试谈多变量动态问题的分析方法，本文主要内容关键词为：多变论文,方法论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我们描述一个物理过程，常常要用到若干个物理量，且各个物理量之间往往是互相关联、制约的，一变引起多变。这就要求我们在教学中，必须使学生树立起变化和联系的观点，学会从动中取静、以静思动，从变中窥恒、以恒求变的思想方法。
一、控制变量法
在物理学中，当需要研究两个以上物理量间的关系时，往往是先控制一些变量，使这些量保持不变，只研究其中两个量间的关系，再依次更换，得出两两关系，然后综合起来得出所要研究的那几个物理量之间的关系。
例1 让一些小铅弹以相等的时间间隔相继落入盛有水的烧杯中，图1中的点表示某一瞬时，各铅弹的位置。由图可判定铅弹开始是加速下落，然后是匀速下落，并可测出匀速下落的速度。下表是一些不同的球形固体颗粒在水中匀速下沉的速度和与其相关量的实验记录，（水的密度为ρ[，0]=1.0×10[3]kg/m[3]）你能根据此表预计半径为r=1.5×10[-3]m，密度ρ[，0]=1.6×10[3]kg/m[3]的固体小球在水中竖直匀速下沉的速度为多大吗？
┌───┬───────┬──────┬──────┐
│ │固体球的半径r │固体的密度ρ│匀速下沉的速│
│ 次序 │ │││
│ │ m
│
kg/m[-3] │ 度v m/s
│
├───┼───────┼──────┼──────┤
│ 1
│ 0.5×10[-3] │ 2.0×10[3] │0.55│
├───┼───────┼──────┼──────┤
│ 2
│ 1.0×10[-3] │ 2.0×10[3] │2.20│
├───┼───────┼──────┼──────┤
│ 3
│ 1.5×10[-3] │ 2.0×10[3] │4.95│
├───┼───────┼──────┼──────┤
│ 4
│ 0.5×10[-3] │ 3.0×10[3] │1.10│
├───┼───────┼──────┼──────┤
│ 5
│ 1.0×10[-3] │ 3.0×10[3] │4.40│
├───┼───────┼──────┼──────┤
│ 6
│ 0.5×10[-3] │ 4.0×10[3] │1.65│
├───┼───────┼──────┼──────┤
│ 7
│ 1.0×10[-3] │ 4.0×10[3] │6.65│
└───┴───────┴──────┴──────┘
分析 利用控制变量法：当密度ρ一定时，容易发现，匀速下沉速度v跟球半径r的平方成正比，即v∝r[2]，当球半径r一定时，仔细分析数据特点，可以发现，对每个ρ值都减去一个水的密度ρ[，0]后，得到的数值跟下沉速度v成正比，则v∝（ρ-ρ[，0]），综合起来得：v∝（ρ-ρ[，0]）r[2]故题中所要预计的速度为v=2.97m/s。
二、“定格”变量法
客观世界本身就是运动和静止，变化与稳定的统一，在物理变化过程中总是动中有静，总可以找到运动变化过程中的某个瞬间状态，可以先“定格”于这个状态，进行静态分析，寻求与其相关的各物理量之间的函数关系，然后再对函数关系式进行动态分析，使变化的趋势显示出来，得出规律性的认识。
例2 如图2所示电路，电源的电动势为E，内阻r，定值电阻为R=r，变阻器的最大阻值为2R，当变阻器的滑动触头P从a端滑向b端过程中，电流表的示数如何变化？
分析 当变阻器的滑动触头P由a向b滑的过程中，电路中的电阻、电流、电压等都将随之发生变化，可谓牵一发而动全身。运用“定格”变量法，将滑动变阻器的滑动触头“定格”于某一位置，设这个位置时，bp之间的电阻为R[，x]，根据欧姆定律及串并联关系得：
的过程中，电流表示数先由E/（5R）减小到（4E）/（21R），再又增大到E/（3R）。
三、图示变量法
图，在人类思维发展史上起过重大作用，如在物理学研究中，法拉第提出场的概念，并用场线图来形象地描述场的特性。物理图示或图像，可以描述物理现象和物理规律，可以把某个物理现象或过程的发生、发展、变化趋势形象地显示出来，它在解决含有多变量动态问题中，更有其特殊的功效。
例3 一个重为G的物体，能静止在粗糙斜面上，现对物体施加一个水平推力F，如图3所示，试问，当推力F由零逐渐增大而物体仍保持静止的过程中，物体所受的各个力如何变化？
分析 物体的重力G的大小，方向恒定，斜面支持力N的方向不变（垂直斜面向上），静摩擦力f沿斜面方向。当未受水平推力F时，G、f[，0]、N必构成封闭三角形，当加上水平推力后，物体受四个力作用，其合力为零，四个力仍构成封闭四边形，随着推力的增大，依次构成的四边形如图4所示。直到静摩擦力达到最大f[，m]=μ[，0]N，推力也达到最大，以后再增大推力，物体就会沿斜面向上运动，由图可见，在F增大的过程中，斜面弹力一直增大，静摩擦力先是沿斜面向上，由大变小到零，然后方向改为沿斜面向下，由零变大直至最大静摩擦力。
四、“界分”变量法
量变引起质变是常见的物理现象，量的“渐变”引起质的“突变”。在物质的运动从一种形式转变为另一种形式；或者从一种物理现象转变为另一物理现象；或者从一种物理过程转变为另一种物理过程的变化过程中，总存在着分界限的突变点（临界点）。我们分析多变量动态问题时，要善于找出这种分界限的突变点，以这点为分界，然后在每个界定范围内应用各自的渐变规律处理。
例4 长直木板的上表面的一端放有一质量为m的铁块，木板由水平位置缓慢向上转动至竖直位置，另一端不动，如图5所示，若铁块与木板间的动摩擦因数为μ，则铁块受到的摩擦力f怎样变化？
分析 木板自水平位置缓慢上转过程中，木板倾角a变化引起铁块所受的支持力，摩擦力等一系列变化，较为复杂，我们可以将整个过程划分为以下几个阶段：
①铁块从水平位置随木板逐渐上升，但始终相对木板静止。②铁块刚要由相对静止变为相对滑动，此乃临界状态，设此时a=a[，0]。③铁块沿木板下滑。
在临界状态时，木板对铁块的静摩擦力达到了最大值，可认为其大小等于滑动摩擦力，利用平衡条件得：mgsinα[，0]=μmgcosα[，0]，故α[，0]=arctanμ，当0≤α≤α[，0]时，铁块始终相对木板静止，铁块所受的是静摩擦力，大小由平衡条件求得：f=mgsinα，其大小随α的变大而变大，满足正弦函数关系。当α[，0]＜α≤90°时，铁块相对于木板向下滑动，铁块受到滑动摩擦力作用，根据f=μN得：f=μmgcosα，可见随α的继续增大，f逐渐减小，满足余弦函数关系。
五、转化变量法
变量与常量是相对的，它们之间没有绝对的界线。例如重力加速度，它随离地面的高度的增大而减小，随地理纬度的增大而增大，是一个变量，但在不大的范围内，其中相对变化量很小，可以忽略这种变化，当作常量处理——如自由落体运动中、平抛运动中等，重力加速度看作常量。
例5 真空中速度为v=6.4×10[7]m/s的电子束，连续地射入两平行极板之间，极板长度为l=8.0×10[-2]m，间距d=5.0×10[-3]m，两极板不带电时，电子束将沿两极板之间的中心线通过，如图6所示，在两极板上加一频率为50Hz的交变电压u=U[，0]sinωt，如果所加的电压的最大值超过某一值U[，c]时，将出现下列现象：电子束有时能通过两极板，有时间断不能通过。
①求U[，c]的大小。
②U[，0]为何值时，才能使通过与间断时间之比Δt[，1]∶Δt[，1]=2∶1？
分析 两极板上加的是变化的电压，板间产生的是变化的电场，电子射入板间受的电场力也是变力。但是，某个电子匀速通过平行极板的时间t=l/v[，0]≈10[-9]s，交变电压的周期T=1/f≈10[-2]s，故t
T，某个电子通过平行板间电场区域时，电场的变化甚微，可以忽略其变化，看作是恒定的匀强电场，电子在垂直板方向上作匀加速运动。
六、制约变量法
变量之间往往满足某种特定的条件或存在某些隐含的制约因素，如闭合电路中，当外电阻发生变化时，其外电压发生变化，内电压也发生变化，但它们的变化存在着制约——外电压的增加量等于内电压的减小量，即外电压与内电压之和等于电源电动势。在解决多变量动态问题中，如能理顺有关变量之间的制约关系，并充分加以运用，就可以在复杂变化中求解。
例6 如图7所示，滑块A、B的质量分别为m[，1]、m[，2]，m[，1]＜m[，2]，由轻质弹簧连接，置于水平气垫导轨上，用一轻绳将两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧。两滑块一起以恒定的速度向右滑动，突然轻绳断开，当弹簧伸至本身的自然长度时，滑块A的速度正好为零，问在以后的运动过程中，滑块B是否会有速度等于零的时刻？试通过定量分析证明你的结论。
分析 虽然A、B的速度时刻在变化，但由于A、B与弹簧组成的系统在水平方向上不受外力，可见系统受到总动量守恒的制约，又由于系统只有弹簧的弹力作功，其它力不作功，可见系统还受机械能守恒的制约。
当A的速度为0时，设B的速度为v，则由动量守恒（m[，1]+m[，2]）v[，0]=m[，2]v，因此时弹簧为原长，弹性势能为零，系统的总机械能等于B的动能：
假设以后的运动中可以出现滑块B的速度为0的时刻，且此时刻A的速度为v[，1]，弹性势能为E[，P]，由动量守恒得：（m[，1]+m[，2]）v[，0]=m[，1]v[，1]，由系统机械能守恒得：
等于m[，2]，与已知条件m[，1]小于m[，2]矛盾。可见，B的速度不可能为零，即在以后的运动中，不可能出现滑块B的速度为零的时刻。
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