当代混沌概念的演变，本文主要内容关键词为：混沌论文,当代论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“混沌”是非线性动力学前沿一个具有严格定义的、可以精确描述的概念。混沌问题是非线性科学前沿一个最引人注目的问题。对混沌的研究具有重要的理论意义和实际价值。有人称混沌理论研究可能成为本世纪物理学的第三次革命，其意义将不亚于相对论、量子力学。
一、当代混沌概念的渊源
当代混沌概念有着深刻的思想渊源。它与古代混沌概念有严格区别，又密切相联，它是从古代混沌概念演变而来的。
混沌是一类广泛的动力学现象。在牛顿理论的发展中不可能发现混沌现象。牛顿本人没有也不可能意识到他的理论体系中可以包容混沌现象。牛顿理论的基本假设只是承认自然界“非常和谐自适”，并没有认识到混沌现象在自然界中的客观存在。牛顿那个时代没有认识到动力系统有可积系统与不可积系统之分，那时的学者都以为所有系统是可积的、确定的、可预测的，只有随机系统才会产生不确定性行为。但本世纪60年代以来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会表现出古怪的、复杂的、随机的行为。随着对这类现象的深入研究，人们想起了古代的混沌概念，把确定性所表现出来的这种随机行为称为混沌。混沌是系统的一种不确定性，它在表现上千头万绪，杂乱无章，但内在却蕴涵着丰富多样的规则性、有序性。1975年。具有华人文化背景的李天岩与美国数学家约克(J·Yorke)合作，发表了具有划时代意义的论文：“周期三蕴涵混沌”，提出并证明了一个有关一维映射混沌行为的重要定理。这篇文章的最大贡献是：在混沌学文献中第一次引入"chaos"一词。在论文发表之前，约克的同行认为这个词有点神秘味道，建议他能选择一个更庄重的词取代混沌。但约克仍然坚持使用混沌一词，认为它反映了决定论无序的深刻含义。中国理论物理学家，混沌研究的学术带头人郝柏林在讨论为什么要从古汉语中引用混沌一词时指出：“混沌决不是简单的无序，而更像是不具备周期性和其它明显对称特征的有序态”，“正是因为这种缘故，我们才从古汉语中引用‘混沌’一词（‘气似质具而未相离，谓之混沌’），避免‘混乱’，‘紊乱’等易引起误解的说法”①。当代混沌除了有历史上的思想渊源，还有着直接的理论渊源。
杰出的法国科学家彭加勒是真正发现混沌的第一人。早在19世纪末，他就开始研究当代被称作混沌的现象了。他的名著《论微分方程所定义的积分曲线》、《天体力学的新方法》和《论三体问题和动力学方程》，提出了许多有关混沌现象的理论和方法，如在三体问题上，他发现在所谓双曲点附近存在着无限复杂精细的栅栏结构，发现仅仅三体引力相互作用就能产生出惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解具有不可预见性；在动力学系统理论研究方面，他为现代动力学系统理论提出了动力系统、奇异点、极限环、稳定性、分岔、同宿、异宿等概念；提出了稳定性理论、分岔理论、奇异性理论和吸引子理论，提出了小参数展开，摄动方法和彭加勒截面法等方法；在遍历性理论和拓朴学方面，他发现了一个递归理论，创立了组合拓朴学；在偶然性问题上，一个值是注意的问题是，他发现了个别点对初值具有敏感依赖性和行为不可预见性：“初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别，前者的微小误差，促成了后者的巨大误差，预言变得不可能了，我们有偶然发生的现象”②这些开拓性的理论和方法，对当代混沌理论的建立发挥着广泛而深刻的影响，有的是当代混沌研究的出发点，有的成了当代混沌理论中的重要组成部分，有的成了当代混沌理论研究的必备的数学工具，构成了当代混沌理论的直接理论渊源之一。
美国数学家G·伯克霍夫的著述是当代混沌理论又一直接渊源。他发展了彭加勒的开创性工作。早在1913年，他就因证明彭加勒有关三体问题存在周期解的拓朴定理而出了名。在彭加勒所开创的动力学系统理论方面，他也做了许多重要贡献。他于1917、1926和1932年发的论著是当代混沌理论研究经常提到的经典文献。他在研究耗散的平面环的扭曲映射时，证明了出现的吸引子不是通常意义的点或闭合曲线，而是一种极其复杂的“奇异曲线”，这种异常曲线被当今混沌学家称为“奇怪吸引子”。他对不可积系统的轨道特征作了许多细致的研究，提出了用伯克霍夫对称线的周期轨道进行分类、组织的方法。30年代初，他对遍历理论也做出了出色的贡献，他和冯·诺依曼分别证明了平均遍历定理和个体遍历定理；他还和史密斯证明了“度量可传递性”等价于用测度语言重新定义的遍历性。当今的混沌学家高度评价了伯克霍夫的工作，怀特曼指出：“如果谁对动力学系统的真正艰深问题感兴趣，花时间去详细研究伯克霍夫的文章是值得的。”③
杜芬和范德波方程是当代混沌理论第三个渊源。
1918年杜芬为彭加勒的拓朴动力学思想应用于耗散系统，研究了具有非线性恢复力项的受迫振动系统，揭示出许多非线性振动的奇妙现象，建立了他所研究的动力学方程，即杜芬方程。
20年代，范德波研究了三极管振荡器，观察到了不规则的奇怪行为，建立了以他的名字命名的非线性微分方程。
杜芬和范德波方程是当代混沌学文献中常见的或典型的方程。30年代，苏联学者安德罗诺夫考察了广泛的非线性振动现象，对系统的相平面进行了分析。这一工作有助于探索三维以上相空间的复杂运动，为当代混沌理论积累了有益的资料。
生态学和生理学等领域的发现，是当代混沌理论第四个直接渊源。
在生态领域，经过数代人的努力，提炼出逻辑斯蒂(Logistic)方程。它是描述种群系统演化的适当模型，可以用于解释观察到一些不规则的生态系统演化现象。在生理学领域，范德波等人1929年试图用振荡器模拟心脏跳动以产生仿真心电图，接触到不规则心律现象。在1946年出版的《心电图学》第二版中，卡兹(L.N.Katz)创造出“混沌心动”一词，以表达同行们早就注意到的心脏跳动的非周期现象。与此同时，经济学界也积累了大量杂乱无章、似乎无法处理的数据。以上的研究，都成为尔后建立的混沌学的非常有价值的材料。
克雷洛夫(N.S.Krylov)关于弹性碰撞动力学系统指数不稳定性理论是当代混沌理论第五个直接渊源。他较早地认识到阿达玛(J.Hadamrd)、埃德朗(G.Hedlund)和霍普夫(F.Hopf)关于动力学系统指数不稳定性研究的意义，看出指数不稳定性对于理解相空间混沌过程并解释有限弛豫时间的存在性的重要性。西奈(Ya.Q.Sinai)高度评价了他的工作，认为：“克雷洛夫的最杰出成就之一是发现了弹性碰撞动力学系统中的指数不稳定性。”④
数学和计算技术的迅速发展为当代混沌理论的研究提供了重要的数学工具和物质手段。
30年代以来，拓朴学、泛函分析、微分几何等数学分支迅速发展起来，分析学在描述间断性、奇异性、整体性、非线性特性等方面都有很大发展。概率论经过公理化而成为现代数学的标准组成部分之一，分析、代数、几何以至于数论都在为当今的混沌研究准备武器。由彭加勒开创的遍历性理论，60年代以来，在数学家手里获得了长足发展。数学家发现不同等级的遍历性，分别代表不同类型的复杂系统。同时，弄清了一批具体系统的遍历性和非遍历性。相应地，建立了区分复杂和简单系统的定量判据，即表征相邻轨道分离速度的整体特征量，如李亚普诺夫指数、KS熵等。在70年代遍历性理论发展成为混沌理论的一个重要组成部分。数学领域另一项具有重大意义的发现是一批分形几何对象。早在19世纪，数学家就用传统的整形几何及相关的分析工具构造出多种分形几何体，如维尔斯特拉斯曲线、皮亚诺曲线，康托(G·Cantor)尘埃，谢尔宾斯基(W·Sierpinski)墓垛，等等。彭加勒发现的轨道复杂图象也是一种分形对象。20年代法国尤利亚(G·Julia)研究了复杂平面上的解析映射。这是一种特殊类型抽象混沌运动，可以从中导出一大批漂亮的分形几何图形。导致分形几何对象的发现构成半个世纪后曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)的分形几何学的先驱，分形几何学的诞生，为当代混沌理论研究提供了又一强大的数学工具。
20世纪40年代一项具有重大意义的成就就是发明了电子计算机，并发展了一套算法语言。60年代初，数值计算机已成为求解不存在解析解的动力学方程，处理过去无法处理的数据资料，描绘过去无法描绘的运动图象或混沌学提供了极其重要的物质手段。
二、当代混沌概念的发展阶段
当代的混沌概念不是僵死的概念，而是可变化，灵活的概念。当代混沌概念的实际内涵随着人们认识的深化而不断丰富和发展。从20世纪60年代初期至现在，大体上可划分三个发展阶段：
第一阶段：主要是揭示混沌的随机性阶段，把混沌概念描述为“确定的随机性”（20世纪60年代初期——80年代初期）。
在当代混沌研究中作出重大突破性贡献的是美国气象学家洛仑兹(E·F·Lorenz)。1963年，他虽没有能用“混沌”一词，但他准确地描述了混沌的一个方面的特征，揭示了混沌的意义。他在数值计算中发现了一个简化的描述液体热对流的三阶常微分方程组的“所有解都是不稳定的，并且几乎所有解都是非周期的”。⑤
1975年李天岩和他的导师约克在《周期三蕴涵混沌》⑥一文中给出了闭区间J上连续自映射F为混沌的定义。此定义被戴蒙德(Diamond)、莫罗夫托(Morofto)等分别推广到高维连续或可微自映射的情况。
迪沃尼在《混沌动力系统引论》一书中从拓朴学的角度给出了十分严格的混沌定义：设f是集合v到自身的映射，f满足(1)f对初始条件有敏感依赖性；(2)周期点在v中稠密，则f在v上是混沌的。它讲了不可预见性、不可分解性和存在规律性，也讲述了两种规定性，一方面是说混沌系统很混乱，无规律性；另一方面说混沌系统有序、有规律（f是确定的，f在v中有稠密的周期轨道）。
这期间随着席卷全球的混沌研究热潮不断发展，已有不少科学家专门考察混沌的定义问题，如：
J·波普尔认为，混沌可以被描述为“确定的随机性”。
H·哈肯认为，“混沌可以定义为产生于确定性方程的随机性”。
约瑟夫·福特认为，混沌不是别的，它是“确定性地随机的”。
上述认识和论述除了揭示混沌产生于确定性系统之外，比较注重于揭示混沌的随机性，也就是其无序性。
第二阶段：主要是揭示混沌的高级有序性阶段，把混沌定义为表观上杂乱无章的有序性（20世纪80年代中期——90年代初期）。
80年代初期，混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象，基本问题和独特概念体系和方法论框架的新学科，通常称作混沌理论。1983年物理学家伯瑞提出混沌学(chaology)这一术语，逐渐被人们所接受，至此，混沌学这门新兴学科便已形成。
随着混沌学这一新兴学科的建立，对混沌概念实际内涵的研究有了新的进展。此时，还产生了另一种定义，科学家们认为：混沌表现上或看起来杂乱无章，实际上是一种内在有序状态。而且是更高级的内在有序状态。
1984年，郝柏林在《自然界的有序和混沌》的论文中指出：“混沌决不是简单的无序，而更像是不具备周期性和其它明显对称特征的有序态。”
1988年，钱学森在《基础科学研究应该接受马克思主义哲学的指导》一文中指出：“‘混沌’看起来是非决定性的，混乱无章，但这正是决定性规律引起的，……”⑦1992年他在《再谈基础研究》的文章中指出：“混沌这个现象有意思的是，它使决定性的理论看起来好象是非决定性的，但实际上并不是真的杂乱无章，它还是决定性的。”⑧
1992年，Sharon Begley等在《从混沌中寻找秩序》的文章中指出：混沌系统“表面上看来是随机的，实际上却有着内在的秩序。这种新奇的混沌与日常抽屉杂物的那种混乱截然不同。”⑨
上述认识和论述除了揭示混沌产生于确定性系统之外，比较注重于揭示混沌的高级有序。
第三阶段：主要是揭示确定的随机性和确定的有序性的统一性阶段，把混沌定义为确定的随机性和确定的有序性的统一（20世纪90年代初期——？）。
1992年，蔡永宁等在《混沌的澄清》一文中有过类似的提法：“概而言之，我们说混沌是无序与有序的对立统一，一是指混沌是从有序中产生的无序运动状态；二是混沌的无序中隐含着有序。”⑩
总体上说，目前学术界的主要看法是，一方面，混沌可描述为确定的随机性状态，即确定论的无序性状态；另一方面，确定论系统的随机状态，是看起来杂乱无章的有序性状态。换言之，混沌实际上是确定论系统的高级有序性状态。
注释：
①郝柏林：“自然界中的有序和混乱”，《百科知识》1984年第1期。
②彭加勒：《科学的价值》，光明日报出版社1988年版，第389—390页。
③转引自《唯物辩证论研究》1991年第6期。
④西奈：“克雷洛夫思想的发展”，《关于统计物理学基础的著述》，普林期顿大学出版社1979年版。第245页。
⑤《自然辩证法研究》1992年第2期。
⑥《自然杂志》1991年第8期。
⑦《理论信息报》1989年12月25日。
⑧《现代论》1992年第4期。
⑨《世界科学》1993年第1期。
⑩《自然辩证论研究》1992年第5期。