一头牛是不可同日而语的，但都是数量“一”的具体例子而已。这里需要一个更为深刻的抽象，或者说是关于数的悟性的第二步抽象。人类明白这个道理用了多少时间呢？如果我上面的推断正确的话，至少用了三万年。下面，我们试着去推断这种抽象的逻辑过程。
首先，数字符号后面不能缀有名数，也就是说数字符号需要完全脱离具体的背景。我们曾经说过，对于“多少”的分辨是人类关于数的最初的悟性。这也是建立数字符号的基础。如果数字符号后面缀有名数，那么从数量的角度看，就不可能一般地建立起关于“多少”的概念。2比1多，可是很难想象两粒米要比一头牛多。另一方面，由“多少”这一基本概念出发，可以自然而然地推导出这样一个事实：在一些东西上再加一些东西要比原来的“多”，而减一些东西则要比原来的“少”。如果数字符号后面缀有名数，则很难表现出这一事实。一粒米加上一头牛是什么呢？因此，数字符号只能是一些表示数量的符号，除了数量以外没有任何具体的含义，而每一个具体的事件仅仅是这种数量表示的一个特例而已。
把那些所有表示数量的符号放在一起，则得到了一个集合，我们称这个集合为“数集”。从上面的推断可以知道，这个数集中的符号之间至少要满足一种关系，那便是“多少”，或者称之为“大小”。为了作到这一点，就必须在这个数集中定义一个“序”的关系，我们可以称之为“小于”。那么，数集中的任何两个符号之间都必须满足这种序关系。比如a和b是数集中的两个符号，则(1)不是a小于b就是b小于a；(2)如果a小于b同时b也小于a，则表示同一个符号，即a和b相等。显然，十进制的数字的集合满足这种序关系。容易验证，二进制的数字的集合也满足这种序关系。这样，我们便完成了对于数字符号的抽象：数字符号是那些能够由小到大进行排列的符号。
如果仅仅局限于此，我们将遇到一个天大的难题：必须用无穷多个符号来表示所有的数字符号。因为由序关系出发，对于任何一个数字符号，都存在着比这个数字符号更大的数字符号，这意味着我们所说的“由小到大进行排列”包含了无穷无尽。如何来解决这个问题呢？人类想到了进位。如果计数规则是十进位，那么除了一到九的符号外，再创造出十进位基数的符号。比如在中国是十、百、千；在古罗马相应的是X、C、M等等。
现在，我们已经初步建立起了数字符号的体系。这个体系能够相当广泛地适用于人类的日常生活，因此这个体系被人类一直使用到十世纪。但是这个体系有两个致命的弱点：一是不利于运算；二是不完备。前者是很好理解的，可以翻看一下中国宋代的数学名著《数书九章》，其中关于剩余定理、关于高次方程的求解方法是当时数学的顶峰，但是其逻辑过程和计算方法的记载形式实在是繁杂，使人望而生畏。其原因就在于使用的是我们上面所说的数字符号体系。古希腊的学者们在几何学方面的贡献是登峰造极的，但是对于代数学却几乎是无所建树，其原因或许与没有建立起一个简洁有效的数字符号体系有关。我们再谈不完备性。所谓不完备，是指上述的数字符号体系在原则上依然需要创造无穷无尽个不同的符号。在汉字系统中，表示数字符号最大的基数是“兆”，这是10的12次方，这确实是很大的数了。但是对于一个符号体系来说这却是远远不够的：今天的计算机即便是家用计算机，每分钟要处理的信息量就要大大超过这个基数。那么如何来改善这个数字符号体系呢？
现在只需要再进行一个小小的创造，但是为了这个小小的创造人类用了几个世纪。这个创造就是位数准则：数字符号在不同的“位”表示基数不同的量。我们可以回想算盘，在算盘中同样多的珠数在不同的位置表示的量是不同的：两个珠在个位表示二，在十位表示二十。多么巧妙的设计！可是如何通过数字符号来表示这些功能呢？可以看到，我们只需要再发明一个符号，那就是“零”。
“零”是印度人发明的，用sunya表示，原意是“空”。当今很有影响的印度哲学家奥修在分析自己的民族时说，印度是一个内向的国度，因此在这里可能产生宗教。确实如此，印度人认为“空”是一种存在，甚至是绝对的存在。在佛学中，我们可以找到许多关于这方面的论述。但是把这种关于“空”的理解有效地利用到数字符号系统中去的却是阿拉伯人，这可能是一种巧合。但是在事实上，或许也只有随意而浪漫的阿拉伯人才可能完成这个伟业，才可能漫不经心地在数字符号系统中加上了一个“0”。恰恰是因为这个漫不经心，一个有效并且简捷的整数系统建立起来了：十个符号加上位数准则。后来阿拉伯人把这个数字符号系统带到了欧洲，那是公元十世纪以后的事情。现在，人们称这个数字符号系统为阿拉伯数。在今天，幼儿园的孩子都能相当程度地掌握阿拉伯数。但是不要忘记，人类创造这个系统经历了漫长的岁月，而这个系统的核心只有两个字，那就是“多少”。显然，整数系统是庞大的数学体系的根基。作为这篇文章的结束，我想提一个更为深刻的问题：数学到底是发现还是发明？并且请注意到，真理是只能被发现而不能被发明的。
[收稿日期]2000-08-29