中国古代数学杂谈（一），本文主要内容关键词为：中国古代论文,杂谈论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中国古代记数单位和计量单位——
“无量数”和“清净”
我们现在使用两种记数数字：阿拉伯数字记数和汉数字记数。如“372”是阿拉伯数字记数，“三百七十二”是汉数字记数。遇到位数多的数时，如果用阿拉伯数字记数，先得算出左边第一位数字的位数，才能按顺序往下读，而用汉数字记数可以直接读出数，不必去计算位数。如七十五亿三千零六十五万零七十三，用阿拉伯数字记数要写成7530650073，它们实质上都是十进位制记数法。
汉数字记数要求每一位都表示出相应的名称。在中国古代用汉数字记数能表示到多少位呢？自个位往上为：十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载、极恒河沙、阿僧柢、那由他、不可思议、无量数，从个位到无量数位共二十一个记数单位。中国古代规定：“自万以下皆十进制，自万以上有以十进者，如十万曰亿，十亿曰兆之类，谓之小数。有以万进者，如万万曰亿，万亿曰兆之类，谓之中数。有以自乘之数进者，如万万曰亿，亿亿曰兆之类，谓之大数。今皆从中数。”万以下是十进制，万以上有三种进制，第一种叫小数，仍是十进制；第二种叫中数，是万进制；第三种叫大数，是位数自乘。当时全采用中数，即万进制。照此算来，从“个”位到千“无量数”位相当于用阿拉伯数字记数法的
位数。
中国古代数学不仅对于记数单位有非常详细的规定，而且对于度、量、衡的计量单位也做过非常详细的规定。长度单位：丈以下为尺，尺以下有寸、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清净，各单位间为十进制。1“清净”相当于1尺的
。容积单位：石以下为斗，斗以下有升、合、勺、撮、抄、圭、粟。除六粟为一圭外，其余单位间为十进制。重量单位：斤以下为两，两以下有钱、分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清净，各单位间为十进制，1“清净”相当于1斤的
。
计量单位太详细了麻烦也就发生了。清乾隆年间，户部、工部向皇上报账时，精确到分、厘、毫、丝、忽以下还有十个单位。这么多的位数，第一是容易出错，造成官吏之间攻击指责；第二是账册繁浩，不仅浪费纸张人工，而且实难校阅。所以在乾隆十八年（1753年）冬季皇上指示九卿开会讨论，研究简化方案。左都御史和大司农争论数日通过了一份报告，在长度和重量计量单位中将厘、毫、丝、忽四个单位以下全部删去；在容量单位中，升以下只留合、勺、撮、抄四个单位，其余全部删去。如果“忽”或“撮”以下有零，不是四舍五人，而是一律在“忽”或“撮”上加一。
拂去岁月的风尘，显露出灿烂的中国古代文明。无论是大到位数的“无量数”，还是小到斤的“清净”，汉数字记数是我们祖先为人类文明作出的创造和贡献。在中国古代数学中，无论是得失成败还是经验教训，也无论是发达衰落还是顺利挫折，都升华出我们祖先智慧的结晶。我们这一代中国人不该让这部历史湮没于尘埃，如果把民族文化比作黄河，中国古代数学同样是巴颜喀拉山上的一脉水系。要让它聚水成流，汇流入海，从不停息地造福于民族和全人类。
中国古代用什么确定尺、斗、斤？——
“度量权衡皆生于黄钟之管”
我们现在进行长度计量统一使用公制单位，基准单位是米，这是国际上通用的计量规定。最初规定地球子午线长度的4000万分之一为1米。由于米的基本标准器是金属制造的，随着温度的变化会有微量的变化，不是绝对准确，于是科学家就将氪原子气体在真空中发射出的橙红色波长的1650763.73倍规定为1米。
在我国还有一种传统的市制计量单位，市制计量的长度基准单位是尺。我们知道了公制长度基准单位是怎样确定的，那么中国传统的市制长度基准单位又是如何确定出来的呢？它是由中国古代的一种定音乐器和一种粮食来规定的。
西方音乐分A、B、C、D、E、F、G七个音调，中国早在4000多年以前就确定了音乐的十二个音调，即十二律，其中包括六个阳律：黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射，和六个阴律：大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟，统称为十二律。当时我们的祖先用竹或玉（汉末以后用铜）制造出定音的乐器叫律管，每一种律管可以确定一种音调，每一种音调的律管长度和口径都必须是固定的，不能有差错，否则音调就会失准。十二律以黄钟为首，“黄钟九寸，空围九分”，即黄钟管长九寸，内壁圆周长九分。在当时历史条件下，它的尺寸不仅是确定的，而且是相对精确的，于是我们的祖先就利用它的精确性作为制定度量衡的标准。柜黍是直径、大小、重量都均齐的黑色粘米，于是我们的祖先根据柜黍具有的这些特点把它也作为制定度量衡的标准。“黄钟之管长九寸，横排柜黍中者九十粒。一粒为一分，十分为一寸，十寸为一尺”。把九十粒柜黍在黄钟管中排成一线，柜黍的长度恰好等于黄钟管的长度。于是把黄钟管长定为九寸，一粒柜黍为一分，十分定为一寸，十寸定为一尺。
不仅中国传统的长度单位是由黄钟管和柜黍规定，而且容积和重量单位也是用黄钟管和柜黍规定的：“黄钟之管内容柜黍中者，千二百粒为一龠。二龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为斛。”把黑粘米放在黄钟管内，一千二百粒为一龠。以龠为基准，进而规定二龠为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛（南宋末年改为五斗为一斛）。“黄钟之管容千二百黍为龠。龠重十二铢，十铢为两（另有二十四铢为一两之说），十六两为斤，三十斤为钧，四钧为石。”一龠为一千二百粒黑粘米，重量定为十二铢。也就是说一百粒黑粘米重为一铢，十铢定为一两，十六两定为一斤，三十斤定为一钧，四钧定为一石。无论是容量单位龠、合、升、斗、斛，还是重量单位铢、两、斤、钧，石都是用黄钟管和柜黍来规定的，这就是中国古代数学书上所说的“度量权衡皆生于黄钟之管”“黄钟为万事根本”“黄钟生度”“黄钟生量”“黄钟生衡”。
公制最初以地球子午线为确定基本长度的标准，测量地球子午线长度需要数学上的“数值计算”和“误差理论”。在中国唐代数学家僧一行测出子午线长度90年之后，阿拉伯的天文学、数学家在公元814年才完成了这项工作。而早于僧一行3000多年我们祖先利用定音律所具有的固定长度和口径以及黑粘米大小重量均齐的特性来确定计量单位，不仅具有可操作性，而且是当时历史条件下生产力发展水平的结晶，有着不可磨灭的历史价值。中国是礼仪之邦，自古就重视音乐的发展和作用，孔子曰“移风易俗，莫善于乐”，意思是转变社会风气没有比音乐更管用了。中国是传统农业国，粮食是中国人心目中的重中之最重。我们的祖先以黄钟律管和柜黍作度量衡的标准，体现了鲜明的民族文化特征。
新中国成立以后，除金衡仍以16两为1斤外，常衡中市斤从十六进制改成了十进制，继而又用公制度量衡取代了市制。这是世界文明的进步，无论对于国家的发展还是群众的生活都是非常必要的。在市制消亡的时候，我们追溯历史，研究它在产生和存在时所表现出来的合理性，依然能够得到启迪。