最小化破产概率的最优投资，本文主要内容关键词为：最小化论文,概率论文,最优论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
0 引言
投资、出口、消费是拉动经济增长的“三驾马车”。但是，要实现经济平稳较快增长，不同时期“三驾马车”如何协调发展是至关重要的。而在经济生活中，经济个体同样要面临如何投资消费决策问题，即现有财富多少用于消费，消费后剩余财富又该如何在金融市场中投资。站在微观经济学角度，最优消费—投资组合选择问题早已引起人们的广泛兴趣，时至今日仍然是研究的热点。连续时间最优消费—投资问题的经典分析方法是随机动态规划，这方面的开创性工作属于Merton[1-2]。Merton在完全市场中，假设票价格过程服从几何布朗运动，无红利支付，无非资本利得，投资者效用函数为双曲绝对风险厌恶函数（HARA）等条件下，运用随机动态规划方法解决了两类连续时间最优消费—投资组合选择问题。之后，许多学者从不同的视角对Meton问题进行拓展，如考虑交易费用[3]、随机收入[4]、借贷约束[5-7]、部分信息[8]、存贷利差[9-10]等条件，取得了丰硕的研究成果。经典的最优投资消费策略研究准则可以分为三大类，即最大化终止时刻期望财富效用，最大化生命期消费效用以及这最大化这两种效用的叠加，而考虑最小化破产概率准则或最大化生存概率准则下的最优投资策略问题则从另一个视角极大地丰富了经典投资消费问题的研究。一般情形下最小化破产概率准则或最大化生存概率准则与最大化终止时刻期望财富效用准则下的最优投资策略并非完全一致，只有在少数特殊情形下才是无区别的，而且破产概率准则是一种内在客观的标准，独立于任何特殊个体的效用函数偏好，是对效用最大化准则的完善。Browne[11-12]在这方面取得了突破性的进展，他所利用的数学工具是随机分析以及随机控制理论。
文献[11]研究了具有随机风险公司的最大化生存概率以及最大化终止时刻期望指数效用问题，文献[13]也研究了基于存贷利差情形具有随机风险过程企业最优投资问题。文献[6]研究了借贷约束下具有随机风险公司最大化生存概率的投资策略。上述三模型的结论只适合于非完备市场中具有随机风险公司的投资问题。文献[12]研究了具有固定债务的公司最大化生存策略。文献[9]研究了基于存贷利差情形的公司最优生存策略，文献[10]研究了不同存贷利率下极大化终止时刻期望效用最优投资策略。文献[9]、[10]、[12]中的模型结论既适用于企业投资者也适用于个体投资者。文献[14]及[15]考虑个体投资者具有有限生命期的特点，基于最小化破产概率准则，研究了投资者死亡前的投资问题。文献[14]研究了无约束情形下的最小化破产概率最优投资问题，文献[15]则进一步研究了具有借贷约束情形下的最小化破产概率最优投资问题，显然上述两文献的模型并不适合企业投资者，对于企业投资者死亡与破产可以归结为同一个概念。
本文研究最小化破产概率准则下的投资策略问题。不同于文献[14]及[15]，本文模型并没有个体投资者死亡的约束，模型的结论不仅可以适用于企业投资者，同时也适用于个体投资者。假设投资者收益仅来自投资收益而无非资本利得，而破产风险仅来源外生线性消费，即投资者除单位时间内需支付一个固定数量资金外，还要支付与当前财富成固定比例的资金，用以偿付债务、消费或支付红利（如保险公司某些投资联结产品承诺的最低分红以及与投资绩效相挂钩的比例收益分配）。常数消费率意味着无论投资者拥有多少财富，单位时间内必须消费固定数额资金，显然若消费率是财富的线性函数，对个体投资者来说更为贴切，即体现了投资者的基本消费需求，又体现了投资者随着财富增多而消费增多的一般行为倾向。若假设与财富成比例消费率则忽略了投资者最低消费需求实际，而且此时无最低消费约束，投资者将永不发生破产。因此无论投资者当前财富是多少，单位时间内都有一个最低支付，从而存在一个正概率使投资者财富减少为零，即面临破产然而文献[14]及[15]考虑的是固定消费额或者成比例消费率。在具有收入流条件下文献[14]也提到如何将成比例消费率化为线性消费，但未做详细论述，不过若没有收入流，成比例消费模式下破产问题是永不发生的。而文献[15]成比例消费模式下的破产定义为财富减少到一个预定（必须大于零）水平，与本文研究的破产概念显然不同。
为避免破产，投资者可以到金融市场中投资以获得至少满足消费需求的收益。风险资产与无风险资产的最优投资比例自然成为研究的主题，联系到现行经济体制实际，这又涉及是否允许卖空风险资产，是否允许贷款投资于风险资产以及存款利率和贷款利率不同的现实。本文基于最小化破产概率准则，研究了三类情形下的最优投资策略问题：1）允许贷款投资风险资产，且存贷利率相同；2）不允许贷款投资风险资产；3）允许贷款投资风险资产，但是贷款利率高于存款利率。
一般解决连续时间跨期最优消费—投资决策问题历来有两种方法，即传统的随机最优控制方法及鞅方法[16]。鉴于在市场不完备或有市场摩擦（如本文的借贷约束）的条件下，鞅方法不如随机控制方法有效以及本文描述系统动态变化规律的过程具有马氏性，本文与上述文献一样，运用经典的随机最优控制方法研究最优投资问题。但是，不同于通常的最大化终止时刻期望效用准则，本文的最优目标函数及最优投资策略与时间无关，故可以将模型相应的HJB方程转化为一个二阶常微分方程，进而获得了最优投资策略及最优值函数（破产概率）的闭式解。余下内容安排如下，第二节阐述了下最小化破产概率的投资问题以及相应值函数所满足的HJB方程，给出了无约束条件下的最优投资策略及最小化破产概率的闭式解。第三节考虑了借贷约束情形而第四节考虑了存贷利差情形，都得到了最优投资策略及最值函数的闭式解。第五节对模型及结论给出理论分析、数值算例及经济解释。第六节是全文的结束。
1 允许贷款情形下的最优投资策略
设投资者可以投资一种风险资产（股票）和一种无风险资产（银行存/贷款），其中风险资产在t时刻的价格p（t）服从几何布朗运动
设｛x（t），t≥0｝表示在可行策略π∈П限制下投资者的财富过程。假定投资者具有财富依赖型的支付率（消费），即c（x）=c+θx。对企业而言，这里c＞0可以解释为满足正常运营需求的最低支付，0≤θ＜r表示随财富增加而增加的支付比例（如分红，奖金支出）。对个体投资者而言，c＞0是为满足生存必需的最低消费（如每日三餐），而且随着财富的增加消费也将随之增加。所以，投资者在t时刻的财富过程满足如下受控扩散过程
即财富在任何时刻都不可能为零，可确保永不破产，故只讨论初始财富0＜x＜c/（r-θ）时最小化破产概率的最优投资策略。
定义投资者的破产时刻为，T=inf｛t＞0：x（t）=0｝，即剩余财富第一次为零时破产即发生。于是投资者最小化破产概率的最优投资策略为如下随机控制问题
则有如下结论
定理1 在任意时刻t（0≤t≤T），投资者基于最小化破产概率的最优投资策略为
2 不允许贷款情形下的最优投资策略
本节考虑不允许贷款情形下的最优投资问题，即不允许投资者贷款投资于风险资产。事实上，在金融市场上不是所有投资者都能无限制的得到银行的借款，而且政府为稳定金融市场一般都严禁投资者从银行借款投资股票市场，而只能用自有资金投资股票市场。虽然，国内A股市场已经推出了融资融券业务，但对绝大多数普通投资者来说，融资并非随心所欲，而是有门槛的。所以，考虑不允许贷款投资股市情形下的投资问题仍然有重要意义。此时，最优投资策略必须满足0≤π≤x.从上一节允许贷款情形下的投资策略问题表明，可以分别考虑两种情形，1）最优投资额π≤x，以及2）最优投资额π＞x，即考虑1）0＜x＜1，以及2）1≤x≤c/（r-θ），此处1=2c/（μ+r-2θ）。从上一节易知，当1≤x＜c/（r-θ）时，最优投资策略是I
π*=2[c/（r-θ）-x]（r-θ）/（μ-r），现在要确定的只是当0＜x＜1时的最优投资策略。以下记
值函数
最优目标函数为
边界条件仍然是P（0）=1，P（c/（r-θ））=0。对于x≥1，不受贷款约束的最优投资策略是可行的，此时最优投资策略满足的HJB方程为
其中p，q是待定常数。又由P（0）=1可得p=1。
所以有
把式（25）（26）代入式（20）（21）即得值函数式（13）。最后要确认条件式（24）能满足。要证明
代入式（27），易证式（27）恒成立。至此，所有条件都满足。证毕。
3 存贷利差情形下的最优投资策略
本节假设投资者既可以贷款也可以存款，考虑存贷利差下基于最小化破产概率的投资策略。贷款利率R高于存款利率r，且有m＞R＞r＞0。事实上，现实金融市场中存贷利差是普遍存在的，并且风险资产的回报率要高于无风险资产的收益率才能吸引投资者，否则风险资产将无人问津，所以这样的假设更符合实际。同时，投资者还可以投资于风险资产，其价格过程满足式（1）。设x（t），p（t），x（t），z（t）分别为投资者t时刻的财富净额，风险投资额，贷款额（含利息）以及存款额（含利息）。此时投资者的财富x（t）满足如下受控扩散过程
dx（t）=[（r-θ）x（t）+π（t）（μ-r）-ξ（t）（R-r）-c]dt+μ（t）σdw（t） （28）
记值函数
最优目标值函数为
4 理论分析、数值算例及经济解释
本节给出一个数值例子来论证第二、三及四节得到的结果。因最优值函数（破产概率）及最优投资策略都存在闭式解，利用MATLAB软件很容易对结果进行分析。不妨设本文的参数选择为，存款利率r=0.02，贷款利率R=0.04，风险资产平均回报率μ=0.06，风险资产波动率σ=0.20，最低消费额c=1，比例消费率θ=0.01。手算便可知此时贷款临界点s=25，存款临界点1=100/3。
首先，分析投资者拥有的财富额与投资策略的关系。从图1不难看出，1）三种情形下最优投资额都是财富的线性或者分段线性函数，而当财富大于时三种投资策略图形将重合，都随着财富递增趋向于100时，最优投资额趋向于零。从经济学角度来说，投资者财富足够多时，财富总量越大，其偿付能力越强，在投资目标为最小化破产概率的前提下，投资者没有进一步采取激进的投资策略而承担更多市场风险的内在需求。2）当允许借贷且存在存贷利差时最优投资额表现为三条线段连接的折线，当财富小于25时，且财富越少其风险资产投资额度越高。显然此时投资者只贷款不存款，而且随着破产的临近，投资者借款越多，当投资者财富趋近于零时，借款额与投资者财富额比率将会趋于无穷大。从经济学角度来说，投资者为避免破产的发生，利用金融市场存在的借贷工具，不惜进行生死豪赌投资更多的风险资产；当财富大于时，投资者此时只存不贷，且财富越靠近100，风险资产投资额越少，最后几乎为零，当然存款越多，最后几乎等于所有财富；而当财富大于25小于时，风险投资额等与财富额，此时投资者不存不贷。3）当无借贷约束时最优投资额是一个关于财富严格非负递减的线性函数，在图形是表现为一条直线。4）当不允许贷款时最优投资额是两条线段连接的折线，当财富大于时，最优投资额与不受借款约束情形投资策略是一致的，随财富的增加而减少；而当财富小于时，最优投资额是财富的递增函数，由于不允许借款投资风险资产，为避免偿付能力不足遭遇破产，投资者不惜采取激进的投资策略将全部财富投资于风险资产，当然此时无存款。
其次，分析投资者拥有的财富额与最优值函数（破产概率）的关系。从图2不难看出，1）三种情形下的破产概率都是财富的严格递减函数，财富趋于零则破产概率趋于1，财富趋于100则破产概率趋于0，这与直观是一致的。2）从图形可以明显地看到三种情形下破产概率的大小关系是V＜F＜P，即财富相同时，无约束情形破产概率最小，允许借款且存在存贷利差情形破产概率其次，不允许借款情形破产概率最大。进一步从图3可以看出：不允许借款情形的破产概率与其他两种情形的破产概率有较大差别，而存贷利差情形与无借贷约束情形则无较大差别；三种情形破产概率的差值并非是财富的单调函数，而是随着财富的增加概率差先是递增，到达峰值以后随着财富的增加反而递减。
最后，给出一个具体的算例来说明所得到的结果。当投资者财富x＞100/3时，则三种情形下投资的最优投资额都是（100-x）/2，存款额为（3x-100）/2。当投资者财富25≤x≤100/3时，无约束情形的最优投资额仍为（100-x）/2，贷款额为（100-3x）/2，此时无存款；不允许借贷及存贷利差情形下的最优投资额就为x，此时既不贷款也不存款，风险资产投资额为现时所有财富。而当投资者财富0＜x＜25时，无约束情形的最优投资额仍为（100-x）/2，贷款额为（100-3x）/2，此时无存款；不允许借贷情形下的最优投资额为x，此时既不贷款也不存款；存贷利差情形下的最优投资额为100-3x，贷款额为2x-100。
5 结束语
不同于通常的效用评价准则，也不同于Markowitz的均值—方差原则投资理论（实际上可以视为特殊的效用评价准则），本文基于最小化破产概率准则，研究了投资者的最优投资策略。考虑了三种不同的金融市场模型，在第一个模型中，投资者无存贷款约束也无卖空约束（事实上卖空约束不是真实的约束条件，因为此时投资者不会卖空风险资产），然而在第二个模型中投资者是不允许贷款投资风险资产的，在最后一个模型中，基于存贷利率不同的实际，假设投资者既可以存款也可以贷款，但是贷款利率高于存款利率。在每一种情况，通过求解模型相对应的HJB方程，都获得了最优投资策略及最优值函数（破产概率）的闭式解。无约束情形下最优投资策略表现为财富的递减线性函数，借贷约束及存贷利差情形最优投资策略是财富的分段线性函数。三种情形下的最优值函数（破产概率）都是财富的递减函数，这与直观是一致的，财富总额越大则财富下降到零的概率就越小，即破产概率就越小。最后对这些结果给出一个数值算例，对模型结果进行理论分析及经济学解释。本文的研究结果表明，不同存贷限制对投资者具体投资策略及所面临的破产风险影响是巨大的。不允许借款情形时投资者面临的破产风险比其他两种情形要大很多。模型的研究结果是切实可行、易于实时操作，不仅对投资者的决策有直接的导意义，对进一步的风险投资理论分析提供了新思路，而且对于政府制定有关规范投资行为的政策也具有一定的参考价值。比如，本文的结果显示不允许借贷使投资者面临的破产风险比约束时的破产风险大。国内A股市场推出的融资融券业务不仅使得投资者有了更灵活的资产配置渠道，显然也能降低投资者的破产风险，因此监管机构推出的融资融券业务对投资者控制风险是一个行之有效的策略。
很容易将本文的结果推广到存在多个风险资产的情形，但这不存在本质的差别。考虑随机波动率、随机利率以及部分信息情形下的最小化破产概率的投资问题将是进一步要研究的内容。此外，考虑与基于效用准则最优投资策略的对比研究也是一个有趣的问题。
注释：
①在经典投资—消费问题中[1,5,18]，x（t）严格说是剔除t时刻消费（支出）以后投资者拥有的净财富，故t时刻投资在无风险资产上的财富为x（t）-π（t）；若x（t）是t时刻消费前的财富，则无风险资产的投资额度是x（t）-（c+θx（t））-π（t）。为方便，同经典投资—消费问题，本文假定x（t）是在剔除消费后的净财富。